Ejercicios — Capítulo 12
Índice del libro · Capítulo 12 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C12_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y declara dominios, codominios y conjuntos transportados. Distingue valores, imágenes, preimágenes e inversas.
12.1. La misma regla, tres objetos
Compara \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(g:[0,\infty)\to\mathbb R\) y \(h:[0,\infty)\to[0,\infty)\), todas dadas por \(x^2\). Determina cuáles tienen el mismo grafo y cuáles son iguales como funciones tipadas.
12.2. Una relación que debe repararse
En \(D=\{0,1,2\}\) y \(E=\{0,1,4\}\) considera \(R=\{(0,0),(1,1),(1,4)\}\). Explica por qué no es el grafo de una función \(D\to E\) y construye una reparación eliminando un par y añadiendo otro.
12.3. Ninguna tabla finita decide toda la función
Dado un conjunto finito \(A\subseteq\mathbb R\), construye dos funciones distintas \(\mathbb R\to\mathbb R\) que coincidan en todas las entradas de \(A\).
12.4. Identidad extensional
Prueba que para \(f,g:D\to E\) la igualdad \(G_f=G_g\) equivale a \(f(x)=g(x)\) para todo \(x\in D\). Explica por qué deben fijarse los tipos para concluir \(f=g\).
12.5. Discreto frente a real
Para \(a:\mathbb N\to\mathbb R\), \(a_n=2n+1\), y \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=2x+1\), determina la relación entre sus grafos. ¿Es la sucesión una recta?
12.6. Imagen exacta de un intervalo
Calcula la imagen de \([-3,2)\) por \(q:\mathbb R\to\mathbb R\), \(q(x)=x^2\), probando ambas inclusiones.
12.7. Unión con dos piezas
Calcula \(q[[-2,-1]\cup(0,1)]\) para el cuadrado real. Justifica extremos y huecos.
12.8. Imagen y cardinalidad finita
Si \(A\subseteq D\) es finito y \(f:D\to E\), prueba que \(|f[A]|\le|A|\) y que hay igualdad si y sólo si \(f|_A\) es inyectiva.
12.9. La inclusión no estudia el orden
Construye una función real que no sea no decreciente ni no creciente y demuestra que su operación de imagen conserva inclusiones de conjuntos.
12.10. Imagen de una diferencia
Prueba \(f[A]\setminus f[C]\subseteq f[A\setminus C]\) para \(A,C\subseteq D\) y da un ejemplo en que la inclusión sea estricta.
12.11. Selección de dos bandas
Calcula \(q^{-1}[[0,1)\cup\{4\}]\) para \(q:\mathbb R\to\mathbb R\), \(q(x)=x^2\).
12.12. El dominio recorta la respuesta
Sea \(f:[-1,3)\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\). Calcula \(f^{-1}[(1,4]]\).
12.13. Las fibras particionan el dominio
Para \(f:D\to E\), demuestra que las fibras sobre los elementos de \(f[D]\) son no vacías, disjuntas dos a dos y su unión es \(D\).
12.14. Recuperar todas las salidas solicitadas
Prueba que \(f[f^{-1}[B]]=B\) para todo \(B\subseteq E\) si y sólo si \(f:D\to E\) es sobreyectiva.
12.15. La preimagen conoce la función
Sean \(f,g:D\to E\). Si \(f^{-1}[B]=g^{-1}[B]\) para todo \(B\subseteq E\), demuestra que \(f=g\).
12.16. Álgebra de una selección
Prueba directamente \(f^{-1}[(B\cup H)\setminus K]=(f^{-1}[B]\cup f^{-1}[H])\setminus f^{-1}[K]\) para \(B,H,K\subseteq E\).
12.17. La intersección detecta inyectividad
Prueba que \(f[A\cap C]=f[A]\cap f[C]\) para todos \(A,C\subseteq D\) si y sólo si \(f\) es inyectiva.
12.18. Saturar dos veces
Define \(S(A)=f^{-1}[f[A]]\). Prueba \(A\subseteq S(A)\), que \(A\subseteq C\) implica \(S(A)\subseteq S(C)\) y que \(S(S(A))=S(A)\).
12.19. Complementos y biyectividad
Prueba que \(f[D\setminus A]=E\setminus f[A]\) para todo \(A\subseteq D\) si y sólo si \(f:D\to E\) es biyectiva.
12.20. Seleccionar una partición
Sea \(E=B_1\cup\cdots\cup B_k\) una partición finita en piezas no vacías. Prueba que sus preimágenes cubren \(D\) y son disjuntas, y explica por qué pueden no formar una partición en piezas no vacías.
12.21. La última etapa se filtra primero
Para \(f(x)=x^2\) y \(g(y)=3-y\), ambas reales, calcula \((g\circ f)^{-1}[[1,3)]\) por etapas.
12.22. Una composición sin tipo
Sea \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=x-1\), y \(g:\mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\), \(g(y)=1/y\). ¿Define \(g\circ f\) una función en todo \(\mathbb R\)? Declara la composición válida y su regla.
12.23. Dos identidades distintas
Para \(f:D\to E\) y \(h:E\to D\), prueba que \(h\circ f=\operatorname{id}_D\) implica inyectividad de \(f\) y que \(f\circ h=\operatorname{id}_E\) implica sobreyectividad de \(f\). Da un ejemplo donde sólo se cumpla la primera.
12.24. Inversa sobre la imagen
Si \(f:D\to E\) es inyectiva, demuestra que cambiando el codominio a \(f[D]\) se obtiene una biyectiva. ¿Por qué su inversa no tiene necesariamente dominio \(E\)?
12.25. La inversa de una composición
Sean \(f:D\to E\) y \(g:E\to F\) biyectivas. Prueba que \(g\circ f\) es biyectiva y su inversa es \(f^{-1}\circ g^{-1}\).
12.26. Imagen con orientación invertida
Calcula la imagen de \([-1,2)\) por \(h(x)=-3x+2\) con codominio real. Justifica ambas inclusiones.
12.27. Dos sentidos estrictos
Si \(f:D\to E\subseteq\mathbb R\) y \(g:E\to\mathbb R\) son estrictamente decrecientes, prueba que \(g\circ f\) es estrictamente creciente.
12.28. La inclusión de extremos puede ser propia
Para la función \(s\) de §12.6, prueba que \(s[[-2,2]]\) es un subconjunto propio de \([s(-2),s(2)]\) aun siendo \(s\) estrictamente creciente.
12.29. Orden de la inversa
Si \(f:D\to E\) es estrictamente creciente y biyectiva, con \(D,E\subseteq\mathbb R\), prueba que \(f^{-1}\) es estrictamente creciente.
12.30. Inyectividad no decide monotonía
Construye una biyectiva \(\mathbb R\to\mathbb R\) que no sea no decreciente ni no creciente.
12.31. La mejor escala afín
Para \(h(x)=mx+c\) en toda \(\mathbb R\), prueba que \(|m|\) es la menor cota de expansión no negativa.
12.32. Una cota sin reversibilidad
Prueba que \(f(x)=\max(x,0)\) tiene cota de expansión \(1\) en \(\mathbb R\) y no es inyectiva.
12.33. La cota del cuadrado depende del radio
Prueba que \(2R\) es la menor cota de expansión del cuadrado en \([-R,R]\), \(R>0\), sin derivadas.
12.34. Deshacer con control de distancia
Supón \(c|x-y|\le|f(x)-f(y)|\le L|x-y|\) para \(x,y\in D\), con \(0<c\le L\). Prueba las cotas de la inversa sobre la imagen.
12.35. Cota compuesta con restricción
Sean \(q:[-2,2]\to[0,4]\), \(q(x)=x^2\), y \(h:[0,4]\to\mathbb R\), \(h(y)=3y-1\). Obtén una cota para \(h\circ q\) y demuestra si es la menor posible.
12.36. Transportar el cuadrado entero
Para \(T(u,v)=(u+v,v)\), calcula la imagen de \([0,1]^2\) mediante desigualdades en las coordenadas de salida \((a,b)\); prueba ambas inclusiones.
12.37. Una rejilla no es un grafo escalar
Explica por qué la imagen por \(T\) de la recta \(v=0\) puede ser una parte de un dibujo de rejilla y también el grafo de una función escalar, pero \(T\) no es esa función escalar.
12.38. Ventana certificada para una afín
Sea \(f(x)=mx+c\) en \(\mathbb R\), \(x_0\in\mathbb R\) y \(\rho>0\). Si \(m\ne0\), calcula \(f^{-1}[B(f(x_0),\rho)]\) y decide para qué \(r>0\) vale \(f[B(x_0,r)]\subseteq B(f(x_0),\rho)\). Trata \(m=0\).
12.39. Pertenencia sin vecindad
Define \(p:\mathbb R\to\mathbb R\) por \(p(0)=0\) y \(p(x)=1\) si \(x\ne0\). Calcula \(p^{-1}[B(0,1/2)]\) y prueba que no es vecindad de cero.
12.40. Reconstruir imagen desde todas las selecciones
Sean \(A\subseteq D\) y \(C\subseteq E\). Supón que para todo \(B\subseteq E\) se cumple \(C\subseteq B\) si y sólo si \(A\subseteq f^{-1}[B]\). Prueba que \(C=f[A]\).