Ejercicios — Capítulo 11
Índice del libro · Capítulo 11 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C11_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y distingue términos, totales, suma y resto. Conserva el orden tolerancia, corte y extremos de bloque.
11.1. Aportes y totales
Calcula \(s_0,s_1,s_2,s_3\) para \(a_n=2^{-n}\). Distingue ambos objetos.
11.2. Recuperar una serie
Si se prescribe \(s_n=(n+1)/(n+2)\), encuentra la única sucesión de términos que produce esos totales y decide convergencia.
11.3. Misma suma, distinto proceso
Construye dos sucesiones distintas de soporte finito con la misma suma y prueba que sus procesos son distintos.
11.4. Una transformación reversible
Prueba que toda sucesión real \(s\) es el proceso de sumación de una única sucesión real \(a\).
11.5. Totales acotados y término nulo
Construye una serie con términos que tienden a cero y sumas parciales acotadas que no convergen.
11.6. Identidad de bloques
Prueba por inducción que \(s_p-s_q=\sum_{j=q+1}^pa_j\) cuando \(p>q\).
11.7. La longitud no puede elegir el corte
En la armónica \(a_n=1/(n+1)\), muestra que los bloques de cualquier longitud fija tienden a cero al alejar su inicio. Explica por qué la serie diverge.
11.8. Términos que no desaparecen
Descarta convergencia de las series con términos \(a_n=(-1)^n\) y \(b_n=(n+1)/(n+2)\).
11.9. Acumulación en potencias de dos
Prueba \(s_{2^m-1}\ge1+m/2\) para las sumas parciales armónicas, con \(m\in\mathbb N\).
11.10. Reparar una falsa prueba
Diagnostica: «Como \(a_n\to0\), cada término de un bloque tardío es menor que \(\varepsilon\); por tanto su suma es menor que \(\varepsilon\)». Repara el argumento cuando todo bloque tiene longitud a lo sumo \(M\ge1\).
11.11. Telescopaje y corte
Para \(a_n=1/((n+1)(n+2))\), calcula el total, suma y resto; encuentra un corte que garantice error menor que \(1/100\).
11.12. Razón negativa
Calcula la suma y resto de la geométrica \(r=-1/2\). Encuentra un corte que certifique error menor que \(1/100\).
11.13. Todos los casos geométricos
Clasifica la convergencia de \(\sum r^n\) para todos los reales \(r\), incluyendo cero y ambos extremos.
11.14. La diferencia puede sumar sin magnitudes
Para \(c_n=(-1)^n/(n+1)\), prueba convergencia de la serie \(a_n=c_n-c_{n+1}\) y decide si la serie de magnitudes \(|a_n|\) converge.
11.15. Telescopar no crea destino
Sea \(a_n=c_n-c_{n+1}\). Prueba que su serie converge si y sólo si \(c_n\) converge, y relaciona ambos límites.
11.16. Dónde se usa la barrera
Reconstruye desde el supremo la convergencia de una serie no negativa con totales acotados superiormente.
11.17. Comparar y estimar
Prueba convergencia de \(\sum1/(n+2)^2\) y una cota de resto usando el telescopaje de §11.3.
11.18. Comparación eventual
Sea \(a_0=100\) y \(a_n=2^{-n}\) para \(n\ge1\), y sea \(b_n=2^{-n}\) en todos los índices. Compara las convergencias y las sumas.
11.19. Una barrera para series con signos
Explica por qué la prueba positiva no se aplica a una serie arbitraria cuyas sumas parciales son acotadas superiormente; aporta un contraejemplo.
11.20. Barrera sin fórmula de suma
Para cualquier sucesión \(0\le\theta_n\le1\), prueba convergencia de \(a_n=\theta_n/((n+1)(n+2))\) y estima su resto sin identificar su suma.
11.21. Triangular finita
Prueba la desigualdad \(|\sum_{j=q+1}^pa_j|\le\sum_{j=q+1}^p|a_j|\) sin suponer convergencia.
11.22. Signos libres
Sea \(\sigma_n\in\{-1,1\}\) en cada índice. Prueba convergencia absoluta de \(a_n=\sigma_n2^{-n}\) y estima el resto.
11.23. Orden de las hipótesis
Diagnostica: «Como \(|s_n|\le u_n\) y \(u_n\) converge, \(s_n\) converge». Escribe una prueba correcta de convergencia absoluta implica convergencia.
11.24. Sumas y restos
Si las series de \(a\) y \(|a|\) tienen sumas \(S,A\), demuestra \(|S|\le A\) y \(|S-s_n|\le A-u_n\).
11.25. Localizar igualdad
Supón que la serie de \(a\) converge absolutamente. Prueba que \(|S|=A\) si y sólo si todos los términos tienen un signo común, permitiendo ceros.
11.26. Lema alternado
Prueba que una suma finita alternada de magnitudes decrecientes no negativas está entre cero y la primera magnitud.
11.27. Un corte alternado
Para \(a_n=(-1)^n/(n+1)\), prueba convergencia y encuentra un corte que garantice error menor que \(1/100\).
11.28. El signo del resto
Para una serie \((-1)^nb_n\) bajo las hipótesis de §11.6, demuestra que \(s_n\) queda por encima de la suma si \(n\) es par y por debajo si es impar.
11.29. Borrar el decrecimiento
Construye una serie de signos alternados y términos nulos que diverja; explica la hipótesis que falla.
11.30. Alternancia eventual
Supón que desde un índice \(m\) los términos son \(a_{m+k}=\eta(-1)^kb_k\), con \(\eta\in\{-1,1\}\) y \(b_k\) decreciente no negativa hacia cero. Prueba convergencia y estima el error en cortes \(n\ge m\).
11.31. Extremos de grupos
Prueba la identidad \(t_k=s_{\phi(k)}\) para los grupos consecutivos de §11.7.
11.32. Una agrupación engañosa
Agrupa por parejas la serie \((-1)^n\) y compara su convergencia con la original.
11.33. Grupos de longitud acotada
Prueba que si \(a_n\to0\), los grupos tienen longitud a lo sumo \(M\ge1\) y la serie agrupada converge, entonces la original converge a la misma suma.
11.34. Longitud no necesaria
Construye una serie convergente agrupada en bloques de longitud no acotada y explica por qué eso no contradice la condición suficiente de grupos cortos.
11.35. Excursiones que se reducen
En el bloque \(m\ge1\), coloca \(m\) términos \(h_m/m\) y luego \(m\) términos \(-h_m/m\), donde \(0\le h_m\le1\). Demuestra que la serie converge si y sólo si \(h_m\to0\), y decide su suma.
11.36. Una tolerancia estricta
Para \(\sum2^{-n}\), encuentra el primer índice de corte que garantiza error estrictamente menor que \(1/16\), y el número de términos utilizados.
11.37. Certificado sin suma conocida
En la armónica alternada, usa \(s_4,s_5\) para obtener un intervalo y una aproximación de error menor que \(1/10\).
11.38. Linealidad con dominio de validez
Prueba linealidad de la suma para dos series convergentes. Muestra por qué no permite asignar sumas a dos series divergentes.
11.39. Cambiar sólo un prefijo
Si \(a\) y \(b\) coinciden para \(n\ge m\), demuestra equivalencia de convergencia y relaciona sus sumas, incluyendo \(m=0\).
11.40. Dos mecanismos en una sola serie
Sea \(a_n=(-1)^n/(n+1)+e_n\) con \(|e_n|\le2^{-n}\). Prueba convergencia, una cota de resto y que la convergencia es condicional.