Ejercicios — Capítulo 18
Índice del libro · Capítulo 18 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C18_SOLUCIONES.md. Declara centro acumulante, dominio perforado y dominio efectivo. Justifica cada división y distingue error de valor de error normalizado. No uses Rolle, valor medio, convexidad, Taylor ni integrales; no presupongas continuidad de la inversa o de la función derivada.
18.1. El centro y el dominio perforado
Escribe la definición relativa de derivada para \(f:D\to\mathbb R\) y explica por qué un centro aislado no sirve. Trata \(D=\{0\}\) y \(D=[0,\infty)\).
18.2. Secantes del cuadrado
Calcula la pendiente secante de \(x^2\) centrada en \(a\). Prueba la derivada con radio explícito y compara los valores para \(a=1\), \(h=1/2,-1/2,1/10\).
18.3. Dos límites candidatos
Prueba directamente unicidad de la derivada con acumulación, sin usar una sucesión seleccionada.
18.4. Una restricción pierde un lado
Prueba la derivada relativa de \(|x|\) en cero sobre \([0,\infty)\) y refuta inferir de ella la derivada sobre \(\mathbb R\).
18.5. Cambiar el valor central
Sea \(F(x)=x^2\) para \(x\ne0\) y \(F(0)=1\). Decide derivabilidad en cero y compara con el cuadrado usual.
18.6. Traducir el error
Prueba equivalencia entre derivada \(L\) y resto \(r_L=o(|x-a|)\) sobre el dominio relativo.
18.7. Un marco completo de zoom
Para \(f(x)=x^2\), centro uno y \(|u|\le2\), escribe \(G_t\) y da una condición en \(t>0\) para error menor que \(\varepsilon\) respecto de la recta límite.
18.8. Todas las rectas tienen error absoluto pequeño
Para el cuadrado centrado en \(a\), demuestra que cualquier recta de pendiente \(M\) por el punto tiene error absoluto tendente a cero. Explica por qué sólo \(M=2a\) es modelo de primer orden.
18.9. No hace falta escoger rutas
Prueba unicidad del modelo lineal usando únicamente estimaciones de resto y un testigo de acumulación.
18.10. Zoom sobre un dominio roto
Sea \(D=\{0\}\cup\{1/(n+1):n\in\mathbb N\}\) y \(f(x)=x^2\) en \(D\). Prueba derivada relativa en cero y describe las entradas permitidas del zoom.
18.11. De pendientes a valores
Reconstruye la prueba de continuidad desde una derivada finita, incluidos los presupuestos y el centro.
18.12. La esquina refuta todos los radios
Prueba continuidad de \(|x|\) en toda la recta y no derivabilidad en cero con dos testigos para un radio arbitrario.
18.13. Pendiente cero sin extremo
Prueba que \(x^3\) tiene derivada cero en cero y que allí no es constante ni tiene máximo o mínimo local.
18.14. Control centrado sin Lipschitz vecino
Analiza \(F(x)=x^2\) en racionales y cero en irracionales. Prueba \(F\prime(0)=0\) y que no es Lipschitz en ninguna vecindad de cero.
18.15. Comparar sólo con el centro
Si \(f\prime(a)=L>0\), prueba las comparaciones locales con \(f(a)\) a cada lado del centro. Indica el alcance exacto.
18.16. El producto como identidad
Deriva suma y producto desde las identidades de cocientes, e indica dónde se usa continuidad.
18.17. Dominio del recíproco
Prueba la regla del recíproco y justifica acumulación de su dominio efectivo.
18.18. Un cociente racional
Deriva \(f(x)=(x+1)/(x^2+1)\) en su dominio real e indica por qué no hay puntos excluidos.
18.19. Un hueco no desaparece al cancelar
Una solución simplifica \((x^2-1)/(x-1)\) a \(x+1\) y asigna derivada uno en \(x=1\). Revisa el dominio y describe una extensión.
18.20. Potencias enteras con base cero
Prueba por inducción la derivada de \(x^n\) para \(n\ge1\), trata \(n=0\) y deriva \(x^{-n}\) para \(n\ge1\).
18.21. Rellenar el factor exterior
Construye \(A\) para una función exterior derivable en \(b\) y prueba su continuidad y su identidad de incrementos.
18.22. Los dos presupuestos de la cadena
Prueba la cadena con una estimación de error que siga siendo válida cuando el incremento interior es cero.
18.23. Una rama detenida
Para \(g(x)=1\) si \(x<0\) y \(g(x)=1+x^2\) si \(x\ge0\), calcula la derivada de \(g\) y de \(g(x)^2\) en cero. Explica el fallo de la factorización que divide por el incremento interior.
18.24. Acumulación perdida en la composición
Sean \(g(x)=x^2\) sobre \(\mathbb R\) y \(f(y)=y\) sobre \(E=(-\infty,0]\). Halla el dominio efectivo, revisa las derivadas de los factores y explica por qué no hay derivada compuesta en cero.
18.25. Interior constante y exterior no lineal
Sea \(g:D\to E\) constante con valor \(b\) y \(a\in D\cap\operatorname{Acc}(D)\). Si \(f\) es derivable en \(b\) respecto de \(E\), comprueba la cadena y la acumulación de la imagen interior.
18.26. Tres hipótesis, tres funciones
En R6 explica por separado el papel de inyectividad, continuidad de la inversa y derivada no nula. Prueba que la imagen acumula en \(b\).
18.27. Secantes recíprocas del cuadrado
Para el cuadrado en \([0,\infty)\) y \(a>0\), prueba continuidad y derivada de la inversa en \(b=a^2\). Relaciona las secantes originales e inversas.
18.28. Un centro de pendiente cero
Prueba que el cuadrado tiene derivada relativa cero en cero y que su inversa raíz no tiene allí derivada real finita.
18.29. Una inversa que salta
En \(D=[0,1)\cup[2,3]\), sea \(f(x)=x\) en la primera pieza y \(x-1\) en la segunda. Analiza inyectividad, imagen, derivada en dos y continuidad de la inversa en uno.
18.30. Evitar una prueba circular
Una demostración deriva \(f\circ h=\mathrm{id}\) y despeja \(h\prime(b)\) sin haber demostrado que existe. Repara la prueba por cocientes.
18.31. El dominio de otra función
Escribe el dominio y los valores de la función derivada de \(|x|\) sobre \(\mathbb R\). Distingue límite y continuidad de esa derivada en cero.
18.32. Separar la familia de bultos
Para \(c_n=2^{-(n+1)}\), \(w_n=c_n^2/8\), prueba positividad y disjunción de \(I_n\). Justifica que fuera de cero la familia es localmente finita.
18.33. Una derivada discontinua sin trigonometría
Completa la prueba de R7: diferenciabilidad en cero, en extremos y en interiores, y discontinuidad de la función derivada en cero.
18.34. La forma del extremo
Prueba la cota \(|\phi(u)|\le4|u-1|^2\) cerca del extremo derecho en \([-1,1]\), y su análoga izquierda. Tradúcela al cociente de un bulto.
18.35. Pendiente puntual y función derivada
Compara el dominio de la derivada de la función racional/irracional de R3 con el de la familia de bultos de R7. ¿Qué dos inferencias fallan?
18.36. Racionalizar el error de raíz
Demuestra la identidad exacta del resto de \(\sqrt{1+h}\) respecto de \(1+h/2\), para \(h>-1\). Da una cota cuadrática en \(|h|\le1/2\).
18.37. Un valor y dos tolerancias
Certifica la aproximación de \(\sqrt{101/100}\) mediante \(201/200\). Compara el error absoluto con el error de la secante usada para aproximar la derivada en uno.
18.38. Tolerancias desde una cota dada
Si \(|r(a+h)|\le Bh^2\) en \(|h|<\rho\), da condiciones para error de valor menor que \(\varepsilon\) y error normalizado menor que \(\eta\). Trata \(B=0\).
18.39. Un resto menor que lineal y mayor que cuadrático
Para \(f(x)=|x|\sqrt{|x|}\), prueba derivada cero en cero y ausencia de una cota cuadrática local finita.
18.40. Muestras idénticas, pendientes arbitrarias
Dado \(S\subseteq\mathbb R\) finito con \(0\in S\) y un real \(c\), construye un polinomio que se anule en \(S\) y tenga derivada \(c\) en cero. Explica la limitación de certificar derivadas con muestras finitas.