Ejercicios — Capítulo 19
Índice del libro · Capítulo 19 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C19_SOLUCIONES.md. Declara intervalo, continuidad de bordes y derivabilidad interior. Verifica cada segmento y división; distingue punto existencial de punto predeterminado, desigualdad débil de estricta y existencia de raíz de unicidad. No uses convexidad, segunda derivada, Taylor, integrales o L’Hôpital; no presupongas continuidad de f′.
19.1. Signos en un mínimo
Prueba Fermat para un mínimo interior usando signos de secantes y dos casos para el signo de la derivada.
19.2. El borde no es un centro interior
Analiza los extremos y derivadas relativas de \(f(x)=x\) sobre \([0,1]\). Explica por qué no contradicen Fermat.
19.3. Una esquina y un punto estacionario
Compara \(|x|\), \(x^2\) y \(x^3\) en cero: extremo local, derivabilidad y suficiencia de pendiente nula.
19.4. Dos lados sin un intervalo completo
Prueba que en Fermat puede reemplazarse interioridad por acumulación a ambos lados, manteniendo extremo local y derivada relativa existentes.
19.5. Transformar el máximo
Deduce Fermat para un máximo a partir del caso mínimo y verifica las condiciones de la función auxiliar.
19.6. Localizar un extremo interior
Si una continua en \([a,b]\) tiene bordes iguales \(k\) y algún valor distinto, prueba que alcanza un extremo global interior.
19.7. Una parábola que vuelve al borde
Aplica Rolle a \(f(x)=x(1-x)\) en \([0,1]\). Halla todos los puntos de derivada cero y comprueba si son ceros de la función.
19.8. Perder continuidad en un borde
Para \(u(x)=x\) si \(0\le x<1\) y \(u(1)=0\), audita Rolle en \([0,1]\) y prueba que la continuidad interior no basta.
19.9. Omitir la derivabilidad
Analiza Rolle para \(|x-1/2|\) en \([0,1]\) y contrasta con eliminar igualdad de borde en la identidad.
19.10. Muchos puntos posibles
Explica por qué Rolle no da unicidad ni una selección simultánea. Trata una función constante y el segmento degenerado.
19.11. Construir el residuo de la secante
Construye la función auxiliar de Lagrange y verifica todas las hipótesis de Rolle antes de aplicarlo.
19.12. Tangente paralela en el cuadrado
Halla el punto de Lagrange para \(x^2\) en \([1,3]\) y calcula la función auxiliar que resta la secante.
19.13. El punto medio no es universal
Una aplicación de Lagrange al cubo en \([0,1]\) usa automáticamente \(c=1/2\). Corrígela y explica el origen del error.
19.14. Restringir sin llenar un hueco
Explica qué se necesita para aplicar Lagrange a \(f:D\to\mathbb R\) entre \(u<v\). Usa un dominio de dos piezas para refutar que basten los extremos.
19.15. Igualdad sin continuidad de derivada
Explica si Lagrange se aplica a la función de bultos de C18 en un segmento cerrado que cruce cero, aunque su derivada sea discontinua allí.
19.16. Del signo a cada par
Prueba que \(f\prime\ge0\) en el interior de un intervalo, con continuidad de \(f\) y derivabilidad interior, implica que \(f\) es no decreciente.
19.17. Crecimiento estricto con una derivada nula
Prueba que el cubo es estrictamente creciente y tiene derivada nula en cero. ¿Qué recíproca se refuta?
19.18. Derivadas iguales, valores fijados
Sean f,g continuas en un intervalo y derivables en su interior, con derivadas iguales. Prueba que su diferencia es constante y determina qué ocurre si coinciden en un punto.
19.19. Constantes distintas en un dominio roto
Construye una función con derivada relativa cero en todos los puntos de \([0,1]\cup[2,3]\) que no sea constante. Revisa también los bordes.
19.20. Signo de una derivada existente
Si una función es no decreciente y tiene derivada en un punto interior a su intervalo, prueba que esa derivada es no negativa sin aplicar Lagrange.
19.21. Dos cotas de incrementos
Deriva las cotas \(m(y-x)\le f(y)-f(x)\le M(y-x)\) desde cotas de derivada en un intervalo. Indica cómo tratar pares no ordenados para una cota absoluta.
19.22. Cubo y radio común
Da una constante Lipschitz y un radio uniforme para \(x^3\) en \([-2,2]\) usando la derivada.
19.23. Una frontera rompe el certificado
Para la función de E008, prueba que la derivada interior acotada por uno no da ninguna cota Lipschitz finita en todo \([0,1]\).
19.24. La raíz lejos de cero
Da una constante Lipschitz para la raíz en \([1/4,4]\) y explica por qué no puede extenderse una cota finita a \([0,1]\).
19.25. Una pendiente cercana en todos los centros
Si \(|f\prime(t)-A|\le\eta\) en el interior de un segmento con centro a y extremo x, prueba error de modelo a lo sumo \(\eta|x-a|\). ¿Qué dato no basta?
19.26. Productos cruzados antes de cocientes
Construye la auxiliar de Cauchy y prueba la forma sin divisiones del valor medio.
19.27. Tres puntos diferentes
Para \(f=x^2,g=x^3\) en \([0,1]\), compara sus dos puntos de Lagrange con el punto de Cauchy.
19.28. Legitimar ambas divisiones
Bajo \(g\prime(t)\ne0\) en todo \((a,b)\), prueba que la forma de cocientes de Cauchy está definida.
19.29. Un incremento nulo
Aplica la forma cruzada a \(f(x)=x\), \(g(x)=x(1-x)\) en \([0,1]\). Localiza el punto y explica por qué la razón de incrementos no está definida.
19.30. Un testigo donde no se puede dividir
Para \(f=g=x^3\) en \([-1,1]\), explica por qué \(\Delta g\ne0\) no autoriza dividir la identidad de Cauchy en cualquier punto que la satisfaga.
19.31. Excluir los bordes de un mínimo
Si \(H\prime(u)<0<H\prime(v)\) y H es derivable en un intervalo abierto que contiene \([u,v]\), prueba que alcanza un mínimo interior en ese segmento.
19.32. Una derivada intermedia sin suponer continuidad
Prueba Darboux para \(f\prime(u)<\lambda<f\prime(v)\) y explica cómo tratar el orden opuesto.
19.33. Continuidad y ausencia de saltos
Usa la familia de bultos de C18 para distinguir continuidad de derivada y propiedad de Darboux. Explica qué valores deben aparecer entre cero y cada \(x_n\).
19.34. Una derivada sin ceros tiene un signo
Prueba que una derivada no nula en un intervalo abierto tiene signo constante, sin asumir continuidad de esa derivada.
19.35. Un escalón no puede ser una derivada
En \((-1,1)\), sea h menos uno para \(x<0\) y uno para \(x\ge0\). Prueba que no existe una función derivable en todo ese intervalo con derivada h.
19.36. Inyectividad desde Rolle
Prueba inyectividad de una función continua y derivable interiormente en un intervalo si su derivada nunca se anula. Trata la diferencia entre igualdad de valores y cero de la función.
19.37. Contar ceros por segmentos vecinos
Si \(f'\) tiene a lo sumo k ceros en el interior de un intervalo, prueba que f tiene a lo sumo k+1 ceros distintos bajo las hipótesis de R8.
19.38. Existencia, unicidad y primera horquilla
Para \(p(x)=x^3+x-1\) en \([0,1]\), prueba existencia y unicidad de un cero y enciérralo entre \(1/2\) y \(3/4\).
19.39. Un máximo de tres ceros que se alcanza
Usa la derivada de \(q(x)=x^3-3x\) para acotar sus ceros y comprueba cuántos tiene. ¿Dos ceros de \(f'\) garantizan tres de f?
19.40. Residuo convertido en distancia
Para la raíz única r de E038 y el aproximante \(x=2/3\), demuestra las cotas racionales \(16/1161\le r-x\le4/189\).