Ejercicios — Capítulo 10
Índice del libro · Capítulo 10 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C10_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y conserva el orden tolerancia, corte y dos índices. Verifica el codominio al aplicar existencia de límite.
10.1. Dos índices universales
Compara la definición de Cauchy con la condición: para todo \(\varepsilon>0\) y todo \(p\), existe \(q\ge p\) con \(|a_p-a_q|<\varepsilon\). ¿La segunda impone control?
10.2. Un corte recíproco
Prueba directamente que \(a_n=1/(n+1)\) es de Cauchy, dando un corte que incluya el índice cero cuando sirva.
10.3. Constantes y repetición
Prueba que toda sucesión constante es de Cauchy y explica por qué no se exigen valores distintos.
10.4. Simetría de los pares
Prueba que en la definición basta exigir el control para \(p>q\ge N\), además de recordar el caso de igualdad.
10.5. Una escala discreta de tolerancias
Demuestra que basta probar: para todo entero \(k\ge1\) existe \(N_k\) que controla todos los pares posteriores con distancia menor que \(1/k\).
10.6. Dos errores
Demuestra convergente implica Cauchy e identifica dónde se reparte la tolerancia.
10.7. Alternancia amortiguada
Prueba Cauchy directamente para \(a_n=(-1)^n/(n+1)\) y compara el corte con el de la sucesión positiva.
10.8. Radio no es diámetro
Si todos los términos de una cola están en \((L-r,L+r)\), prueba que sus distancias son menores que \(2r\). Da dos puntos de esa ventana separados por más de \(r\).
10.9. Transportar un corte conocido
Supón que \(|a_n-L|\le C/(n+1)\) para todos los índices y \(C\ge0\). Da un corte de Cauchy para cada tolerancia.
10.10. Una recíproca pendiente
Explica qué obligación falta después de demostrar que una convergente es de Cauchy. ¿La desigualdad triangular por sí sola la resuelve?
10.11. Ancla y prefijo
Reconstruye la prueba de acotación de una sucesión de Cauchy y trata por separado el corte cero.
10.12. La cota no basta
Da una sucesión real acotada que no sea de Cauchy y prueba ambas afirmaciones.
10.13. Intervalos de cola
Para \(a_n=1/(n+1)\), calcula \(I_N\) y sus anchuras. ¿Son intervalos de valores alcanzados?
10.14. Ancho no estricto
Prueba que si todos los pares de una cola tienen distancia menor que \(\eta\), entonces su intervalo de extremos tiene anchura a lo sumo \(\eta\).
10.15. La igualdad puede sobrevivir
Construye una sucesión de Cauchy cuya cola de corte cero tenga todas sus distancias menores que uno y anchura exactamente uno.
10.16. Comparar cortes distintos
Prueba \(\ell_M\le u_N\) para cualesquiera cortes \(M,N\) y explica por qué se necesita en la construcción del destino.
10.17. Existencia y comprobación
Construye \(L\) para una sucesión de Cauchy sin invocar convergencia monótona ni Bolzano–Weierstrass y verifica el límite.
10.18. Intersección única
Demuestra que la intersección de los intervalos de cola de una sucesión real de Cauchy es un singleton.
10.19. Recuperar el criterio desde anchuras
Para una sucesión real acotada, prueba que es de Cauchy si y sólo si \(u_N-\ell_N\to0\), sin usar el criterio de convergencia.
10.20. Conocer una extracción basta con Cauchy
Supón que \(a\) es de Cauchy y que \(a_{\varphi(k)}\to L\), donde \(\varphi:\mathbb N\to\mathbb N\) es estrictamente creciente. Demuestra directamente \(a_n\to L\).
10.21. Negación exacta
Escribe la negación de Cauchy y úsala para \(a_n=(-1)^n\).
10.22. Tolerancia móvil
¿Niega Cauchy que para cada corte haya dos términos distintos? Da un ejemplo que decida.
10.23. Bloques separados
Prueba que \(h_n=\sum_{j=1}^{n+1}1/j\) no es de Cauchy aunque \(h_{n+1}-h_n\to0\).
10.24. Vecindad de longitud fija
Prueba que para cada natural fijo \(r\), \(h_{n+r}-h_n\to0\) en el ejemplo anterior. ¿Por qué sigue fallando Cauchy?
10.25. Acotada con saltos pequeños
Construye una sucesión acotada con saltos que tienden a cero y que no sea de Cauchy. Sugerencia: concatena para \(m=1,2,\ldots\) los bloques \(0,1/m,\ldots,1,(m-1)/m,\ldots,0\).
10.26. Álgebra por distancias
Prueba directamente que suma, diferencia y escala real de sucesiones de Cauchy son de Cauchy, tratando el escalar cero.
10.27. Producto sin conocer destinos
Prueba que el producto de dos sucesiones reales de Cauchy es de Cauchy usando sus cotas globales.
10.28. Recíprocos y prefijo
Sea \(a\) de Cauchy y \(|a_n|\ge c>0\) para \(n\ge N_0\). Prueba que la sucesión \(b_k=1/a_{k+N_0}\) es de Cauchy. ¿Qué ocurre con términos cero anteriores?
10.29. Diferencia de Cauchy no es error nulo
Si \(a,b\) son de Cauchy y \(a-b\) también lo es, ¿deben tener el mismo límite? ¿Qué condición basta?
10.30. Valor absoluto no tiene recíproca
Prueba que \(a\) de Cauchy implica \(|a|\) de Cauchy y muestra que la vuelta falla.
10.31. Tres pasos racionales
Calcula los intervalos de bisección de §10.7 para \(n=0,1,2,3\) y comprueba los cuadrados de sus extremos.
10.32. Cauchy racional sin raíz presupuesta
Demuestra que los extremos inferiores de esa bisección son de Cauchy antes de construir su límite real.
10.33. El destino no es racional
Prueba que el límite real de los extremos inferiores tiene cuadrado dos y no puede ser límite en \(\mathbb Q\).
10.34. Un intervalo retiene el destino
Prueba que toda sucesión de Cauchy con valores en \([A,B]\), con \(A\le B\) reales, converge a un punto de ese mismo intervalo. Contrasta con \((0,1)\).
10.35. Conjunto finito
Demuestra que una sucesión con valores en un conjunto real finito no vacío es de Cauchy si y sólo si es eventualmente constante.
10.36. Saltos geométricos
Supón \(|a_{n+1}-a_n|\le5\,2^{-n}\). Prueba existencia de límite y da un corte que asegure error menor que \(\varepsilon\).
10.37. Sumar antes de tomar un límite
Prueba la identidad geométrica finita usada en §10.8 y explica por qué no presupone una serie convergente.
10.38. Error exacto en una iteración
Para \(x_0=0\) y \(x_{n+1}=(x_n+3)/2\), demuestra \(x_n=3(1-2^{-n})\) y compara su error con la cota general.
10.39. Iterar dentro de un intervalo
Sea \(F:[A,B]\to[A,B]\) con \(A\le B\) y \(|F(x)-F(y)|\le\rho|x-y|\), \(0<\rho<1\). Prueba que desde cualquier \(x_0\in[A,B]\) la iteración converge a un único punto fijo en ese intervalo.
10.40. La misma contracción con codominio incompleto
En \(X=\mathbb Q\cap[1,2]\), define \(F(x)=(x+2/x)/2\). Prueba que \(F:X\to X\) contrae distancias con factor \(1/2\) pero no tiene punto fijo en \(X\). Explica qué falla al trasladar el resultado anterior.