Intervalos e intersección de conjuntos reales
Una gran parte de las desigualdades y de los problemas de dominio termina describiendo qué números reales están permitidos. Para expresar esos conjuntos con precisión usamos, entre otras herramientas, la notación de intervalos.
Por ejemplo,
\[ -2\le x\le 5 \]
puede escribirse como
\[ x\in[-2,5]. \]
Ambas expresiones describen exactamente el mismo subconjunto de \(\mathbb{R}\).
Intuición
Un intervalo describe una región continua de la recta real. Los corchetes y paréntesis indican si los puntos de frontera pertenecen o no al conjunto.
Pertenencia a un conjunto
El símbolo
\[ x\in A \]
se lee «\(x\) pertenece a \(A\)» y significa que \(x\) es uno de los elementos del conjunto \(A\).
En cambio,
\[ x\notin A \]
significa que \(x\) no pertenece a \(A\).
Si
\[ A=[-2,5], \]
entonces
\[ 0\in A, \qquad -2\in A, \qquad 5\in A, \]
mientras que
\[ 6\notin A. \]
Intervalos acotados
Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) con \(a<b\).
Intervalo cerrado
\[ [a,b] = \{x\in\mathbb{R}:a\le x\le b\}. \]
Los dos extremos están incluidos.
Intervalo abierto
\[ (a,b) = \{x\in\mathbb{R}:a<x<b\}. \]
Los dos extremos están excluidos.
Intervalos semiabiertos
También podemos incluir un extremo y excluir el otro:
\[ [a,b) = \{x\in\mathbb{R}:a\le x<b\}, \]
\[ (a,b] = \{x\in\mathbb{R}:a<x\le b\}. \]
Método
Para traducir una desigualdad a notación de intervalos:
- usa corchete
[o]cuando el extremo está incluido mediante \(\le\) o \(\ge\); - usa paréntesis
(o)cuando el extremo está excluido mediante \(<\) o \(>\).
Semirrectas e intervalos no acotados
Las condiciones que sólo tienen una frontera producen intervalos no acotados.
Por ejemplo,
\[ x\ge3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[3,\infty), \]
mientras que
\[ x>3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(3,\infty). \]
Del otro lado,
\[ x\le3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,3], \]
\[ x<3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\in(-\infty,3). \]
Error frecuente
Los símbolos \(\infty\) y \(-\infty\) no representan números reales. Por eso nunca se escriben con corchete. Las expresiones correctas son siempre
\[ (a,\infty), \qquad (-\infty,b), \]
o sus variantes con el extremo real incluido.
El conjunto vacío y toda la recta real
El conjunto que no contiene ningún elemento se denota
\[ \varnothing. \]
Por ejemplo, la condición
\[ x^2<0 \]
no tiene solución real, así que su conjunto solución es
\[ \varnothing. \]
En el extremo opuesto, todo número real pertenece a
\[ \mathbb{R}=(-\infty,\infty). \]
Intersección: cumplir condiciones simultáneamente
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. Su intersección es
\[ A\cap B = \{x:x\in A\text{ y }x\in B\}. \]
La palabra decisiva es y: un elemento pertenece a \(A\cap B\) sólo si pertenece a ambos conjuntos simultáneamente.
Consideremos
\[ A=[-2,\infty) \]
y
\[ B=(-\infty,5]. \]
Entonces
\[ A\cap B=[-2,5]. \]
Esto corresponde exactamente al sistema de condiciones
\[ x\ge-2 \qquad\text{y}\qquad x\le5. \]
Dominio
Cuando varias operaciones imponen restricciones diferentes, el dominio se obtiene tomando la intersección de los conjuntos permitidos por cada restricción.
Ejemplo de intersección vacía
Si
\[ A=(-\infty,0] \]
y
\[ B=[2,\infty), \]
no existe ningún número real que pertenezca a ambos. Por tanto,
\[ A\cap B=\varnothing. \]
Unión: cumplir una condición o la otra
La unión de dos conjuntos es
\[ A\cup B = \{x:x\in A\text{ o }x\in B\}. \]
Aquí la palabra clave es o.
Por ejemplo,
\[ x\le-1 \qquad\text{o}\qquad x\ge3 \]
se escribe
\[ x\in(-\infty,-1]\cup[3,\infty). \]
El conjunto solución tiene dos componentes separadas.
Observación
No todo subconjunto de \(\mathbb{R}\) que aparece como solución es un único intervalo. Una desigualdad puede producir una unión de varios intervalos disjuntos.
Intersección y unión no significan lo mismo
Comparemos:
\[ [-2,4]\cap[1,6]=[1,4], \]
porque la intersección conserva sólo la parte común.
En cambio,
\[ [-2,4]\cup[1,6]=[-2,6], \]
porque entre ambos intervalos cubren de manera continua todos los puntos desde \(-2\) hasta \(6\).
Si los intervalos no se tocan, la unión permanece separada. Por ejemplo,
\[ [-2,0]\cup[2,4] \]
no puede simplificarse a \([-2,4]\), porque los números del intervalo \((0,2)\) no pertenecen al conjunto original.
Varias restricciones
La intersección puede extenderse a más de dos conjuntos. Si una expresión impone tres condiciones
\[ x\in A, \qquad x\in B, \qquad x\in C, \]
entonces el conjunto permitido es
\[ A\cap B\cap C. \]
Por ejemplo, supongamos que obtenemos
\[ x\ge-3, \]
\[ x<4, \]
y
\[ x\ne1. \]
Las dos primeras restricciones producen
\[ [-3,4), \]
pero debemos retirar además el punto \(1\). El resultado puede escribirse como
\[ [-3,1)\cup(1,4). \]
Este ejemplo muestra que una intersección de restricciones puede terminar produciendo una unión de intervalos.
Traducción entre desigualdades e intervalos
Las equivalencias básicas son:
| Desigualdad | Intervalo |
|---|---|
| \(a\le x\le b\) | \([a,b]\) |
| \(a<x<b\) | \((a,b)\) |
| \(a\le x<b\) | \([a,b)\) |
| \(a<x\le b\) | \((a,b]\) |
| \(x\ge a\) | \([a,\infty)\) |
| \(x>a\) | \((a,\infty)\) |
| \(x\le b\) | \((-\infty,b]\) |
| \(x<b\) | \((-\infty,b)\) |
Esta traducción debe conservar exactamente la información de inclusión o exclusión de los extremos.
Conexión con desigualdades cuadráticas
En Desigualdades cuadráticas por factorización (MA-CON-0001) aparece la equivalencia
\[ (x-a)(x-b)\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\le x\le b, \]
para \(a<b\).
Ahora podemos expresar el resultado directamente como conjunto:
\[ \boxed{x\in[a,b]}. \]
Para la desigualdad opuesta,
\[ (x-a)(x-b)\ge0, \]
la solución es
\[ \boxed{x\in(-\infty,a]\cup[b,\infty)}. \]
Aquí aparece naturalmente una unión de dos intervalos.
Conexión con valor absoluto
En Valor absoluto y desigualdades básicas (MA-CON-0002) tenemos, para \(r\ge0\),
\[ |x-a|\le r \quad\Longleftrightarrow\quad x\in[a-r,a+r]. \]
Mientras que
\[ |x-a|\ge r \]
produce una unión:
\[ x\in(-\infty,a-r]\cup[a+r,\infty). \]
La geometría del valor absoluto se vuelve especialmente clara cuando se interpreta mediante intervalos.
Conexión con dominios
En Dominio de funciones reales con radicales (MA-CON-0003) estudiamos la regla general
\[ D=A\cap B\cap\cdots, \]
cuando distintas operaciones imponen distintas restricciones.
Por ejemplo,
\[ f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{5-x} \]
exige
\[ x\in[-2,\infty) \]
y simultáneamente
\[ x\in(-\infty,5]. \]
Por tanto,
\[ D_f=[-2,\infty)\cap(-\infty,5]=[-2,5]. \]
En Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002) aparece, en cambio, un dominio no conexo:
\[ \boxed{D_f=\left[-\frac14,0\right]\cup[2,\infty)}. \]
Esto confirma que un dominio real no tiene por qué ser siempre un solo intervalo.
Procedimiento práctico
Cuando un problema produzca condiciones sobre una variable real:
- escribe cada condición con claridad;
- tradúcela a un conjunto o intervalo;
- identifica si las condiciones están unidas por y o por o;
- usa intersección para condiciones simultáneas;
- usa unión para alternativas;
- conserva correctamente los extremos abiertos y cerrados;
- simplifica la expresión de conjuntos sólo si no introduces puntos nuevos ni eliminas puntos válidos.
Comprobación
Para verificar una respuesta escrita con intervalos, prueba mentalmente:
- un punto claramente interior;
- cada extremo;
- un punto inmediatamente fuera;
- y, si hay una unión, un punto situado entre sus componentes.
Cada prueba debe concordar con las desigualdades originales.
La idea central puede resumirse así:
\[ \boxed{ \text{restricciones} \;\longrightarrow\; \text{conjuntos} \;\longrightarrow\; \cap\text{ o }\cup \;\longrightarrow\; \text{descripción final} }. \]