Ejercicios — Capítulo 20
Índice del libro · Capítulo 20 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas están en ANM-C20_SOLUCIONES.md. Declara intervalo y pesos, distingue centros interiores de bordes y controla el signo al dividir. Las pruebas tempranas de secantes y continuidad no usan derivadas. Los criterios diferenciales exigen sus hipótesis en todo el intervalo; un signo central no basta. No uses Taylor o integrales.
20.1. La diferencia exacta de una cuerda
Para \(f(x)=x^2\) y \(z=(1-t)a+tb\), calcula la diferencia entre la altura de la cuerda y \(f(z)\). Usa el resultado para decidir convexidad y sus casos de igualdad.
20.2. Una esquina bajo sus cuerdas
Demuestra que \(|x|\) es convexa y no estrictamente convexa. Identifica además por qué no admite derivada bilateral en cero.
20.3. Sumar sin invertir el orden
Sean \(f,g\) convexas sobre \(I\). Demuestra convexidad de \(\alpha f+\beta g\) para \(\alpha,\beta\ge0\) y de \(f+A+Bx\). Exhibe una falla si se permite un coeficiente negativo.
20.4. Una subida que no decide curvatura
Compara monotonía y convexidad de \(x^2\) y \(x^3\) sobre \(\mathbb R\) sin invocar el criterio de segunda derivada.
20.5. Supremo de curvas convexas
Sea una familia no vacía \((f_j)\) de funciones convexas sobre el mismo intervalo. Supón que \(F(x)=\sup_j f_j(x)\) es real finito para cada \(x\). Prueba convexidad de \(F\). Explica las condiciones de no vaciedad y finitud.
20.6. Reconstruir la cuerda desde pendientes
Para \(u<v<w\), demuestra algebraicamente que \(S(u,v)\le S(v,w)\) equivale a la desigualdad de convexidad en \(v\) entre \(u,w\). Recupera también el orden de la secante larga.
20.7. Tres pendientes del cuadrado
Calcula las pendientes de \(x^2\) entre las entradas0,1,3. Comprueba su orden y relaciona cada una con la fórmula general \(S(u,v)\).
20.8. Una igualdad que se propaga
Sea \(f\) convexa en \([a,b]\), y sea \(\ell\) la cuerda entre sus bordes. Si \(f(z)=\ell(z)\) para un \(z\) interior, demuestra que \(f=\ell\) en todo el segmento.
20.9. Cero curvatura en una pieza
Construye una función convexa que no sea afín en toda \(\mathbb R\) y que tenga una igualdad interior en alguna cuerda. Explica por qué no contradice E008.
20.10. Sin tramo recto, con desigualdad estricta
Prueba que una función convexa es estrictamente convexa si y sólo si no es afín en ningún subsegmento con extremos distintos.
20.11. Un radio construido con secantes
Sea \(f\) convexa finita y \(a<c<d<b\) en su intervalo. Construye una constante Lipschitz en \([c,d]\) y un radio de continuidad sin usar derivadas.
20.12. Dos pendientes laterales en una esquina
Calcula las derivadas laterales de \(|x|\) en cero y las constantes de secante que las definen. Decide continuidad, derivabilidad y una constante Lipschitz global.
20.13. Una discontinuidad convexa de borde
En \([0,1]\), toma \(f(0)=1\) y \(f(x)=0\) para \(x>0\). Prueba convexidad y falta de continuidad en cero. Explica qué afirmación de continuidad permanece válida.
20.14. El supremo convertido en límite
Para \(c\) interior de una función convexa finita, demuestra que \(A=\sup_{x<c}S(x,c)\) es real y es el límite de esas secantes al acercarse desde la izquierda.
20.15. Ni constante global ni borde protegido
Explica con \(x^2\) en \(\mathbb R\) por qué la convexidad no implica Lipschitz global. Da también una función convexa continua en \([0,1]\) que no sea Lipschitz allí.
20.16. Todas las rectas que sostienen la esquina
Determina todos los \(p\) para los que \(px\le|x|\) para todo \(x\). Relaciona el resultado con las dos pendientes laterales.
20.17. Una familia que envuelve el cuadrado
Prueba \(x^2=\sup_{c\in\mathbb R}(2cx-c^2)\), indicando existencia de la cota y un centro que alcance el supremo.
20.18. Por qué el soporte invierte un signo
Sea \(f\) convexa y \(c\) interior. Prueba que las pendientes de una recta de soporte por \((c,f(c))\) son exactamente \([A,B]\), con \(A=f\prime_-(c)\) y \(B=f\prime_+(c)\).
20.19. Un borde sin soporte finito
Para \(f(x)=-\sqrt{x}\) en \([0,1]\), demuestra que no existe una recta de pendiente real finita por \((0,0)\) que quede debajo en todo el segmento. ¿Contradice la existencia interior de soportes?
20.20. Un segundo contacto fuerza una pieza recta
Sea \(f\) convexa y sea \(\ell\) un soporte. Si \(f(a)=\ell(a)\) y \(f(b)=\ell(b)\) para \(a<b\), prueba \(f=\ell\) en \([a,b]\). Deduce la unicidad del contacto de una tangente de una función estrictamente convexa.
20.21. Dos centros en segmentos vecinos
Demuestra que una función derivable en un intervalo abierto es convexa si su derivada es no decreciente. Declara las hipótesis de cada aplicación de Lagrange.
20.22. Orden de derivadas sin orden de valores
Para \(x^2\), explica por qué la derivada creciente certifica convexidad pero no crecimiento global de la función. Encuentra sus intervalos de monotonía.
20.23. Un plateau de derivadas destruye lo estricto
Supón que \(f\) es derivable y convexa sobre un intervalo abierto. Si \(x<y\) y \(f\prime(x)=f\prime(y)=k\), demuestra que \(f\) es afín en \([x,y]\). Usa esto para el criterio estricto.
20.24. Tangentes que prueban convexidad
Supón que \(f\) es derivable en \(I\) y que cada tangente en un centro de \(I\) queda debajo de todas las salidas de \(f\) en \(I\). Prueba convexidad sin comparar derivadas directamente.
20.25. La derivada interior no arregla el borde
En \([0,1]\), toma \(f(0)=-1\) y \(f(x)=0\) si \(x>0\). Comprueba que la derivada interior es no decreciente y que la función no es convexa. Identifica la hipótesis ausente.
20.26. Dos derivadas, una equivalencia
Sea \(f\) dos veces derivable en un intervalo abierto. Demuestra ambas direcciones de la equivalencia entre convexidad y \(f\prime\prime\ge0\), sin suponer continuidad de \(f\prime\prime\).
20.27. Convexidad estricta con segunda derivada nula
Prueba que \(x^4\) es estrictamente convexa en toda la recta y que no cumple \(f\prime\prime>0\) en todos los puntos.
20.28. Recíproco y raíz: dos direcciones
Calcula las dos primeras derivadas de \(1/x\) y de \(\sqrt{x}\) para \(x>0\). Decide monotonía y convexidad o concavidad. Justifica la extensión de concavidad de la raíz a cero.
20.29. Una muestra de curvatura no basta
Para \(q=x^2-x^4\), compara \(q\prime\prime(0)\) y \(q\prime\prime(1)\) y decide convexidad global. Explica además por qué \(f\prime\prime(0)=0\) no identifica un cambio de convexidad.
20.30. Existencia, frontera y soporte horizontal
Distingue las conclusiones sobre mínimos de: (i) función convexa derivable con \(f\prime(c)=0\) interior; (ii) \(x\) sobre \([0,1]\); (iii) \(x^2\) sobre \((0,1)\). Indica cuándo hay unicidad y existencia.
20.31. El peso nulo en la inducción
Prueba Jensen finito por inducción para pesos no negativos que suman1, separando las posibilidades que podrían causar una división por cero.
20.32. Igualdad con entradas inactivas
En Jensen para una función estrictamente convexa, ¿qué condición de igualdad corresponde a pesos positivos y a pesos cero? Prueba la condición necesaria.
20.33. Una diferencia de diecinueve dieciseisavos
Para pesos \((1/4,1/2,1/4)\) y entradas \((0,1,3)\), calcula la media, la media de cuadrados y su diferencia. Verifica la identidad de suma de desviaciones cuadráticas.
20.34. Una desigualdad sin logaritmos
Para \(x_i>0\), demuestra \((\sum_{i=1}^n x_i)(\sum_{i=1}^n1/x_i)\ge n^2\) por Jensen y da su caso de igualdad.
20.35. Una suma de pesos que no protege el signo
Exhibe la falla de Jensen para el cuadrado con pesos2 y−1. Explica el paso de la prueba que deja de ser válido y por qué no es un contraejemplo a Jensen.
20.36. Restar un cuadrado para obtener una banda
Supón \(m\le f\prime\prime\le M\) en todo un intervalo abierto. Demuestra las dos cotas del error de tangente sin Taylor ni integrales.
20.37. La banda de una cuerda
Deriva la banda del error de cuerda entre \(a,b\) para \(z=(1-t)a+tb\) a partir de \(q_m\) y \(q_M\). Incluye los pesos extremos.
20.38. Una banda que alcanza ambos lados
Para \(f(x)=x^2\) en \([0,2]\) y \(m=M=2\), calcula el error de cuerda en1 y el error de tangente desde \(c=1\) hasta \(x=3/2\). Comprueba que las bandas son exactas.
20.39. Lo estricto no da un margen uniforme
Para \(f(x)=x^4\) cerca de cero, demuestra que la convexidad estricta no permite una cota \(f\prime\prime\ge m>0\) ni una cota \(|f\prime(x)|\ge m|x|\) con constante positiva uniforme.
20.40. De una pendiente a dos certificados
Para \(f(x)=x^2+x^4\) en \([-1,1]\), prueba mínimo único en0 y usa \(m=2\) para certificar posición y pérdida en \(x=1/4\). Calcula las cantidades exactas y compara certificado con valor real.