Ejercicios — Capítulo 21
Índice del libro · Capítulo 21 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas están en ANM-C21_SOLUCIONES.md. Declara centro, orden, dominio y contrato diferencial. Justifica cada aplicación de Rolle/Cauchy y cada denominador; distingue resto exacto, error normalizado y certificado uniforme. No uses integrales o sumas infinitas ni derives un símbolo o sin hipótesis.
21.1. Los coeficientes no se eligen a ojo
Para \(P(t)=\sum_{k=0}^n a_k(t-c)^k\), demuestra \(P^{(j)}(c)=j!a_j\) y deduce existencia y unicidad del polinomio que conserva los datos de órdenes0 a\(n\).
21.2. El cubo visto desde uno
Construye los polinomios de Taylor de órdenes1,2,3 de \(t^3\) en\(c=1\), usando\(h=t-1\). Calcula sus restos exactos.
21.3. Orden mayor que el grado
Encuentra el Taylor de orden4 de\(2-3t+t^2\) en cero y explica por qué la palabra orden no exige grado4.
21.4. Mismos datos, salidas diferentes
Para\(n\) fijo y un polinomio\(P\) de grado a lo sumo\(n\), prueba que\(P+A(t-c)^{n+1}\) conserva sus datos centrales hasta orden\(n\) y puede alcanzar cualquier valor prescrito en una entrada\(x\ne c\).
21.5. Centro, dominio y factorial
Explica los tres controles necesarios para escribir Taylor de\(1/(1-t)\) en\(c=0\) y por qué la definición del polinomio no certifica su error cerca de\(t=1\).
21.6. El invariante de Rolle repetido
Escribe una prueba por inducción finita del lema de21.2, declarando el invariante y el número de aplicaciones.
21.7. Una cadena de tres puntos
Para\(H(t)=t^3(1-t)\) entre0 y1, comprueba los ceros centrales hasta orden2 y la cadena de puntos\(3/4,1/2,1/4\) de Rolle.
21.8. Un dato central que no puede perderse
Para\(n=1\), muestra que\(H(0)=H(1)=0\) sin exigir\(H\prime(0)=0\) no garantiza un cero de\(H\prime\prime\) interior.
21.9. Rolle hacia la izquierda
Aplica el esquema de\(n=1\) a\(H(t)=t^2(t+1)\) entre\(c=0\) y\(x=-1\). Calcula una cadena de testigos y explica la orientación.
21.10. Qué continuidad consume cada paso
Distingue las hipótesis de continuidad de\(H_0,\ldots,H_n\) y la hipótesis sobre\(H_n\prime\). Explica por qué no hace falta una familia infinita de puntos.
21.11. El auxiliar que obliga a la igualdad
Demuestra Taylor–Lagrange a orden\(n\) mediante\(H=f-T_{n,c}f-A(t-c)^{n+1}\), justificando cada división y el caso\(x=c\).
21.12. Un testigo que no es el medio
Para\(f(t)=t^3\), centro0, entrada1 y Taylor de orden1, calcula el testigo de Lagrange y compáralo con el punto medio.
21.13. Una derivada constante deja muchos testigos
Para\(t^3\) a orden2 y centro1, muestra que cualquier punto interior entre1 y\(x\ne1\) verifica el resto. ¿Qué demuestra sobre la unicidad?
21.14. Un centro fronterizo sin última derivada
En\([0,1]\), usa\(f(t)=t^{5/2}=t^2\sqrt t\) para Taylor de orden2 y centro0 mediante el contrato cerrado. Verifica los miembros continuos y explica qué pasa con la tercera derivada en el borde.
21.15. El caso de orden cero
Reduce Taylor–Lagrange de orden0 al valor medio de C19 y señala las hipótesis que siguen siendo necesarias.
21.16. Una cota que no necesita máximo
Deriva la cota absoluta de resto desde Lagrange con\(|f^{(n+1)}|\le M\). Incluye\(x=c\) y\(M=0\) y explica por qué no se requiere derivada final continua.
21.17. La cancelación de Cauchy
Calcula la derivada de\(G(t)=f(x)-\sum_{k=0}^n f^{(k)}(t)(x-t)^k/k!\) con\(x\) fijado y deduce su forma de resto.
21.18. Una banda que cambia de orientación
Si\(2\le f^{(3)}\le6\) entre\(c\) y\(x\), escribe las bandas firmadas para el resto de orden2 cuando\(x>c\) y cuando\(x<c\).
21.19. Testigos diferentes para el mismo error
Para\(t^3\), centro0, entrada1 y orden1, encuentra un testigo de Cauchy y compáralo con el de Lagrange. Compara sus cotas con\(|f\prime\prime|\le6\).
21.20. Una región antes de una entrada
Supón\(|f^{(n+1)}|\le M\) en el interior de\([c-\rho,c+\rho]\) bajo el contrato cerrado. Demuestra un control uniforme y explica por qué una muestra de esa derivada no lo sustituye.
21.21. Peano por Cauchy e inducción
Prueba el paso inductivo de Peano de orden\(n\ge2\) a partir del resultado para\(H\prime\), con\(H=f-T_{n,c}f\). Declara el denominador no nulo.
21.22. Peano sin un orden cúbico de error
Para\(f(h)=h^2\sqrt{|h|}\), verifica los datos centrales hasta orden2 y demuestra\(o(|h|^2)\) pero ausencia de cota\(C|h|^3\) cerca de cero.
21.23. Error absoluto y error normalizado
Para\(n\ge1\), compara\(r(h)=h^n\) y\(s(h)=h^{n+1}\) cerca de cero. Decide qué errores son\(o(|h|^n)\) y muestra por qué tender a cero no basta.
21.24. Un modelo asintótico también es único
Si\(P,Q\) tienen grado a lo sumo\(n\) y\(f-P=o(|h|^n)\) y\(f-Q=o(|h|^n)\) en centro0, demuestra\(P=Q\) sin derivar los restos.
21.25. Un radio para un error de raíz
Para el ejemplo de E022, produce un radio explícito que haga\(|f(h)|<\varepsilon|h|^2\). Explica qué no prueba ese radio sobre una cota cúbica.
21.26. Dominar el resto para decidir un signo
Demuestra el criterio de la primera derivada no nula usando\(ah^m+o(|h|^m)\) y una tolerancia explícita.
21.27. Cuarto poder frente a cubo
Compara\(x^4\) y\(x^3\) en cero por el primer orden diferencial no nulo y verifica las conclusiones directamente.
21.28. Datos nulos con tres respuestas
Para\(n\) fijo, construye tres polinomios con iguales datos centrales hasta orden\(n\) en0 y con mínimo, máximo y ningún extremo local allí.
21.29. El mínimo que no gobierna toda la recta
Para\(q(h)=h^2-h^4\), prueba mínimo local estricto en0 y falla de mínimo global. Compara con la hipótesis de C20.
21.30. El orden impar en una frontera
Explica por qué el criterio impar no excluye un mínimo de\(x\) en0 sobre\([0,1]\). Declara una versión unilateral de la comparación de signos.
21.31. Una identidad geométrica todavía finita
Demuestra\(T_{n,0}(1/(1-h))=\sum_{k=0}^n h^k\) y calcula su resto exacto sin usar series.
21.32. La raíz y su tercera derivada
Calcula\(T_{2,0}\sqrt{1+h}\) y justifica la cota\(0<g^{(3)}\le8/9\) en\(|h|\le1/4\) con productos y raíces.
21.33. Un intervalo racional para una raíz
Usa E032 y Taylor–Lagrange para certificar\(\sqrt{5/4}\) por un intervalo racional. Explica la inclusión estricta o débil de cada borde.
21.34. Un cotejo por racionalización
Calcula un certificado de error para\(143/128\) como aproximante de\(\sqrt{5/4}\) mediante diferencia de cuadrados, y compáralo con\(1/432\).
21.35. La singularidad impone el margen
Para\(1/(1-h)\) con centro0 y\(n\) fijo, demuestra la cota en\(|h|\le\rho<1\) y explica por qué no se conserva una cota uniforme al acercarse a\(h=1\).
21.36. Multiplicar modelos sin derivar errores
Si\(f=P+u\) y\(g=Q+v\) con\(u,v=o(|h|^n)\) y\(n\ge1\), demuestra que el producto truncado de\(PQ\) a grado\(n\) es un modelo del mismo orden.
21.37. Sustitución con denominador protegido
Construye el Taylor de orden2 de\(F(h)=1/(1-h-h^2)\) y una cota cúbica válida en\(|h|\le1/4\).
21.38. Elegir el menor grado certificado
Para\(1/(1-h)\) en\(|h|\le1/4\), encuentra el menor orden que garantiza error menor que\(1/1000\) usando la fórmula geométrica. Comprueba el valor en\(h=1/4\).
21.39. Trasladar un centro conocido
Reexpande\(t^3\) en centro2 y compara con centro1. Explica por qué este traslado exacto no autoriza trasladar sin datos los coeficientes de una función general.
21.40. Muestras y datos que no determinan otra salida
Prueba que\(P(h)+A h^{n+1}\prod_{j=1}^m(h-h_j)^2\) conserva datos centrales hasta orden\(n\) y valores en muestras no nulas\(h_j\). Muestra que en otra entrada\(h_*\ne0\) distinta de ellas puede imponerse cualquier salida.