Funciones inversas
Una función puede transformar un elemento del dominio en un elemento del codominio. La pregunta natural es si ese proceso puede deshacerse de manera funcional.
Si
\[ f:A\to B, \]
queremos saber cuándo existe otra función
\[ g:B\to A \]
que recupere exactamente el punto de partida.
La respuesta está determinada por la biyectividad.
Intuición
Para invertir una función necesitamos poder regresar desde cada salida hasta un único punto del dominio.
- si una salida tiene dos antecedentes, no sabemos cuál elegir;
- si un elemento del codominio no tiene antecedente, no tenemos desde dónde regresar;
- si cada elemento del codominio tiene exactamente un antecedente, la inversión queda bien definida.
En lenguaje de fibras: una función es invertible precisamente cuando cada fibra contiene exactamente un elemento.
Definición de función inversa
Sea
\[ f:A\to B. \]
Una función
\[ g:B\to A \]
se llama inversa de \(f\) si satisface simultáneamente
\[ g\circ f=\operatorname{id}_A \]
y
\[ f\circ g=\operatorname{id}_B. \]
Cuando existe, se denota
\[ g=f^{-1}. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \qquad\text{y}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B } \]
Definición
La inversa de una función \(f:A\to B\) es una función \(f^{-1}:B\to A\) que deshace a \(f\) en ambos sentidos mediante composición.
La dirección de la flecha se invierte:
\[ f:A\to B \qquad\Longrightarrow\qquad f^{-1}:B\to A. \]
Así, el dominio de \(f^{-1}\) es el codominio de \(f\), y el codominio de \(f^{-1}\) es el dominio de \(f\).
La condición exacta: biyectividad
El resultado central es el siguiente.
Teorema
Una función
\[ f:A\to B \]
tiene función inversa si y sólo si es biyectiva.
En símbolos,
\[ \boxed{ f\text{ es invertible} \iff f\text{ es biyectiva} } \]
Si existe inversa, entonces \(f\) es inyectiva
Supongamos que existe
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Sean \(x_1,x_2\in A\) tales que
\[ f(x_1)=f(x_2). \]
Aplicamos \(f^{-1}\) a ambos lados:
\[ f^{-1}(f(x_1))=f^{-1}(f(x_2)). \]
Como
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \]
obtenemos
\[ x_1=x_2. \]
Por tanto, \(f\) es inyectiva.
Si existe inversa, entonces \(f\) es sobreyectiva
Sea \(y\in B\) arbitrario. Como \(f^{-1}\) está definida en todo \(B\), podemos tomar
\[ x=f^{-1}(y)\in A. \]
Entonces
\[ f(x) =f(f^{-1}(y)) =y. \]
Así, todo \(y\in B\) tiene antecedente y \(f\) es sobreyectiva.
Por tanto, la existencia de inversa implica que \(f\) es biyectiva.
Si \(f\) es biyectiva, entonces existe inversa
Supongamos ahora que \(f:A\to B\) es biyectiva.
Para cada \(y\in B\):
- la sobreyectividad garantiza que existe al menos un \(x\in A\) con \(f(x)=y\);
- la inyectividad garantiza que ese \(x\) es único.
Podemos entonces definir
\[ f^{-1}(y)=x \]
como el único elemento \(x\in A\) tal que
\[ f(x)=y. \]
Esta asignación está definida para todo \(y\in B\) y produce un único elemento de \(A\), de modo que realmente define una función
\[ f^{-1}:B\to A. \]
Por construcción,
\[ f^{-1}(f(x))=x \]
para todo \(x\in A\), y
\[ f(f^{-1}(y))=y \]
para todo \(y\in B\).
Luego \(f^{-1}\) es la inversa de \(f\).
La equivalencia fundamental
Si \(f:A\to B\) es biyectiva, entonces para todo \(x\in A\) y todo \(y\in B\) se cumple
\[ \boxed{ f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x } \]
En efecto, si \(f(x)=y\), al aplicar \(f^{-1}\) obtenemos
\[ f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y), \]
y por tanto
\[ x=f^{-1}(y). \]
Recíprocamente, si
\[ f^{-1}(y)=x, \]
al aplicar \(f\) obtenemos
\[ f(f^{-1}(y))=f(x), \]
y por tanto
\[ y=f(x). \]
Lectura operacional
La igualdad
\[ f(x)=y \]
puede leerse en sentido inverso como
\[ f^{-1}(y)=x. \]
Es la misma correspondencia recorrida en direcciones opuestas:
\[ x\xrightarrow{f}y \qquad\Longleftrightarrow\qquad y\xrightarrow{f^{-1}}x. \]
La interpretación mediante fibras
Para \(y\in B\), la fibra de \(f\) sobre \(y\) es
\[ f^{-1}(\{y\}) = \{x\in A:f(x)=y\}. \]
La biyectividad dice exactamente que
\[ \boxed{ f^{-1}(\{y\})\text{ tiene un único elemento para cada }y\in B. } \]
Si escribimos
\[ f^{-1}(\{y\})=\{x\}, \]
entonces la función inversa simplemente asigna
\[ f^{-1}(y)=x. \]
De la fibra a la inversa
La fibra \(f^{-1}(\{y\})\) es un conjunto de antecedentes y tiene sentido para cualquier función.
Cuando \(f\) es biyectiva, cada una de esas fibras es un conjunto unitario. Entonces podemos extraer de cada fibra su único elemento y obtener la función inversa.
Dos usos distintos de la notación \(f^{-1}\)
La notación exige atención.
Preimagen de un conjunto
Para cualquier función \(f:A\to B\) y cualquier conjunto \(C\subseteq B\),
\[ f^{-1}(C) = \{x\in A:f(x)\in C\} \]
significa la preimagen de \(C\).
Esto no requiere que \(f\) sea biyectiva.
Función inversa
Si \(f\) es biyectiva, también existe la función
\[ f^{-1}:B\to A. \]
En este segundo uso, \(f^{-1}\) es una función.
Cuando \(f\) es biyectiva y \(C\subseteq B\), ambos lenguajes son compatibles:
\[ \boxed{ f^{-1}(C) = \{f^{-1}(y):y\in C\}. } \]
Aquí las dos apariciones de \(f^{-1}\) tienen funciones notacionales distintas:
- en el lado izquierdo, \(f^{-1}(C)\) es la preimagen de \(C\) por \(f\);
- en el lado derecho, \(f^{-1}(y)\) es el valor de la función inversa en \(y\).
No confundir
La expresión
\[ f^{-1}(\{y\}) \]
puede denotar la preimagen del conjunto unitario \(\{y\}\) incluso cuando \(f\) no tiene inversa.
En cambio,
\[ f^{-1}(y) \]
como valor de una función inversa sólo tiene sentido cuando la inversa existe.
La inversa no es el recíproco
Otra confusión frecuente consiste en identificar
\[ f^{-1}(x) \]
con
\[ \frac{1}{f(x)}. \]
Son objetos completamente diferentes.
Por ejemplo, si
\[ f(x)=2x-3, \]
su función inversa será
\[ f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}, \]
mientras que el recíproco de sus valores es
\[ \frac{1}{f(x)}=\frac{1}{2x-3}. \]
Error frecuente
El exponente \(-1\) en \(f^{-1}\) no significa elevar los valores de \(f\) a la potencia \(-1\).
La notación indica inversión respecto de la composición, no inversión multiplicativa.
Ejemplo: una función lineal
Consideremos
\[ f:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad f(x)=2x-3. \]
Ya sabemos que esta función es biyectiva. Para hallar su inversa, partimos de
\[ y=2x-3 \]
y resolvemos para \(x\):
\[ y+3=2x, \]
\[ x=\frac{y+3}{2}. \]
Intercambiando el nombre de la variable de entrada,
\[ \boxed{ f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}} \]
con
\[ f^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Verificación por composición
Primero,
\[ (f^{-1}\circ f)(x) = f^{-1}(2x-3) = \frac{(2x-3)+3}{2} =x. \]
Por tanto,
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
En el otro sentido,
\[ (f\circ f^{-1})(x) = 2\left(\frac{x+3}{2}\right)-3 =x. \]
Así,
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_{\mathbb R}. \]
Método algebraico para hallar una inversa
Cuando trabajamos con funciones reales dadas por fórmulas:
- verifica primero que la función sea biyectiva en el dominio y codominio declarados;
- escribe \(y=f(x)\);
- despeja \(x\) en función de \(y\);
- intercambia los nombres de las variables si resulta conveniente;
- declara explícitamente dominio y codominio de \(f^{-1}\);
- comprueba, cuando sea necesario, \[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id} \quad\text{y}\quad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}. \]
Despejar una ecuación puede sugerir una fórmula candidata, pero no sustituye la verificación de biyectividad ni el control de dominio y codominio.
La función cuadrado: por qué el dominio importa
Consideremos
\[ q:\mathbb R\to\mathbb R, \qquad q(x)=x^2. \]
Esta función no es inyectiva porque
\[ q(1)=q(-1)=1, \]
y tampoco es sobreyectiva sobre \(\mathbb R\) porque no alcanza valores negativos.
Por tanto, no tiene inversa
\[ q^{-1}:\mathbb R\to\mathbb R. \]
Si intentamos despejar
\[ y=x^2, \]
obtenemos
\[ x=\pm\sqrt y. \]
El signo \(\pm\) revela precisamente el problema: para \(y>0\) existen dos antecedentes, de modo que no podemos asignar un único valor sin introducir una restricción adicional.
Restricción que produce una biyección
Definamos
\[ r:[0,\infty)\to[0,\infty), \qquad r(x)=x^2. \]
Esta función sí es biyectiva. Como \(x\ge0\), al resolver
\[ y=x^2 \]
obtenemos unívocamente
\[ x=\sqrt y. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ r^{-1}(x)=\sqrt x} \]
con
\[ r^{-1}:[0,\infty)\to[0,\infty). \]
Restricción e inversión
Una fórmula que no define una función invertible sobre cierto dominio puede volverse invertible al restringir el dominio de manera que desaparezcan las repeticiones de valores y al elegir un codominio adecuado.
La raíz cuadrada principal aparece precisamente como inversa de la función cuadrado restringida a \([0,\infty)\).
Interpretación gráfica
Si \(f\) es una función real invertible, los puntos de su gráfica tienen la forma
\[ (x,f(x)). \]
Como
\[ f^{-1}(f(x))=x, \]
la gráfica de la inversa contiene el punto
\[ (f(x),x). \]
Las coordenadas se intercambian. Geométricamente, esto corresponde a reflejar la gráfica respecto de la recta
\[ y=x. \]
Por tanto, las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son simétricas respecto de esa recta.
Lectura gráfica
Invertir una función intercambia el papel de entrada y salida. En el plano cartesiano eso intercambia las coordenadas \((x,y)\) por \((y,x)\), que es exactamente la reflexión respecto de \(y=x\).
La inversa de la identidad
Para cualquier conjunto \(A\),
\[ \operatorname{id}_A:A\to A, \qquad \operatorname{id}_A(x)=x \]
es biyectiva.
Además,
\[ \operatorname{id}_A\circ\operatorname{id}_A = \operatorname{id}_A. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ \operatorname{id}_A^{-1}=\operatorname{id}_A } \]
La identidad es su propia inversa.
Inversa de una composición
Sean
\[ f:A\to B, \qquad g:B\to C \]
funciones biyectivas. Entonces
\[ g\circ f:A\to C \]
es biyectiva y
\[ \boxed{ (g\circ f)^{-1} = f^{-1}\circ g^{-1} } \]
Observa que el orden se invierte.
Demostración
Componemos:
\[ (f^{-1}\circ g^{-1})\circ(g\circ f). \]
Por asociatividad,
\[ f^{-1}\circ(g^{-1}\circ g)\circ f. \]
Como
\[ g^{-1}\circ g=\operatorname{id}_B, \]
queda
\[ f^{-1}\circ\operatorname{id}_B\circ f = f^{-1}\circ f = \operatorname{id}_A. \]
En el otro sentido,
\[ (g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1}) \]
se reduce a
\[ g\circ(f\circ f^{-1})\circ g^{-1} = g\circ\operatorname{id}_B\circ g^{-1} = \operatorname{id}_C. \]
Por tanto,
\[ (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}. \]
Por qué se invierte el orden
Si primero aplicamos \(f\) y después \(g\), para deshacer el proceso debemos comenzar deshaciendo \(g\) y sólo entonces deshacer \(f\):
\[ A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C \qquad\leadsto\qquad C\xrightarrow{g^{-1}}B\xrightarrow{f^{-1}}A. \]
La inversa es única
Si una función \(f:A\to B\) tiene inversa, esa inversa es única.
Supongamos que \(g:B\to A\) y \(h:B\to A\) son ambas inversas de \(f\). Entonces
\[ g = g\circ\operatorname{id}_B = g\circ(f\circ h). \]
Por asociatividad,
\[ g\circ(f\circ h) =(g\circ f)\circ h. \]
Como \(g\circ f=\operatorname{id}_A\),
\[ (g\circ f)\circ h = \operatorname{id}_A\circ h =h. \]
Luego
\[ \boxed{g=h}. \]
Así, cuando escribimos \(f^{-1}\), no hay ambigüedad: una función invertible posee una única inversa.
Invertir dos veces recupera la función
Si \(f:A\to B\) es biyectiva, entonces su inversa
\[ f^{-1}:B\to A \]
también es biyectiva. Además, las identidades
\[ f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B \]
y
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A \]
muestran que \(f\) es precisamente la inversa de \(f^{-1}\).
Por tanto,
\[ \boxed{ (f^{-1})^{-1}=f } \]
La inversión es reversible
Pasar de \(f\) a \(f^{-1}\) no pierde información: invertir nuevamente devuelve la función original.
Comprobación conceptual
Antes de afirmar que una inversa existe
Para una función \(f:A\to B\), conviene comprobar:
- Inyectividad: cada \(y\in B\) tiene a lo sumo un antecedente.
- Sobreyectividad: cada \(y\in B\) tiene al menos un antecedente.
- Biyectividad: por tanto, cada \(y\in B\) tiene exactamente un antecedente.
- Sólo entonces ese antecedente único puede definirse como \(f^{-1}(y)\).
En términos de composición, la verificación final es
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A, \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B. \]
La idea central puede condensarse en una sola cadena:
\[ \boxed{ \text{fibras unitarias} \iff \text{biyectividad} \iff \text{existencia de función inversa} } \]
Relaciones
- Prerrequisitos: Funciones reales: dominio, codominio, imagen y preimagen (
MA-CON-0007); Composición de funciones e identidad (MA-CON-0008); Inyectividad, sobreyectividad y biyectividad (MA-CON-0009). - Contenidos relacionados: Operaciones con conjuntos reales: unión, intersección, complemento y diferencia (
MA-CON-0006). - Siguiente paso natural: comportamiento de funciones inversas bajo continuidad y derivación, una vez introducidas esas nociones.