Supremo e ínfimo: las cotas óptimas y su relación con el máximo y el mínimo

Definiciones y demostraciones de cotas óptimas, criterios épsilon, máximos y mínimos; laboratorio geométrico interactivo.
Fecha de última modificación

18 de septiembre de 2026

Nota

Tesis El supremo es la menor de las cotas superiores de un conjunto; el ínfimo, la mayor de sus cotas inferiores. El máximo y el mínimo exigen algo más: pertenecer al conjunto. Ésta es una distinción de orden, no una diferencia entre notaciones.

El análisis requiere hablar con precisión de conjuntos que se aproximan a un extremo sin alcanzarlo. La notación «el mayor valor» resulta insuficiente: puede no haber ningún elemento mayor que todos los demás y, sin embargo, existir una frontera exacta por encima de la cual todos quedan situados. Desarrollaremos primero la teoría deductiva en \(\mathbb R\); después la traduciremos a la recta, al plano y a un laboratorio manipulable.

Prerrequisitos. Orden de los reales, desigualdades, intervalos y cuantificadores. Utilizaremos la propiedad de completitud de \(\mathbb R\) de forma explícita; cuando trabajemos en otro conjunto ordenado, lo indicaremos.

I. Construcción formal

1. Cotas y extremos: cuatro definiciones distintas

Definición 1 (cota superior e inferior). Sea \(A\subseteq\mathbb R\). Un número \(u\in\mathbb R\) es una cota superior de \(A\) si

\[\forall a\in A,\quad a\le u.\]

Un número \(\ell\in\mathbb R\) es una cota inferior de \(A\) si

\[\forall a\in A,\quad \ell\le a.\]

Diremos que \(A\) está acotado superiormente si admite alguna cota superior, acotado inferiormente si admite alguna cota inferior y acotado si cumple ambas condiciones. Ninguna de estas definiciones exige que \(u\) o \(\ell\) pertenezcan a \(A\).

Definición 2 (supremo). El número \(s\in\mathbb R\) es el supremo de \(A\), y escribimos \(s=\sup A\), si cumple simultáneamente:

  1. \(\forall a\in A,\ a\le s\) (es cota superior);
  2. \(\forall u\in\mathbb R,\ [ (\forall a\in A,\ a\le u)\Rightarrow s\le u]\) (es la menor de todas las cotas superiores).

Definición 3 (ínfimo). El número \(i\in\mathbb R\) es el ínfimo de \(A\), y escribimos \(i=\inf A\), si:

  1. \(\forall a\in A,\ i\le a\) (es cota inferior);
  2. \(\forall \ell\in\mathbb R,\ [ (\forall a\in A,\ \ell\le a)\Rightarrow \ell\le i]\) (es la mayor de todas las cotas inferiores).

Definición 4 (máximo y mínimo). Un número \(M\) es un máximo de \(A\) si

\[M\in A\quad\text{y}\quad \forall a\in A,\ a\le M.\]

Un número \(m\) es un mínimo de \(A\) si

\[m\in A\quad\text{y}\quad \forall a\in A,\ m\le a.\]

Una cota superior puede estar muy por encima de \(A\); el supremo es la cota superior ajustada. En cambio, «máximo» significa que uno de los elementos realiza efectivamente el extremo. Los enunciados duales corresponden al ínfimo y al mínimo.

Proposición 1 (unicidad). Si existe, cada uno de los cuatro extremos es único.

Demostración. Si \(s\) y \(t\) son supremos, cada uno es cota superior; la condición de minimalidad de \(s\) da \(s\le t\) y la de \(t\) da \(t\le s\). Por antisimetría, \(s=t\). El razonamiento dual prueba la unicidad del ínfimo. Si \(M,N\) son máximos, ambos pertenecen a \(A\); como \(M\) domina a todos, \(N\le M\), y como \(N\) domina a todos, \(M\le N\). Así, \(M=N\). La prueba para mínimos es dual. \(\square\)

2. Existencia: el papel preciso de la completitud

Axioma de completitud (propiedad del supremo). Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R\) que está acotado superiormente tiene supremo en \(\mathbb R\).

El axioma garantiza la existencia del supremo bajo dos hipótesis: \(A\ne\varnothing\) y acotación superior. No garantiza que el supremo sea elemento del conjunto.

Teorema 2 (existencia del ínfimo). Todo subconjunto no vacío de \(\mathbb R\) acotado inferiormente tiene ínfimo real.

Demostración. Sea \(-A=\{-a:a\in A\}\). Este conjunto es no vacío. Si \(\ell\) es cota inferior de \(A\), entonces \(-\ell\) es cota superior de \(-A\). Por completitud existe \(s=\sup(-A)\). Para cualquier \(a\in A\) tenemos \(-a\le s\), luego \(-s\le a\): \(-s\) es cota inferior de \(A\). Si \(b\) es otra cota inferior, \(-b\) es cota superior de \(-A\), así que \(s\le-b\) y \(b\le-s\). Por definición, \(\inf A=-\sup(-A)\). \(\square\)

Advertencia sobre el dominio. En el orden usual de \(\mathbb Q\) la propiedad del supremo falla. El conjunto

\[B=\{q\in\mathbb Q:0<q,\ q^2<2\}\]

es no vacío y está acotado, pero no tiene supremo racional: en \(\mathbb R\) su supremo es \(\sqrt2\), que no pertenece a \(\mathbb Q\). La expresión \(\sup B\) exige especificar el universo ordenado cuando exista ambigüedad.

Casos límite. El conjunto vacío no tiene supremo ni ínfimo reales: cualquier real es simultáneamente cota superior e inferior, y \(\mathbb R\) no tiene ni menor ni mayor elemento. Asimismo, un conjunto no acotado superiormente carece de supremo real; uno no acotado inferiormente carece de ínfimo real. En la recta real extendida, por convención, se escribe \(\sup\varnothing=-\infty\), \(\inf\varnothing=+\infty\), y se admiten extremos infinitos para conjuntos no acotados. Estas convenciones no producen máximos ni mínimos reales.

3. Caracterización aproximativa: la frontera se puede alcanzar arbitrariamente de cerca

Teorema 3 (criterio \(\varepsilon\) para el supremo). Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y \(s\in\mathbb R\). Son equivalentes:

  1. \(s=\sup A\);

  2. \(s\) es cota superior de \(A\) y

    \[\forall\varepsilon>0\quad\exists a_\varepsilon\in A:\quad s-\varepsilon<a_\varepsilon\le s.\]

Demostración, \(1\Rightarrow2\). Si \(s=\sup A\), es cota superior. Dado \(\varepsilon>0\), el número \(s-\varepsilon<s\) no puede ser una cota superior, pues \(s\) es la menor. Por tanto existe \(a_\varepsilon\in A\) con \(a_\varepsilon>s-\varepsilon\). La condición de cota da \(a_\varepsilon\le s\).

Demostración, \(2\Rightarrow1\). Supongamos la condición aproximativa. Si hubiera una cota superior \(u<s\), elegiríamos \(\varepsilon=s-u>0\). Existiría \(a_\varepsilon\in A\) tal que \(u=s-\varepsilon<a_\varepsilon\), contradicción. Luego toda cota superior es mayor o igual que \(s\) y, puesto que \(s\) es una de ellas, \(s=\sup A\). \(\square\)

Teorema 4 (criterio \(\varepsilon\) para el ínfimo). Para \(A\ne\varnothing\) e \(i\in\mathbb R\) son equivalentes:

\[i=\inf A\]

y la conjunción de «\(i\) es cota inferior» con

\[\forall\varepsilon>0\quad\exists a_\varepsilon\in A:\quad i\le a_\varepsilon<i+\varepsilon.\]

Demostración. Si \(i\) es la mayor cota inferior, \(i+\varepsilon\) no puede ser una cota inferior; algún \(a_\varepsilon\) satisface \(a_\varepsilon<i+\varepsilon\), mientras \(i\le a_\varepsilon\). Recíprocamente, si una cota inferior \(\ell\) fuera mayor que \(i\), tomar \(\varepsilon=\ell-i>0\) produciría \(a_\varepsilon<\ell\), una contradicción. \(\square\)

Nota

Cuantificadores «Para todo \(\varepsilon>0\) existe algún \(a_\varepsilon\in A\)» no significa «existe un único \(a\in A\) que funciona para todo \(\varepsilon\)». El punto testigo puede cambiar con la precisión solicitada. Precisamente esta posibilidad permite que el supremo no pertenezca a \(A\).

4. Relación exacta con máximo y mínimo

Teorema 5 (pertenencia). Sean \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado superiormente, y \(s=\sup A\). Entonces

\[\boxed{\max A\text{ existe}\ \Longleftrightarrow\ s\in A,\qquad\text{y, si existe, }\max A=s.}\]

Demostración. Si existe un máximo \(M\), éste es una cota superior. Como \(s\) es la menor cota superior, \(s\le M\). Puesto que \(M\in A\) y \(s\) es cota superior, \(M\le s\). Por tanto \(s=M\in A\). Recíprocamente, si \(s\in A\), la condición de cota superior asegura \(a\le s\) para todo \(a\in A\); luego \(s\) es el máximo. \(\square\)

Teorema 6 (dualidad). Si \(A\ne\varnothing\) está acotado inferiormente e \(i=\inf A\), entonces

\[\boxed{\min A\text{ existe}\ \Longleftrightarrow\ i\in A,\qquad\text{y, si existe, }\min A=i.}\]

Demostración. Si \(m=\min A\), es cota inferior, así que \(m\le i\); como \(m\in A\) e \(i\) es cota inferior, \(i\le m\). Luego \(i=m\in A\). Si \(i\in A\), domina inferiormente a todos los elementos y por tanto es mínimo. \(\square\)

Corolario 7. Todo conjunto finito no vacío de números reales tiene máximo y mínimo, y ambos coinciden respectivamente con su supremo e ínfimo.

Demostración. Para un conjunto de un elemento la afirmación es inmediata. Al añadir un elemento \(x\) a un conjunto finito que ya tiene máximo \(M\) y mínimo \(m\), los nuevos extremos son \(\max\{M,x\}\) y \(\min\{m,x\}\). Por inducción todos los conjuntos finitos no vacíos admiten ambos extremos; se aplican los teoremas 5 y 6. \(\square\)

Consecuencia importante. Un conjunto infinito puede tener máximo y mínimo, uno solo o ninguno. La infinitud por sí misma no decide la existencia de extremos realizados.

5. Cálculo y comportamiento de las cotas óptimas

Proposición 8 (inclusión y orden). Si \(\varnothing\ne A\subseteq B\subseteq\mathbb R\) y \(B\) está acotado, entonces

\[\inf B\le\inf A\le\sup A\le\sup B.\]

Demostración. Toda cota superior de \(B\) también acota superiormente a \(A\); en particular \(\sup B\) es cota superior de \(A\), de donde \(\sup A\le\sup B\). Análogamente, \(\inf B\) es cota inferior de \(A\), así que \(\inf B\le\inf A\). Elegido \(a\in A\), se cumple \(\inf A\le a\le\sup A\). \(\square\)

Proposición 9 (unión finita). Si \(A,B\ne\varnothing\) están acotados superior e inferiormente, entonces

\[\sup(A\cup B)=\max\{\sup A,\sup B\},\qquad \inf(A\cup B)=\min\{\inf A,\inf B\}.\]

Demostración. El mayor de ambos supremos acota superiormente a la unión. Cualquier cota superior de la unión es cota superior de cada conjunto, de modo que no puede ser menor que ninguno de los dos supremos; por tanto no es menor que su máximo. La segunda identidad se obtiene intercambiando «superior/mayor» por «inferior/menor». \(\square\)

Proposición 10 (traslación y cambio de escala). Si \(A\ne\varnothing\) está acotado y \(t\in\mathbb R\), escribamos \(A+t=\{a+t:a\in A\}\) y \(\lambda A=\{\lambda a:a\in A\}\). Entonces

\[\sup(A+t)=\sup A+t,\qquad\inf(A+t)=\inf A+t.\]

Para \(\lambda>0\),

\[\sup(\lambda A)=\lambda\sup A,\qquad\inf(\lambda A)=\lambda\inf A;\]

y para \(\lambda<0\),

\[\sup(\lambda A)=\lambda\inf A,\qquad\inf(\lambda A)=\lambda\sup A.\]

Si \(\lambda=0\), ambos extremos de \(\lambda A=\{0\}\) son \(0\).

Demostración. Sumar \(t\) o multiplicar por un escalar positivo conserva las desigualdades y transforma las cotas en correspondencia biyectiva, preservando su orden. Un escalar negativo invierte el orden: las cotas superiores de \(\lambda A\) corresponden a las cotas inferiores de \(A\) y viceversa. Para \(\lambda=0\) la imagen es el conjunto unitario indicado. \(\square\)

Teorema 11 (suma de conjuntos). Sean \(A,B\subseteq\mathbb R\) no vacíos y acotados, y sea \(A+B=\{a+b:a\in A,\ b\in B\}\). Entonces

\[\boxed{\sup(A+B)=\sup A+\sup B,\qquad\inf(A+B)=\inf A+\inf B.}\]

Demostración. Sean \(s=\sup A\) y \(t=\sup B\). Para todo \(a\in A\), \(b\in B\), tenemos \(a+b\le s+t\); es cota superior. Dado \(\varepsilon>0\), el teorema 3 proporciona \(a\in A\) y \(b\in B\) tales que \(a>s-\varepsilon/2\) y \(b>t-\varepsilon/2\). Así, \(a+b>s+t-\varepsilon\). Por el mismo criterio, \(s+t=\sup(A+B)\). Para los ínfimos, aplicamos el teorema 4 con la misma partición de \(\varepsilon\) y las desigualdades invertidas. \(\square\)

Nota

Una inferencia falsa De \(A\subseteq B\) no se deduce que \(\max A\le\max B\) sin verificar antes que ambos máximos existen. La desigualdad entre supremos sí está garantizada cuando los conjuntos no vacíos están acotados superiormente.

6. Ejemplos calculados antes de mirar los diagramas

Ejemplo 1. \(A=(0,1)\). Se tiene \(\inf A=0\) y \(\sup A=1\). El número \(1\) es cota superior; para todo \(\varepsilon>0\) sirve, por ejemplo, \(a_\varepsilon=1-\min\{\varepsilon/2,1/2\}\in(0,1)\), que satisface \(1-\varepsilon<a_\varepsilon\). Del mismo modo, \(b_\varepsilon=\min\{\varepsilon/2,1/2\}\) acredita el ínfimo. Ni \(0\) ni \(1\) pertenecen al conjunto: no hay mínimo ni máximo.

Ejemplo 2. \(B=[0,1]\). Sus extremos numéricos siguen siendo \(\inf B=0\) y \(\sup B=1\), pero ahora \(0,1\in B\) y, por los teoremas 5 y 6, \(\min B=0\), \(\max B=1\).

Ejemplo 3. \(C=(0,1]\). \(\inf C=0\) sin mínimo; \(\sup C=1=\max C\). El conjunto \([0,1)\) invierte estos dos comportamientos.

Ejemplo 4 (sucesión como conjunto). \(D=\{1-1/n:n\in\mathbb N,\ n\ge2\}\). Para cada \(n\ge2\), \(1/2\le1-1/n<1\). Como \(1-1/2=1/2\), \(\inf D=\min D=1/2\). Dado \(\varepsilon>0\), por la propiedad arquimediana existe \(n\ge2\) con \(n>1/\varepsilon\); entonces \(1-\varepsilon<1-1/n<1\). Así, \(\sup D=1\); no existe máximo porque \(1\notin D\).

Ejemplo 5 (un punto aislado altera el extremo). \(E=(0,1)\cup\{2\}\). El supremo es \(2\) y, como \(2\in E\), también es máximo; el ínfimo es \(0\), pero no existe mínimo. El intervalo abierto sigue aportando puntos arbitrariamente próximos a \(0\).

Ejemplo 6 (sin cota superior). \(F=[0,+\infty)\). Su ínfimo real y mínimo son \(0\); no posee cota superior ni supremo real ni máximo. Escribir \(\sup F=+\infty\) sólo tiene sentido con la convención de los reales extendidos.

Ejemplo 7 (el cuerpo importa). Para \(B=\{q\in\mathbb Q:0<q,\ q^2<2\}\), visto como subconjunto de \(\mathbb R\), \(\sup_{\mathbb R}B=\sqrt2\) y \(\inf_{\mathbb R}B=0\). La densidad de \(\mathbb Q\) asegura que para todo \(\varepsilon>0\) existe \(q\in\mathbb Q\) entre \(\max\{0,\sqrt2-\varepsilon\}\) y \(\sqrt2\); tal \(q\) pertenece a \(B\). Hay racionales positivos arbitrariamente pequeños, luego el ínfimo es \(0\). No hay máximo ni mínimo. Considerado dentro de \(\mathbb Q\), \(B\) no tiene supremo: todo racional menor que \(\sqrt2\) deja racionales de \(B\) por encima, y cualquier racional mayor que \(\sqrt2\) admite otro racional intermedio que sigue siendo cota superior. Como \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), no queda ningún candidato.

II. Traducción geométrica e intuición

7. Cómo leer una recta numérica

En un dibujo de \(A=(0,1)\), los extremos \(0\) y \(1\) aparecen como círculos vacíos: señalan una frontera que no es elemento. La zona entre ellos sí representa números del conjunto. Al cerrar el intervalo, \([0,1]\), los círculos pasan a ser puntos llenos. Las cotas óptimas no cambian; cambia la pertenencia y, con ella, la existencia de máximo y mínimo.

No confundamos un círculo abierto con un «número ligeramente menor que \(1\)»: no existe el mayor real menor que \(1\). Para cualquier \(x<1\) dentro de \((0,1)\), el promedio \((x+1)/2\) todavía pertenece al intervalo y es mayor que \(x\). Análogamente, \(x/2\) pertenece a él y es menor que \(x\). Este argumento constructivo excluye simultáneamente máximo y mínimo.

En el laboratorio laboratorio MA-APP-0003 hay una recta SVG donde se pueden elegir intervalos abiertos o cerrados, una sucesión de puntos y un conjunto con punto aislado. El cursor \(c\) distingue «ser cota superior» de «ser el supremo»; una banda de anchura \(\varepsilon\) hace visible el teorema 3. Los puntos dibujados de una sucesión infinita son sólo una muestra finita: la afirmación de que no hay máximo depende de la fórmula general, no de la cantidad de puntos que quepan en pantalla.

8. La banda \(\varepsilon\): por qué ninguna cota menor basta

Fijemos \(s=\sup A\). Para cualquier anchura positiva \(\varepsilon\), la franja \((s-\varepsilon,s]\) debe contener al menos un elemento de \(A\). Si una franja no contuviera ninguno, \(s-\varepsilon\) sería una cota superior menor que \(s\), contradicción. El extremo derecho puede estar lleno o vacío; la existencia del testigo cerca de él no depende de que \(s\) pertenezca a \(A\).

La afirmación dual es que toda franja \([i,i+\varepsilon)\) contiene un elemento del conjunto cuando \(i=\inf A\). Ambos hechos describen una aproximación arbitrariamente precisa, no una obligación de alcanzar el extremo.

9. Del intervalo al disco: una frontera en dos dimensiones

Sea \(D=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2<1\}\) el disco abierto y \(\overline D=\{(x,y):x^2+y^2\le1\}\) el disco cerrado. El concepto de supremo se aplica a números reales, no directamente a puntos sin un orden dado. Por eso escogemos una dirección unitaria \(u=(\cos\theta,\sin\theta)\) y estudiamos las proyecciones escalares

\[P_u(D)=\{u\cdot p:p\in D\}\subset\mathbb R.\]

Por Cauchy–Schwarz, \(u\cdot p\le\|p\|_2<1\) para \(p\in D\). Además, \(p=(1-\delta)u\in D\) para \(0<\delta<1\), y \(u\cdot p=1-\delta\to1\). Por tanto \(\sup P_u(D)=1\), pero no hay máximo. En el disco cerrado, \(p=u\) pertenece al conjunto y realiza \(\max P_u(\overline D)=1\). En ambas variantes \(\inf=-1\), pero sólo en el disco cerrado existe un mínimo, realizado en \(p=-u\).

Geométricamente, la recta \(u\cdot p=1\) es una recta de soporte del disco cerrado \(\overline D\): éste queda en el semiplano \(u\cdot p\le1\) y la recta lo intersecta en \(p=u\). La misma recta acota superiormente las proyecciones del disco abierto \(D\), pero no lo intersecta; bajo la definición de recta de soporte que exige contacto con el conjunto, es recta de soporte de \(\overline D\), no de \(D\). Al girar la dirección \(u\) en la aplicación, giran la recta y el punto testigo. Esto generaliza la lectura de los extremos de la recta numérica a una frontera bidimensional sin atribuir un orden artificial a \(\mathbb R^2\).

10. Laboratorio manipulable

Recurso: abrir el laboratorio MA-APP-0003 en una página independiente. La aplicación incorpora rectas numéricas dinámicas, bandas \(\varepsilon\), un diagrama del disco con recta de soporte orientable y preguntas de comprobación. Si el panel integrado no funciona en tu navegador, usa el enlace anterior.

Recorrido recomendado: (1) seleccionar \((0,1)\) y desplazar \(c\) por debajo y por encima de \(1\); (2) cerrar el extremo derecho sin mover el supremo; (3) reducir \(\varepsilon\) y observar cómo cambia el testigo; (4) sustituir el intervalo por la sucesión \(1-1/n\); (5) pasar al disco, girar la dirección y alternar frontera abierta/cerrada. En cada paso se deben justificar los hechos con definiciones, no sólo con la imagen.

III. Verificación de comprensión

Ejercicio 1. Sea \(A=(-2,3]\). Determine \(\sup A\), \(\inf A\), \(\max A\) y \(\min A\), indicando cuáles existen.

Ejercicio 2. Calcule los cuatro extremos de \(A=\{(-1)^n+1/n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\}\), cuando existan. Justifique por qué los términos de paridad opuesta se deben examinar por separado.

Ejercicio 3. Demuestre que si \(A\ne\varnothing\) está acotado superiormente, entonces \(\sup A\in\overline A\), donde la clausura se toma en la topología usual de \(\mathbb R\).

Ejercicio 4. Construya dos conjuntos no vacíos y acotados \(A,B\) con \(A\cap B\ne\varnothing\) tales que \(\sup(A\cap B)<\min\{\sup A,\sup B\}\). Explique por qué la fórmula de la unión no se puede copiar cambiando \(\cup\) por \(\cap\).

Ejercicio 5. Para el disco abierto del §9 y una dirección unitaria \(u\), encuentre explícitamente, dado \(0<\varepsilon<2\), un punto \(p\in D\) con \(u\cdot p>1-\varepsilon\). ¿Qué cambia en el disco cerrado?

Soluciones comentadas breves

  1. \(\inf A=-2\) sin mínimo; \(\sup A=3=\max A\).
  2. Para \(n\) par: \(1+1/n\), cuyo mayor término es \(3/2\) (\(n=2\)) y cuyos valores disminuyen hacia \(1\). Para \(n\) impar: \(-1+1/n\), cuyo primer término es \(0\) (\(n=1\)) y cuyos valores disminuyen hacia \(-1\). Por tanto \(\sup A=\max A=3/2\), \(\inf A=-1\) y no existe mínimo.
  3. Para cualquier entorno \((s-\varepsilon,s+\varepsilon)\) de \(s=\sup A\), el teorema 3 da \(a_\varepsilon\in A\) con \(s-\varepsilon<a_\varepsilon\le s<s+\varepsilon\). Por definición, \(s\in\overline A\).
  4. Tome \(A=[0,1]\cup\{3\}\) y \(B=[0,1]\cup\{4\}\). Su intersección es \([0,1]\), con supremo \(1<\min\{3,4\}=3\).
  5. Tome \(p=(1-\varepsilon/2)u\) para \(0<\varepsilon<2\): \(|1-\varepsilon/2|<1\) y \(u\cdot p=1-\varepsilon/2>1-\varepsilon\). En el cerrado puede tomarse simplemente \(p=u\), que realiza el máximo.
Nota

Para recordar Cota: desigualdad válida para todos los elementos. Supremo/ínfimo: cota óptima, cuya existencia en los reales se obtiene bajo no vaciedad y acotación apropiada. Máximo/mínimo: esa cota óptima, además, pertenece al conjunto. Criterio \(\varepsilon\): todos los intervalos de aproximación, por estrechos que sean, contienen elementos del conjunto.

Relaciones y procedencia