Propiedades del orden en ℝ y manipulación de desigualdades
Las desigualdades no se manipulan mediante una colección de trucos aislados. Sus reglas provienen de la manera en que el orden de los números reales interactúa con las operaciones aritméticas.
El objetivo de esta página es establecer esas reglas con suficiente precisión para distinguir entre una transformación siempre válida y otra que exige información adicional sobre los signos.
Intuición
Una desigualdad expresa una posición relativa en la recta real. Algunas operaciones trasladan o escalan esa recta sin cambiar el orden; otras invierten su orientación.
La pregunta útil no es solamente «¿qué operación hago?», sino:
¿esta operación conserva el orden, lo invierte o necesita una hipótesis de signo?
El orden de los números reales
Dados dos números reales \(a\) y \(b\), exactamente una de las siguientes posibilidades ocurre:
\[ a<b,\qquad a=b,\qquad a>b. \]
Esta propiedad se conoce como tricotomía.
Además, el orden es transitivo:
\[ a<b\quad\text{y}\quad b<c \quad\Longrightarrow\quad a<c. \]
Análogamente,
\[ a\le b\quad\text{y}\quad b\le c \quad\Longrightarrow\quad a\le c. \]
Estas propiedades permiten escribir cadenas como
\[ a<b<c \]
como abreviatura de las dos condiciones
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad b<c. \]
Sumar o restar la misma cantidad
Si
\[ a<b, \]
entonces, para cualquier \(c\in\mathbb R\),
\[ a+c<b+c. \]
Más aún, la implicación es reversible:
\[ \boxed{ a<b \quad\Longleftrightarrow\quad a+c<b+c }. \]
Lo mismo vale para \(\le\), \(>\) y \(\ge\).
Por ejemplo,
\[ x-7\le 4 \]
es equivalente a
\[ x\le 11. \]
Método
Sumar o restar una misma cantidad en ambos miembros de una desigualdad no cambia su sentido.
No hace falta conocer el signo de la cantidad añadida.
Multiplicar por un número positivo
Si
\[ a<b \]
y \(c>0\), entonces
\[ ac<bc. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ a<b \quad\Longleftrightarrow\quad ac<bc \qquad(c>0) }. \]
Dividir por un número positivo produce la misma conservación del orden.
Ejemplo:
\[ 3x<12 \quad\Longleftrightarrow\quad x<4. \]
Multiplicar por un número negativo
Si \(c<0\), la orientación cambia:
\[ a<b \quad\Longrightarrow\quad ac>bc. \]
Así,
\[ \boxed{ a<b \quad\Longleftrightarrow\quad ac>bc \qquad(c<0) }. \]
Por ejemplo,
\[ -2x\le 6 \]
al dividir por \(-2\) se convierte en
\[ x\ge -3. \]
Error frecuente
No se invierte una desigualdad simplemente «porque estamos dividiendo». Se invierte porque se multiplica o divide por una cantidad negativa.
El signo del factor es la información decisiva.
Por qué aparece la inversión
Si
\[ a<b, \]
entonces, al sumar \(-b\) a ambos lados,
\[ a-b<0. \]
Multiplicar por \(-1\) cambia el signo de un número negativo:
\[ -(a-b)>0. \]
Como
\[ -(a-b)=b-a, \]
tenemos
\[ b-a>0, \]
es decir,
\[ -b<-a. \]
Por eso
\[ \boxed{a<b\Longleftrightarrow -a>-b}. \]
El caso del factor cero
Multiplicar ambos miembros por cero destruye la información de orden:
\[ a<b \]
se transforma en
\[ 0=0. \]
Por tanto, no existe una equivalencia del tipo
\[ a<b \Longleftrightarrow 0a<0b. \]
Observación
Cuando dividimos una desigualdad por una expresión que contiene la variable, primero debemos saber si esa expresión es positiva, negativa o cero. Sin ese control, no sabemos si el sentido se conserva, se invierte o si la división está prohibida.
Sumar desigualdades
Si
\[ a\le b \]
y
\[ c\le d, \]
entonces
\[ \boxed{a+c\le b+d}. \]
En efecto,
\[ a+c\le b+c\le b+d. \]
La transitividad completa el argumento.
Para desigualdades estrictas, si
\[ a<b \qquad\text{y}\qquad c<d, \]
entonces
\[ a+c<b+d. \]
Sin embargo, no toda operación puede hacerse miembro a miembro con la misma libertad.
Multiplicar desigualdades requiere control de signos
De
\[ a\le b \qquad\text{y}\qquad c\le d \]
no se puede concluir en general que
\[ ac\le bd. \]
Por ejemplo,
\[ -3<-2 \qquad\text{y}\qquad -3<-2, \]
pero
\[ 9>4. \]
Una condición suficiente frecuente es que todas las cantidades sean no negativas:
\[ 0\le a\le b, \qquad 0\le c\le d. \]
Entonces sí:
\[ ac\le bc\le bd, \]
y por tanto
\[ \boxed{ac\le bd}. \]
Control de signos
Antes de multiplicar desigualdades, dividir por expresiones variables, tomar recíprocos o elevar al cuadrado, determina qué signos son posibles.
Muchas manipulaciones incorrectas no fallan por álgebra, sino por haber omitido este paso lógico.
Tomar recíprocos
Supongamos que \(a\) y \(b\) son no nulos y tienen el mismo signo. Si
\[ a<b, \]
entonces
\[ \boxed{ \frac1a>\frac1b }. \]
Una manera compacta de verlo es observar que \(ab>0\). Dividir
\[ a<b \]
por el número positivo \(ab\) conserva el sentido:
\[ \frac{a}{ab}<\frac{b}{ab}, \]
o sea,
\[ \frac1b<\frac1a. \]
Por ejemplo,
\[ 2<5 \quad\Longrightarrow\quad \frac12>\frac15. \]
Y también
\[ -5<-2 \quad\Longrightarrow\quad -\frac15>-\frac12. \]
Si el intervalo considerado atraviesa el cero, esta regla no puede aplicarse sin separar casos, porque \(1/x\) ni siquiera está definida en \(x=0\).
Elevar al cuadrado no siempre conserva el orden
De
\[ a<b \]
no se deduce en general
\[ a^2<b^2. \]
Por ejemplo,
\[ -4<-2, \]
pero
\[ 16>4. \]
La función
\[ t\mapsto t^2 \]
es creciente sobre \([0,\infty)\), pero no sobre toda la recta real.
Por eso, si
\[ 0\le a<b, \]
entonces sí
\[ a^2<b^2. \]
Y si
\[ a<b\le0, \]
entonces ocurre lo contrario:
\[ a^2>b^2. \]
Esta distinción es esencial al trabajar con radicales.
Cuadrar una desigualdad con una raíz
Consideremos
\[ \sqrt{u}\le v. \]
Para que la expresión tenga sentido necesitamos
\[ u\ge0. \]
Además, como \(\sqrt u\ge0\), la desigualdad sólo puede cumplirse si
\[ v\ge0. \]
Bajo esas dos condiciones, ambos miembros son no negativos y podemos cuadrar preservando la equivalencia:
\[ \boxed{ \sqrt u\le v \quad\Longleftrightarrow\quad u\le v^2 } \]
siempre que se mantengan explícitamente
\[ u\ge0, \qquad v\ge0. \]
Esta es exactamente la precaución utilizada al determinar dominios con radicales anidados.
Resolver una desigualdad lineal paso a paso
Consideremos
\[ 5-3x<11. \]
Restamos \(5\) en ambos miembros:
\[ -3x<6. \]
Ahora dividimos por \(-3\). Como el divisor es negativo, invertimos el sentido:
\[ x>-2. \]
Por tanto, el conjunto solución es
\[ \boxed{(-2,\infty)}. \]
Cada paso es una equivalencia:
\[ 5-3x<11 \Longleftrightarrow -3x<6 \Longleftrightarrow x>-2. \]
Una desigualdad con parámetro de signo desconocido
Supongamos que queremos resolver
\[ ax<b \]
respecto de \(x\).
No existe una única respuesta sin conocer \(a\).
Si \(a>0\),
\[ x<\frac ba. \]
Si \(a<0\),
\[ x>\frac ba. \]
Si \(a=0\), la desigualdad se convierte en
\[ 0<b, \]
que puede ser verdadera para todo \(x\) o falsa para todo \(x\), según el valor de \(b\).
Error frecuente
La expresión
\[ ax<b \quad\Longrightarrow\quad x<\frac ba \]
no es válida sin la hipótesis \(a>0\).
Dividir por una cantidad cuyo signo se desconoce exige separar casos.
Desigualdades dobles
Una cadena como
\[ -2<3x+1\le7 \]
representa simultáneamente
\[ -2<3x+1 \]
y
\[ 3x+1\le7. \]
Como las mismas operaciones son válidas en los tres miembros, podemos restar \(1\):
\[ -3<3x\le6, \]
y después dividir por \(3>0\):
\[ -1<x\le2. \]
En notación de intervalos,
\[ \boxed{x\in(-1,2]}. \]
Aquí aparece directamente la conexión con Intervalos e intersección de conjuntos reales (MA-CON-0004).
Qué significa preservar equivalencia
Al resolver una desigualdad buscamos, idealmente, una cadena de expresiones con el mismo conjunto solución.
Por eso conviene distinguir
\[ P\Longrightarrow Q \]
de
\[ P\Longleftrightarrow Q. \]
Una transformación reversible bajo las hipótesis vigentes permite usar \(\Longleftrightarrow\).
Una transformación que sólo garantiza una dirección puede introducir soluciones adicionales o perder información.
Método de control
Antes de transformar una desigualdad, pregunta:
- ¿la operación está definida?
- ¿conozco el signo de las cantidades relevantes?
- ¿el orden se conserva o se invierte?
- ¿el paso es reversible?
- ¿mantengo el mismo conjunto solución?
Conexiones con el corpus
Estas reglas sostienen directamente varios contenidos ya publicados:
- Desigualdades cuadráticas por factorización (
MA-CON-0001) usa el signo de factores y la inversión producida por factores negativos. - Valor absoluto y desigualdades básicas (
MA-CON-0002) traduce relaciones de orden en condiciones de distancia. - Dominio de funciones reales con radicales (
MA-CON-0003) exige controlar signos antes de cuadrar. - Intervalos e intersección de conjuntos reales (
MA-CON-0004) proporciona el lenguaje conjuntista para expresar los conjuntos solución.
Los problemas Dominio de una función radical cuadrática (MA-PRB-0001) y Dominio de un radical anidado (MA-PRB-0002) son aplicaciones concretas de estas reglas.
Resumen operativo
Para \(a,b,c\in\mathbb R\):
\[ \boxed{ a<b \Longleftrightarrow a+c<b+c } \]
para todo \(c\);
\[ \boxed{ a<b \Longleftrightarrow ac<bc } \]
si \(c>0\);
\[ \boxed{ a<b \Longleftrightarrow ac>bc } \]
si \(c<0\).
Y, antes de aplicar transformaciones como
\[ \text{dividir},\qquad \text{invertir},\qquad \text{multiplicar desigualdades},\qquad \text{elevar al cuadrado}, \]
la regla general es:
\[ \boxed{ \text{primero controlar signos; después transformar} }. \]