Ejercicios — Capítulo 14
Índice del libro · Capítulo 14 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C14_SOLUCIONES.md. Justifica las respuestas y declara los dominios y puntos de acumulación. Distingue continuidad de límite perforado, preimagen de imagen y control inverso de existencia de inversa. Declara cualquier hipótesis de selección al usar la recíproca secuencial.
14.1. Una respuesta afín centrada
Prueba desde la definición que \(f(x)=-3x+2\) es continua en cada real \(a\). Trata explícitamente el centro.
14.2. Reparar un único valor del cuadrado
Define \(h_c(x)=x^2\) si \(x\ne2\) y \(h_c(2)=c\). Determina para qué \(c\) es continua en \(2\), y prueba el resultado.
14.3. El límite existe y la continuidad falla
Construye una función con límite finito en cero que no sea continua allí. Da un infractor explícito para cada radio de continuidad.
14.4. No intercambiar el punto y la respuesta
Explica por qué continuidad en todo \(D\) no permite escribir sin más \(\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall a,x\in D\) para el mismo control. Identifica la dependencia permitida y un cálculo que la haga visible.
14.5. Ventana completa, imagen y preimagen
Demuestra que el contrato puntual equivale tanto a la inclusión de imágenes de bolas relativas como a la inclusión de la bola relativa en una preimagen. Explica por qué ninguna necesita inversa funcional.
14.6. Un salto entre puntos sin vecinos
En \(D=\{0\}\cup[1,2]\), define \(f(0)=100\) y \(f(x)=x\) en el intervalo. Prueba continuidad en todo \(D\) y explica por qué la separación del gráfico no la contradice.
14.7. Restringir puede eliminar la falla
Sea \(s(x)=-1\) para \(x<0\) y \(s(x)=1\) para \(x\ge0\). Prueba que es discontinua en cero sobre \(\mathbb R\) y que su restricción a \([0,\infty)\) es continua allí.
14.8. Extender un cociente con hueco
Para \(f(x)=(x^2-9)/(x-3)\) en \(D=\mathbb R\setminus\{3\}\), encuentra y prueba la única extensión continua a toda la recta.
14.9. Una modificación local debe incluir el centro
Da dos funciones que coincidan en toda ventana perforada de cero y tengan continuidad distinta allí. Después prueba que la coincidencia en una ventana completa sí preserva continuidad.
14.10. Ningún valor repara un salto
Sea \(f(x)=-2\) para \(x<0\) y \(f(x)=3\) para \(x>0\), sin valor en cero. Prueba que ninguna elección de \(f(0)\) produce una extensión continua.
14.11. La ruta vuelve al centro
Si \(f\) es continua en \(a\), considera \(x_{2n}=a\) y \(x_{2n+1}=a+1/(n+1)\), suponiendo que todos los términos estén en \(D\). Prueba convergencia de entradas e imágenes.
14.12. Ruta en un punto aislado
Demuestra que si \(a\) es aislado en \(D\) y \(x_n\in D\), \(x_n\to a\), entonces \(x_n=a\) eventualmente. Deduce el transporte de imágenes para cualquier \(f:D\to\mathbb R\).
14.13. El infractor evita solo el centro
Niega el contrato de continuidad y demuestra que todos los puntos del conjunto infractor para tolerancia positiva son distintos de \(a\). Compara con el criterio de límite de C13.
14.14. Reconstruir la recíproca enumerada
Con \(e:\mathbb N\to D\) sobreyectiva dada, prueba que preservar todas las rutas convergentes a \(a\) fuerza continuidad en \(a\). Indica qué objeto tiene un mínimo.
14.15. Auditar una prueba sin selector
Un borrador dice: «Como cada \(E_n\) es no vacío, elegimos \(x_n\in E_n\) para todos los índices; queda probada la equivalencia secuencial en cualquier dominio». Repara su alcance sin adoptar un axioma silencioso.
14.16. Un abierto que contiene un extremo
Para la inclusión \(f:[0,2]\to\mathbb R\), \(f(x)=x\), calcula la preimagen de \((-1,1)\) y explica con radios su apertura relativa y su falta de apertura absoluta.
14.17. La preimagen tiene dos piezas
Para \(q:\mathbb R\to\mathbb R\), \(q(x)=x^2\), calcula \(q^{-1}[(1,4)]\) y prueba su apertura sin confundirla con una inversa del cuadrado.
14.18. Basta una base de intervalos
Supón que para cada intervalo abierto real \(I\), la preimagen \(f^{-1}[I]\) es abierta relativa a \(D\). Prueba continuidad de \(f:D\to\mathbb R\).
14.19. Ceros cerrados en el ambiente correcto
Sea \(D=(0,1)\) y \(f:D\to\mathbb R\) la función cero. Describe su conjunto de ceros y explica por qué el criterio de cerrados no afirma que sea cerrado en \(\mathbb R\).
14.20. Codominio restringido y preimágenes
Sean \(f:D\to E\subseteq\mathbb R\) y \(V=E\cap U\), con \(U\) abierto absoluto. Demuestra \(f^{-1}[V]=f^{-1}[U]\) y deduce el criterio de continuidad con abiertos relativos de \(E\).
14.21. Producto con un valor central nulo
Supón \(f,g:D\to\mathbb R\) continuas en \(a\) con \(f(a)=0\). Prueba continuidad de \(fg\) usando una cota local y un único error variable.
14.22. Cociente con dominio declarado
Prueba continuidad de \(r(x)=(x^2+1)/(x-2)\) en su dominio natural y explica qué se puede afirmar en \(2\).
14.23. Composición que toca el centro
Prueba directamente que \(h(x)=|2x|\) es continua en cero por radios anidados, permitiendo \(2x=0\).
14.24. Composición sólo donde existe
Toma \(f(x)=x^2\) en \(\mathbb R\) y \(g(y)=1/(y-1)\) en \(E=\mathbb R\setminus\{1\}\). Determina el dominio efectivo de composición y prueba continuidad allí.
14.25. Composición por regiones de salida
Demuestra continuidad global de la composición de \(f:D\to E\) y \(g:E\to\mathbb R\) continuas usando sólo el criterio de preimágenes. Justifica cada ambiente.
14.26. Imagen cerrada que pierde la cerradura
Prueba que la función \(r(x)=1/(1+x^2)\) es continua en \(\mathbb R\) y tiene imagen exactamente \((0,1]\). Refuta cerradura de la imagen mediante un punto adherente.
14.27. Auditar la biyección y su inversa
Verifica la bijectividad y continuidad de la función por piezas de §14.6. Refuta directamente la continuidad de su inversa en uno.
14.28. La identidad de un transporte reversible
Prueba que una biyección \(f:D\to E\) tiene inversa continua si y sólo si envía cada abierto relativo de \(D\) a un abierto relativo de \(E\).
14.29. Una afín es un homeomorfismo
Para \(m\ne0\), prueba que \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=mx+c\), es un homeomorfismo con certificados en ambas direcciones.
14.30. Controles inversos sin intervalos compactos
Sea \(f:D\to E\) una biyección continua que es abierta. Prueba que la imagen por \(f\) de cualquier cerrado relativo a \(D\) es cerrada relativa a \(E\). No uses compacidad.
14.31. Pegar un valor absoluto desplazado
Prueba continuidad de \(f(x)=2-x\) para \(x\le2\) y \(f(x)=x-2\) para \(x\ge2\) mediante el teorema de pegado finito.
14.32. Localizar con una cobertura abierta
Demuestra que si una función es continua en la restricción a cada pieza de una cobertura abierta relativa de \(D\), entonces es continua en \(D\), aunque haya infinitas piezas.
14.33. El acuerdo sin cierre no basta
Construye una función pegada a partir de dos restricciones continuas que coincidan en su intersección y que sea discontinua. Identifica la hipótesis ausente.
14.34. Una cobertura cerrada infinita falla
En \(D=\{0\}\cup\{1/n:n\ge1\}\), define \(f(0)=0\), \(f(1/n)=1\). Prueba que las piezas singleton forman una cobertura cerrada relativa con restricciones continuas, pero la función completa no es continua en cero.
14.35. Conservar un signo cerca del centro
Supón \(f:D\to\mathbb R\) continua en \(a\) y \(f(a)<0\). Prueba que existe una ventana relativa en que todos sus valores son negativos. Formula también la conclusión topológica global para \(f<0\).
14.36. Un certificado directo del cuadrado
Prueba continuidad de \(x^2\) en cada centro con una cota local lineal, y trata \(x=a\) sin usar una desigualdad estricta inválida.
14.37. La raíz en un extremo del dominio
Prueba continuidad de \(\sqrt{x}\) en cero sobre \([0,\infty)\) y justifica por qué no se consideran entradas negativas.
14.38. Continuidad sin barrera lineal
Prueba que la raíz en cero no satisface \(\sqrt{x}\le Kx\) en ninguna ventana positiva para ninguna constante finita \(K\ge0\), pese a ser continua.
14.39. Invertir el cuadrado lejos de cero
Para \(m>0\), prueba que \(q:[m,\infty)\to[m^2,\infty)\), \(q(x)=x^2\), es biyectiva y que su inversa tiene un certificado lineal de continuidad.
14.40. El control inferior local no autoriza la inversa
Construye una biyección continua y un centro no aislado \(a\) donde valga localmente \(|f(x)-f(a)|\ge|x-a|\), pero cuya inversa no sea continua en \(f(a)\). Explica el defecto lógico de usar esa cota local para probar continuidad inversa.