Ejercicios — Capítulo 13
Índice del libro · Capítulo 13 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C13_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y declara los dominios y puntos de acumulación. Distingue un candidato refutado de la inexistencia de cualquier límite, y una ruta dada de una selección de infractores.
13.1. El agujero no decide el destino
Define \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) por \(f(x)=2x+5\) si \(x\ne-1\) y \(f(-1)=100\). Prueba desde la definición el límite en \(-1\) y explica qué dato se excluye.
13.2. Una pregunta sin entradas
Para \(D=\{0\}\cup[2,3]\) y cualquier \(f:D\to\mathbb R\), analiza la fórmula perforada en \(a=0\). ¿Hay un límite bajo la convención del capítulo?
13.3. Dos lenguajes del mismo control
Prueba directamente que \(f[U_D(a,\delta)]\subseteq B(L,\varepsilon)\) equivale a \(U_D(a,\delta)\subseteq f^{-1}[B(L,\varepsilon)]\). Mantén separados valores y conjuntos.
13.4. Igualdad en un germen perforado
Sean \(f,g:D\to\mathbb R\) iguales siempre que \(0<|x-a|<r\), con \(r>0\) y \(a\in D^{\prime}\). Prueba que tienen exactamente los mismos candidatos de límite.
13.5. Cambiar valores en infinitos puntos lejanos
Construye dos funciones reales que difieran en infinitos puntos, una no acotada globalmente, y que tengan límite cero en cero por coincidencia local. Prueba las afirmaciones.
13.6. Diseñar el radio de una afín decreciente
Prueba desde la definición que \(-4x+7\) tiene límite \(-1\) en \(a=2\). Determina el mayor radio simétrico válido para un desafío \(\varepsilon>0\).
13.7. Un radio conservador para un cuadrado
Prueba desde la definición \(x^2\to4\) en \(2\) y da un radio explícito que no necesite resolver una desigualdad cuadrática.
13.8. Radio óptimo del cuadrado en uno
Para \(0<\varepsilon<1\), demuestra que el mayor radio simétrico para \(|x^2-1|<\varepsilon\) alrededor de \(1\) es \(\delta_*=\sqrt{1+\varepsilon}-1\).
13.9. Reparar una respuesta que depende de la entrada
Un borrador afirma: «Para probar \(x^2\to1\), tomo \(\delta=\varepsilon/(|x+1|+1)\); así el error será pequeño». Localiza el defecto y escribe una prueba válida.
13.10. Proteger un recíproco desplazado
Prueba desde la definición que \(1/(x-3)\) tiene límite \(-1/2\) en \(a=1\).
13.11. Una cota que incluye el centro
Si \(a\in D\), \(a\in D^{\prime}\) y \(f\to L\), prueba que \(f\) está acotada en alguna ventana no perforada \(D\cap B(a,r)\), sin suponer \(f(a)=L\).
13.12. Encierro sin existencia supuesta
Sea \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) y supongamos \(-x^2\le f(x)\le2x^2\) para \(0<|x|<1\). Prueba \(f\to0\) sin usar reglas algebraicas posteriores.
13.13. Oscilar y aun así converger
Sea \(b(x)=1\) para \(x\) racional y \(b(x)=-1\) para \(x\) irracional. Prueba que \(h(x)=xb(x)\) tiene límite cero en cero, sin decidir si \(b\) tiene límite.
13.14. El orden no conserva separación estricta
Construye \(f<g\) en una ventana perforada con el mismo límite, y prueba que en general sí se conserva el orden no estricto de límites.
13.15. Dos destinos no caben en una misma ventana
Reconstruye la unicidad usando tolerancia \(|L-M|/2\) en vez de un tercio. Explica por qué las desigualdades estrictas siguen bastando.
13.16. La frontera ya es infracción
Para \(f(x)=x\) en cero y candidato \(L=1\), da una tolerancia fija y un infractor explícito para cada radio.
13.17. Una escala basta para todos los radios
Sean \(r_n>0\) tales que para cada \(\delta>0\) existe \(n\) con \(r_n<\delta\). Prueba que la negación del límite equivale a no vaciedad de los infractores en cada escala \(r_n\), para una misma tolerancia.
13.18. Todos los reales quedan descartados
Prueba directamente, sin sucesiones, que \(f(x)=1/|x|\) en \(\mathbb R\setminus\{0\}\) no tiene límite real finito en cero.
13.19. Cada entrada favorable no es un límite
Prueba que la condición «para todo \(\varepsilon,\delta>0\) existe \(x\) con \(0<|x|<\delta\) y \(|f(x)|<\varepsilon\)» no garantiza \(f\to0\).
13.20. Fallo sin magnitud infinita
Construye una función globalmente acotada sin límite en cero y refútala para todo candidato mediante una tolerancia fija.
13.21. Una ruta favorable engaña
Sea \(f(x)=0\) si \(x=1/(n+1)\) para algún \(n\in\mathbb N\) y \(f(x)=1\) en las demás entradas reales. Encuentra dos rutas admisibles en cero que descarten un límite.
13.22. Un prefijo puede tocar el centro
Supón \(f\to L\) en \(a\), \(x_n\in D\) y \(x_n\to a\), con \(x_n\ne a\) para todos los índices a partir de cierto \(N_0\). Prueba \(f(x_n)\to L\) si \(f\) está definida en todos los términos.
13.23. El mínimo vive en los índices
En un dominio enumerado, justifica la existencia del selector \(x_n=e(\min I_n)\) y explica por qué no se toma el mínimo de \(E_n\subseteq\mathbb R\).
13.24. La ruta de infracciones prueba la recíproca
Bajo \(\mathrm{CC}(\mathbb R)\), prueba la recíproca secuencial y localiza exactamente el uso de la hipótesis.
13.25. No hace falta una ruta distinta en cada paso
Para el selector de infractores, demuestra que los términos no necesitan ser distintos entre sí, pero ningún punto fijo distinto de \(a\) puede aparecer en índices arbitrariamente grandes.
13.26. Cancelar antes de usar un cociente
Calcula y prueba el límite en \(2\) de \((x^2-4)/(x-2)\) en su dominio natural. ¿Por qué no se usa directamente la regla de cociente?
13.27. Un denominador con ceros lejanos
Sean \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2-4\). Prueba el límite de \(f/g\) en cero y declara el dominio.
13.28. Producto desde una identidad diferente
Prueba la regla de producto utilizando \(fg-LM=(f-L)(g-M)+L(g-M)+M(f-L)\) y un solo presupuesto para ambos errores.
13.29. Norma y diferencia de normas
Si \(f\to L\) y \(g\to M\), prueba \(\bigl||f|-|g|\bigr|\to\bigl||L|-|M|\bigr|\) y da un control directo del error con los dos errores originales.
13.30. Un producto converge sin límites de los factores
Construye funciones \(f,g\) sin límite en cero cuyo producto sí tenga límite. Prueba todas las afirmaciones.
13.31. El único lado disponible
Sea \(D=\{0\}\cup(0,2)\) y \(f(x)=x^2\) para \(x>0\), \(f(0)=9\). Prueba el límite en cero a través de \(D\) y analiza los límites laterales.
13.32. Reunir piezas finitas
Sea \(D=D_1\cup D_2\), \(a\in D_1^{\prime}\cap D_2^{\prime}\), y supón que las dos restricciones de \(f\) tienen el mismo límite \(L\). Prueba el límite en \(D\) y la recíproca.
13.33. Infinitas piezas no garantizan reunión
Sea \(D=(0,\infty)\) y \(D_k=\{1/k\}\cup((0,\infty)\setminus\{1/j:j\in\mathbb N,\ j\ge1\})\) para \(k\ge1\). Para \(f(x)=1\) en los puntos \(1/j\) y \(f(x)=0\) en las demás entradas, prueba que cada restricción tiene límite cero y su unión no.
13.34. Una prueba densa puede omitir todo el problema
Para el indicador de irracionales, prueba el límite restringido a los racionales en cero y refuta cualquier límite en el dominio real usando rutas explícitas.
13.35. Al menos un lado acumula
Si \(a\in D^{\prime}\), demuestra que acumula al menos uno de \(D\cap(-\infty,a)\) y \(D\cap(a,\infty)\). Si exactamente uno acumula, prueba que ese lado decide el límite completo.
13.36. La composición pierde el centro perforado
Construye \(f,g:\mathbb R\to\mathbb R\) con \(\lim_{x\to0}f(x)=0\) y \(\lim_{y\to0}g(y)=0\) pero \(\lim_{x\to0}g(f(x))=2\). Explica la falla del argumento usual.
13.37. Componer dos cuadrados con certificados
Prueba directamente mediante radios anidados que \(x^4\to1\) en \(1\), usando el certificado del cuadrado y la alternativa central para la segunda etapa.
13.38. La alternativa central sin límites conocidos
Sean \(f:D\to E\), \(g:E\to\mathbb R\), \(a\in D^{\prime}\). Supón que \(f(x)=b\in E\) en alguna ventana perforada. Determina y prueba el límite de la composición sin suponer que exista un límite de \(g\) en \(b\).
13.39. Composición a través de un subconjunto de salidas
Sean \(f:D\to E\), \(a\in D^{\prime}\), \(b\in A^{\prime}\) para \(A\subseteq E\), y \(g:E\to\mathbb R\). Supón \(f\to b\), \(g|_A\to L\) y que \(f(x)\in A\setminus\{b\}\) cerca de \(a\). Prueba el límite de \(g\circ f\) aunque \(g\) no tenga límite en todo \(E\).
13.40. Un criterio exacto para tocar una salida defectuosa
Sean \(f:D\to E\), \(a\in D^{\prime}\), \(b\in E\cap E^{\prime}\), \(g:E\to\mathbb R\), \(f\to b\) y \(g\to L\) en \(b\), con \(g(b)\ne L\). Prueba que \(g\circ f\to L\) si y sólo si \(f(x)\ne b\) en alguna ventana perforada de \(a\).