Ejercicios — Capítulo 16
Índice del libro · Capítulo 16 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C16_SOLUCIONES.md. Declara los dominios, índices y finitud de cada subcubierta. Distingue supremo de máximo, apertura relativa de apertura real y extracción de selección. No uses continuidad uniforme ni derivadas; declara CC(R) en la recíproca secuencial general.
16.1. Una sola cubierta no basta
Un argumento afirma que todo subconjunto real es compacto porque \(\{\mathbb R\}\) es una cubierta finita. Explica el cambio ilegítimo de cuantificadores y refútalo con una cubierta de \(\mathbb R\).
16.2. Subcubierta concreta
Considera \(K=[0,1]\) y los abiertos \(U_1=(-1/4,2/5)\), \(U_2=(3/10,4/5)\), \(U_3=(7/10,5/4)\), \(U_4=(1/5,3/5)\). Identifica una subcubierta de tres miembros y muestra que quitar cualquiera de esos tres deja algún punto sin cubrir dentro de esa subfamilia.
16.3. Uniones finitas desde la definición
Prueba desde cubiertas que una unión finita de compactos reales es compacta, incluyendo la unión vacía. No invoques Heine–Borel.
16.4. El mínimo positivo tiene una hipótesis
Demuestra que una familia finita no vacía de radios positivos tiene mínimo positivo. Refuta la conclusión análoga para una familia infinita.
16.5. Una unión infinita que escapa
Sabiendo que cada segmento \([-n,n]\) será compacto por R2, explica por qué la unión de esos segmentos para \(n\in\mathbb N\) refuta que toda unión de compactos sea compacta. Exhibe la cubierta responsable.
16.6. Registrar cobertura finita
Para una cubierta arbitraria de \([a,b]\), \(a\le b\), define \(S\) como en R2 y justifica \(a\in S\), existencia de su supremo y pertenencia del supremo al segmento.
16.7. Prolongar con un solo abierto
Si \(c=\sup S\), \((c-r,c+r)\subseteq U_{i_c}\) y \(t\in S\) satisface \(c-r/2<t\le c\), prueba que \(d=\min(b,c+r/2)\) pertenece a \(S\). Identifica qué índices cubren cada tramo.
16.8. El extremo omitido de una prueba
Una prueba concluye \(\sup S=b\) y afirma «por tanto \(b\in S\)». Refuta ese paso lógico y completa el argumento correcto de R2 para obtener la subcubierta de todo el segmento.
16.9. No elegir una subcubierta por segmento
Explica por qué definir \(S\) mediante «existe una subcubierta finita de \([a,x]\)» no obliga a construir una función \(x\mapsto J_x\). Enumera los testigos concretos necesarios en R2.
16.10. Cobertura del intervalo abierto frente al cerrado
¿Puede la familia \(U_n=(1/(n+2),2)\) cubrir \([0,1]\)? Compara con su acción sobre \((0,1)\) y explica por qué no contradice R2.
16.11. Cubrir el complemento completo
Para heredar compacidad de \(A=K\cap F\), una prueba añade sólo \(V=(M-1,M+1)\cap(\mathbb R\setminus F)\) cuando \(K=[-M,M]\). Muestra con \(M=2\), \(F=\{0\}\) y una cubierta de \(A\) que la familia ampliada puede no cubrir \(K\). Repara el abierto añadido.
16.12. Cerrar dos piezas dentro de un segmento
Prueba compacidad de \(A=[-2,-1]\cup[1,2]\) como cerrado relativo de \(K=[-2,2]\), sin usar todavía Heine–Borel. Describe el abierto añadido en la prueba de herencia.
16.13. Etiquetas y abiertos repetidos
Desarrolla el sistema de índices al añadir un abierto \(V\) a una cubierta \((U_i)_{i\in I}\) y al retirar ese miembro tras aplicar compacidad. Permite que \(V\) coincida como conjunto con algún \(U_i\).
16.14. Un subconjunto que pierde compacidad
Prueba mediante una cubierta que \((0,1)\) no es compacto, aunque esté dentro del compacto \([0,1]\). Trata las subfamilias vacías y no vacías.
16.15. Intersección con un cerrado
Prueba que \(K\cap F\) es compacto cuando \(K\) lo es y \(F\) es cerrado real. Deduce que la intersección de toda familia no vacía de compactos reales es compacta, una vez disponible R4. Separa el caso de familia vacía.
16.16. Acotación desde una cubierta creciente
Prueba que todo compacto real es acotado usando sólo la cubierta \(U_n=(-(n+1),n+1)\). Incluye el vacío.
16.17. Un radio exterior por índices finitos
Fija \(p\notin K\), con \(K\) compacto no vacío. Usando \(V_n=\{x:|x-p|>1/(n+1)\}\), demuestra que alguna bola positiva alrededor de \(p\) evita \(K\).
16.18. Reconocer cinco dominios
Usa Heine–Borel para decidir compacidad de \([0,1]\), \((0,1]\), \(\mathbb R\), \(\{-1,1\}\) y \(\mathbb Q\cap[0,1]\). Justifica el fallo cuando corresponda.
16.19. La cola y el prefijo
Prueba cerradura y compacidad de \(K=\{0\}\cup\{1/(n+1):n\in\mathbb N\}\) sin usar la recíproca secuencial. Para un exterior positivo, construye el radio desde una cola y un prefijo finito.
16.20. Dos propiedades distintas
Da un compacto real no conexo y un conexo real no compacto. Justifica ambas propiedades con los resultados correspondientes.
16.21. Acotar la ruta y retener su límite
Demuestra que un compacto real es secuencialmente compacto usando Bolzano–Weierstrass de C08. Identifica el paso que coloca el límite en el conjunto.
16.22. Un límite exterior para todas las extracciones
Prueba que \((0,1]\) no es secuencialmente compacto mediante una sucesión concreta. No basta decir que esa sucesión converge fuera: debes tratar todas sus subsucesiones.
16.23. Una fabricación que necesita permiso
Un argumento dice: «Si \(K\) no es acotado, para cada \(n\) hay \(x_n\in K\) con \(|x_n|>n\); luego tenemos una sucesión». Distingue las afirmaciones y completa la contradicción bajo CC(R) explícita.
16.24. La ruta hacia un punto omitido
Bajo CC(R), prueba que un secuencialmente compacto es cerrado. Declara la familia seleccionada y todos los límites utilizados.
16.25. Una enumeración dada determina testigos
Sea \(K\ne\varnothing\) secuencialmente compacto y sea \(e:\mathbb N\to K\) una sobreyección dada. Prueba que \(K\) es cerrado y acotado, y por ello compacto, sin invocar CC(R).
16.26. Levantar un abierto relativo
Sea \(K\) cerrado real y \(A\) abierto relativo a \(K\). Prueba que \(W=(\mathbb R\setminus K)\cup A\) es abierto real y que \(K\cap W=A\). Explica por qué esta fórmula sirve para una familia sin elegir ambientes simultáneamente.
16.27. Devolver los mismos índices
En R6, una subfamilia finita \(W_j\) cubre \(K\). Prueba que los mismos índices \(j\) cubren \(f[K]\) con los \(V_j\) originales. No supongas que \(f\) tenga inversa.
16.28. Imagen compacta con un hueco
Para \(K=[-2,-1]\cup[1,2]\) y \(q(x)=x^2\), calcula \(q[K]\) y una cubierta de esa imagen con dos miembros abiertos. Describe las preimágenes relativas y sus levantamientos canónicos.
16.29. Una preimagen demasiado grande
Da una continua cuya imagen sea compacta y cuyo dominio no lo sea. Usa el mismo ejemplo para refutar compacidad universal de preimágenes de compactos.
16.30. El ambiente importa antes de aplicar compacidad
Una prueba afirma que las preimágenes \(A_i\subseteq K\) de abiertos de salida son abiertos reales y aplica directamente la definición ambiental de compacidad. Da un ejemplo de preimagen no abierta real y repara la prueba.
16.31. Un supremo que se alcanza
Prueba que un compacto no vacío \(H\subseteq\mathbb R\) contiene su supremo y su ínfimo. No construyas una sucesión de puntos próximos a esos valores.
16.32. Extremos que no son ambos extremos de entrada
Encuentra mínimo, máximo y todos los argumentos que los alcanzan para \(f(x)=(x-1)^2\) en \([0,3]\). Justifica con desigualdades, sin derivadas.
16.33. Un compacto sin continuidad suficiente
En \([0,1]\), define \(u(x)=x\) si \(x<1\) y \(u(1)=0\). Calcula su imagen, decide si alcanza máximo y refuta continuidad en \(1\) con un testigo para cada radio.
16.34. No vacuidad y no unicidad
Explica por qué Weierstrass requiere dominio no vacío pero no garantiza unicidad de los extremizadores. Da un ejemplo compacto no vacío con varios mínimos y máximos.
16.35. Dos teoremas para describir la imagen
Sea \(a\le b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua. Prueba que su imagen es \([m,M]\), identificando qué aporta C15 y qué aporta C16. Refuta que se puedan tomar siempre \(m=f(a)\) y \(M=f(b)\).
16.36. Positividad con margen
En \(K=[-2,-1]\cup[1,2]\), considera \(f(x)=x^2\) y \(g(x)=x+1\). Encuentra un margen positivo de \(|f|\) y cotas de \(|1/f|\) y \(|g/f|\) válidas en todo \(K\).
16.37. Punto más cercano y dos candidatos
Prueba que cualquier compacto no vacío tiene un punto más próximo a un real fijado \(p\). Para \(K=\{-1,1\}\) y \(p=0\), calcula todos los minimizadores y el margen.
16.38. Una fibra compacta que se divide
Para \(q(x)=x^2\) en \(K=[-2,2]\), calcula la fibra de \(1\) y prueba su compacidad y su desconexión. Generaliza la compacidad a la preimagen de cualquier cerrado real por una continua en compacto.
16.39. Inversa por transporte de cerrados
Sea \(K\) compacto y \(f:K\to\mathbb R\) continua e inyectiva. Demuestra que la inversa \(h:f[K]\to K\) es continua mediante preimágenes de cerrados relativos. Trata el vacío.
16.40. Homeomorfismo compacto sin monotonía global
Sea \(K=[0,1]\cup[2,3]\) y define \(f(x)=x\) en la primera pieza, \(f(x)=x-4\) en la segunda. Calcula la imagen, prueba inyectividad y continuidad, decide si es monótona en todo \(K\) y justifica continuidad de su inversa.