Ejercicios — Capítulo 17
Índice del libro · Capítulo 17 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C17_SOLUCIONES.md. Declara dominios, presupuestos y orden de elección de radios. Distingue uniformidad de continuidad puntual y de acotación, supremo de cota estricta y rutas dadas de seleccionadas. No uses derivadas ni integrales; declara CC(R) en la recíproca de pares sobre dominio arbitrario.
17.1. El orden de los cuantificadores
Escribe continuidad puntual, uniformidad y negación de uniformidad para \(f:D\to\mathbb R\). Explica qué variables puede conocer cada radio y trata el vacío.
17.2. Un radio dependiente no refuta otro posible
Una prueba de continuidad de \(x^2\) produce radios dependientes del centro y concluye que no hay radio uniforme. Diagnostica el fallo y prueba la conclusión correcta en \(\mathbb R\) con testigos para cada radio. Contrasta \([-M,M]\).
17.3. Una escala no lineal
Prueba uniformidad de \(\sqrt{x}\) en \([0,\infty)\) sin derivadas y refuta que sea Lipschitz en \([0,1]\).
17.4. Restricción y regreso imposible
Prueba que uniformidad se hereda por restricción. Da una función cuya restricción a un subconjunto sea uniforme aunque ella no sea uniforme en el dominio mayor.
17.5. Uniformidad sin compacidad ni acotación
Para \(f(x)=3x-2\) en \(\mathbb R\), da un radio uniforme y determina si la imagen y el dominio son acotados o compactos. ¿Refuta Heine–Cantor?
17.6. Proteger una cubierta concreta
Para \(K=[0,1]\), \(U_1=(-1,3/5)\) y \(U_2=(2/5,2)\), verifica que \(\lambda=1/10\) es número de Lebesgue relativo. ¿Sirve \(\lambda=1/5\)?
17.7. Familia de todos los triples
Reconstruye R2 mostrando por qué \(T\) determina una familia abierta y cubre \(K\) sin escoger un triple para cada punto.
17.8. Tomar un ínfimo demasiado pronto
Un argumento toma el ínfimo de todos los radios locales positivos y lo declara positivo. Repara la prueba de R2 y explica el papel de la bola doble.
17.9. Levantar sin elegir ambientes
Una cubierta de compacto se da por abiertos relativos \((A_i)\). Explica cómo obtener su número de Lebesgue sin elegir simultáneamente abiertos ambientales que representen cada \(A_i\).
17.10. Una cubierta finita sin margen
Sea \(D=\{p_n=1/(n+1):n\ge0\}\). Pon \(r_n=1/[4(n+1)(n+2)]\) y divide las bolas \(B(p_n,r_n)\) en dos abiertos, según paridad de \(n\). Prueba que cubren \(D\) y que esa cubierta finita no tiene número de Lebesgue positivo.
17.11. Las dos bolas del mismo índice
En R3, justifica todas las condiciones que llevan de un par \(|x-y|<\delta\) al error menor que \(\varepsilon\). ¿Por qué no basta decir que ambos están en la misma bola pequeña?
17.12. Uniformizar sólo la restricción
Para \(f(x)=x^2\) en \(D=\mathbb R\) y \(K=[-2,-1]\cup[1,2]\), aplica Heine–Cantor y da además un radio explícito. ¿Qué se puede concluir sobre todo \(D\)?
17.13. La lectura por cubiertas de salida
Prueba Heine–Cantor usando los abiertos relativos \(A_a=\{z\in K:|h(z)-h(a)|<\varepsilon/2\}\) y R2. Declara el orden de los testigos.
17.14. Acotación sin frontera incluida
Refuta uniformidad de \(1/x\) en \((0,1]\) con pares dados válidos desde \(n=0\). Explica qué hipótesis de Heine–Cantor falta.
17.15. Vacuidad y prueba sin rutas
Explica dónde entra no vacuidad en el mínimo de R3 y por qué la prueba no necesita CC(R). Contrasta la demostración por pares malos de una negación.
17.16. Existencia y orden del módulo
Para \(f:D\to\mathbb R\) acotada en un dominio no vacío, justifica existencia de \(\omega_f(t)\), su monotonía, valor en cero y la cota de diferencias. Trata el dominio vacío.
17.17. Supremo y presupuesto estricto
Una prueba dice: «todos los errores son menores que \(\varepsilon\), luego su supremo también». Repara la dirección uniforme implica módulo tendente a cero y prueba la recíproca.
17.18. Módulo exacto del cuadrado
Calcula \(\omega(t)\) para \(x^2\) en \([0,1]\), para todo \(t\ge0\). Da los pares que alcanzan cada cota y compara con \(2t\).
17.19. Una raíz y su módulo
Calcula el módulo exacto de \(\sqrt{x}\) en \([0,1]\). Contrasta la dependencia en \(t\) con la del cuadrado.
17.20. Valores no acotados y módulo finito
Explica por qué no se puede concluir que una uniforme en \(\mathbb R\) tiene valores acotados. Calcula el módulo de la identidad y prueba uniformidad directamente.
17.21. Radios para una suma
Prueba uniformidad de \(af+bg\) si \(f,g\) son uniformes en el mismo dominio y \(a,b\) son constantes. Trata constantes cero.
17.22. Factores que amplifican errores
Prueba la regla de producto bajo cotas \(M_f,M_g\). Muestra que eliminar ambas cotas pierde la garantía y que no son necesarias para todo producto particular.
17.23. Un cociente sobre dos piezas
En \(K=[-2,-1]\cup[1,2]\), sean \(f(x)=x+1\) y \(g(x)=x^2\). Da un radio explícito uniforme para \(f/g\), usando cotas de numerador, denominador y diferencias.
17.24. El orden inverso de tolerancias
Sean \(f:D\to E\) y \(g:E\to\mathbb R\) uniformes. Prueba uniformidad de \(g\circ f\) y refuta sustituir uniformidad de \(g\) por continuidad puntual.
17.25. Inversa uniforme sin control lineal
Justifica que una inyección continua \(f:K\to\mathbb R\) sobre compacto tiene inversa uniforme en su imagen. Da un ejemplo en que esa inversa no sea Lipschitz.
17.26. Rutas que no convergen
Para \(x_n=n+1\) y \(y_n=n+1+1/(n+1)\), calcula las distancias de entrada y salida bajo el cuadrado. Usa sólo la dirección directa de R6 para concluir.
17.27. Dos familias y dos selecciones
Reconstruye la recíproca secuencial de R6 bajo CC(R). Identifica las dos familias reales no vacías y explica por qué Heine–Cantor no queda condicionado por esta prueba.
17.28. Una enumeración de pares malos
Supón dada una sobreyección \(e:\mathbb N\to D\) no vacío. Construye los pares malos de una negación de uniformidad mediante mínimos de índices, sin CC(R).
17.29. Preservar una ruta de Cauchy
Prueba que una uniforme envía toda ruta de Cauchy dada a otra de Cauchy. Refuta la recíproca universal con el cuadrado en \(\mathbb R\).
17.30. Pares recíprocos y una frontera
En \((0,1]\), usa \(x_n=1/(n+2)\) y \(y_n=1/(n+3)\) para comparar identidad y recíproco. ¿Qué aprende el test de pares?
17.31. Construir el corte de frontera
Justifica no vacuidad/acotación de \(E_{p,r}\) y que el corte \(F(p)\) queda entre \(L_{p,r}\) y \(U_{p,r}\) para todo radio admisible. No elijas sucesiones aproximantes.
17.32. Anchuras que determinan un único real
Prueba que diferencias menores que \(\eta\) entre todos los valores de una imagen no vacía/acotada implican \(U-L\le\eta\). Usa esto para justificar unicidad del valor extendido y coincidencia en \(D\).
17.33. Uniformidad y unicidad de la extensión
Completa la prueba de uniformidad de \(F\) sobre \(\overline D\) y de unicidad entre extensiones continuas. Declara los presupuestos y radios.
17.34. Extender y no poder extender
Determina las extensiones continuas a \([0,1]\) de identidad y raíz en \((0,1]\). Prueba que el recíproco no admite extensión real continua allí.
17.35. Uniformidad en un dominio acotado
Para \(D\subseteq\mathbb R\) acotado, prueba que \(f:D\to\mathbb R\) es uniforme si y sólo si admite extensión continua al cierre. Trata vacío y explica el papel del cierre compacto.
17.36. Construir la poligonal
Para una continua \(f:[a,b]\to\mathbb R\), \(a<b\), construye \(P\) y prueba existencia de malla, coincidencia en nodos y continuidad. No uses derivadas.
17.37. Controlar todo lo que queda entre nodos
Prueba la cota uniforme de error de R8, incluidos pesos cero y la diferencia entre error puntual, supremo y máximo.
17.38. Certificado exacto de cuatro celdas
Para \(x^2\) en \([0,1]\), interpola con cuatro celdas iguales. Calcula el error máximo y todos los puntos donde se alcanza, por álgebra.
17.39. Muestras iguales y errores arbitrarios
Dada una malla finita en \([a,b]\) con \(a<b\), construye una función continua que valga cero en todos sus nodos y alcance una altura prescrita \(H>0\) entre dos de ellos. Explica qué garantía falta.
17.40. Elegir una malla a partir de tolerancia
Para \(x^2\) en \([0,1]\), da una condición en \(n\) que asegure error poligonal estrictamente menor que \(\varepsilon>0\). Compárala con usar sólo el control Lipschitz dos y presupuesto \(\varepsilon/2\).