Capítulo 22 — Partir, refinar, acumular
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Para acumular los valores de una función en un intervalo, podemos dividirlo en piezas, escoger una altura en cada una y sumar los productos de altura por anchura. El resultado depende de las piezas y de las alturas elegidas. Antes de llamarlo integral necesitamos precisar qué significa hacer pequeñas todas las piezas y cómo controlar el efecto de esas elecciones. Las primeras garantías procederán de identidades entre sumas finitas.
C01–C03 aportan naturales, orden real y arquimedianidad; funciones, inducción y sumas finitas son interfaces heredadas. La integral elemental externa motiva y no se usa para demostrar. C23 reserva Darboux y sus equivalencias; C24 el teorema fundamental.
22.1. Un intervalo convertido en datos finitos
Fijemos reales \(a<b\). Una partición es una lista finita estrictamente creciente
\[P=(x_0,\ldots,x_n),\qquad a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,\quad n\ge1.\]
La lista representa una función tipada del segmento natural \(\{0,\ldots,n\}\) a \([a,b]\), junto con su longitud. El índice es natural, el nodo y la anchura son reales. La colección de tales objetos es un conjunto: sus grafos viven en el conjunto potencia de \(\mathbb N\times[a,b]\); separar los grafos tipados y las listas que cumplen las condiciones da las particiones. Es no vacía porque \((a,b)\) es una partición.
Para \(1\le i\le n\), llamamos \(I_i=[x_{i-1},x_i]\) y \(\Delta_i=x_i-x_{i-1}>0\). La inducción que añade una diferencia al final prueba la telescopía
\[\sum_{i=1}^n\Delta_i=b-a.\]
En el paso, \((x_n-a)+(x_{n+1}-x_n)=x_{n+1}-a\); no hay suma infinita. Además, estos intervalos cubren \([a,b]\). Si \(t<b\), el menor índice \(j\) con \(t<x_j\) existe en un conjunto natural finito no vacío; entonces \(x_{j-1}\le t<x_j\). Si \(t=b\), usamos el último intervalo. Dos interiores distintos son disjuntos; intervalos consecutivos comparten un nodo. No llamamos disjuntos a los intervalos cerrados.
Para una representación como piezas disjuntas se puede usar \([a,x_1]\) y \((x_{i-1},x_i]\) para \(i\ge2\). Más adelante distinguiremos el reparto de nodos de la longitud de las piezas. En \([0,1]\), la lista \((0,1/4,1)\) tiene anchuras \(1/4,3/4\), no dos partes iguales.
La longitud \(b-a\) es un dato algebraico demostrado. Un dibujo de rectángulos ayuda a reconocerla, pero aquí no presupone una noción de área para regiones curvas. Los intervalos degenerados y la orientación inversa quedan fuera de este contrato inicial.
![En [0,1], P=(0,1/4,1) tiene anchuras1/4 y3/4, suma1. Los cerrados vecinos comparten1/4; sus interiores son disjuntos.](../../assets/books/anm/C22/C22-F01.svg)
Ejercicios de la sección 22.1
Ejercicio 1. Lista o dibujo
Decide cuáles de \((0,1/2,1)\), \((0,1/2,1/2,1)\) y \((0,3/4,1/4,1)\) son particiones de \([0,1]\).
Ver solución del ejercicio 1
La lista \((0,1/2,1)\) cumple \(0<1/2<1\) y conserva los dos extremos, así es una partición. En \((0,1/2,1/2,1)\) aparece una comparación de igualdad y la anchura correspondiente es cero. La tercera lista tiene \(3/4>1/4\), por lo que deja de crecer y produce una anchura negativa. Sólo la primera satisface todas las condiciones del contrato.
Ejercicio 2. Longitudes que telescopan
Calcula anchuras de \(P=(-1,-1/4,1/2,2)\) y demuestra la suma general por inducción.
Ver solución del ejercicio 2
Las anchuras son \(-1/4-(-1)=3/4\), \(1/2-(-1/4)=3/4\) y \(2-1/2=3/2\). Su suma vale \(3=2-(-1)\). Para una pieza, la suma general es \(x_1-x_0\). Si hasta la pieza \(r\) vale \(x_r-x_0\), añadir \(x_{r+1}-x_r\) deja \(x_{r+1}-x_0\). La inducción finita prueba la identidad de longitudes para cualquier partición.
Retorno visual. Véase C22-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 3. Una entrada en su pieza
Para la partición del ejercicio anterior localiza \(t=0\) y \(t=2\); demuestra la cobertura general.
Ver solución del ejercicio 3
Cero queda en \([-1/4,1/2]\), la segunda pieza, y dos en \([1/2,2]\), la última. Para una entrada \(t<b\), el conjunto de índices con \(t<x_j\) es no vacío porque contiene a \(n\). Su mínimo \(j\) es positivo y la minimalidad da \(x_{j-1}\le t<x_j\). Para \(t=b\) se usa directamente la última pieza, existente porque \(n\ge1\). Así todo el segmento queda cubierto.
Ejercicio 4. Cerrar no es separar
Explica el solapamiento de piezas cerradas y construye una cobertura disjunta para \((0,1/3,2/3,1)\).
Ver solución del ejercicio 4
Las piezas cerradas comparten sus nodos interiores: un tercio está en las dos primeras y dos tercios en las dos últimas. Una cobertura disjunta es \([0,1/3]\), \((1/3,2/3]\) y \((2/3,1]\). Los nodos compartidos se asignan ahora a una sola pieza y las demás entradas conservan su ubicación. La unión sigue siendo \([0,1]\) y las longitudes son las mismas.
Ejercicio 5. El tipo de los objetos
Describe una codificación de todas las particiones como conjunto y exhibe un elemento.
Ver solución del ejercicio 5
Una partición puede codificarse por \((n,p)\), donde \(n\in\mathbb N\), \(n\ge1\) y \(p:\{0,\ldots,n\}\to[a,b]\). Los grafos de esas funciones pertenecen al conjunto \(\mathcal P(\mathbb N\times[a,b])\), así un ambiente para los códigos es \(\mathbb N\times\mathcal P(\mathbb N\times[a,b])\). Separar los códigos con extremos \(p(0)=a\), \(p(n)=b\) y crecimiento estricto define el conjunto de particiones. El código con \(n=1\) y valores \(a,b\) pertenece a él porque \(a<b\).
22.2. Refinar conservando los cortes
Escribimos \(V(P)=\{x_0,\ldots,x_n\}\). La relación \(P\preceq Q\) significa \(V(P)\subseteq V(Q)\): el miembro derecho conserva todos los cortes antiguos. Admitimos igualdad; un refinamiento propio exige inclusión propia. Reflexividad y transitividad vienen de inclusión. Si hay inclusión en ambas direcciones, las listas estrictamente ordenadas del mismo conjunto finito coinciden: su primer nodo es el mínimo y se repite este argumento en el conjunto restante. Así tenemos antisimetría.
Para insertar \(t\in(a,b)\setminus V(P)\), tomamos el menor \(j\) con \(t<x_j\). La minimalidad y \(t\ne x_{j-1}\) dan \(x_{j-1}<t<x_j\). La nueva lista copia los nodos anteriores a \(j\), coloca \(t\) en \(j\) y desplaza una posición los demás. Sus únicas nuevas comparaciones son \(x_{j-1}<t<x_j\); conserva extremos y es estricta. Divide una anchura en dos cuya suma es la antigua:
\[(t-x_{j-1})+(x_j-t)=x_j-x_{j-1}.\]
Insertar un nodo ya presente no modifica la lista. Repetir un nodo produciría una anchura cero y violaría la definición.
Dos particiones pueden tener cortes diferentes, de modo que ninguna refine a la otra. Para compararlas conservaremos todos los nodos de ambas. Recorremos la lista de \(Q\) e insertamos en \(P\) cada nodo que aún no aparezca. El procedimiento de inserción anterior y una inducción finita construyen una partición \(R\) con \(V(R)=V(P)\cup V(Q)\). Por construcción \(P\preceq R\) y \(Q\preceq R\). Si otra partición \(S\) refina a ambas, contiene todos los nodos de la unión y por ello \(R\preceq S\). Así obtenemos el menor refinamiento común mediante un número finito de inserciones.
Por ejemplo, \((0,1/2,1)\) y \((0,1/3,2/3,1)\) tienen refinamiento común \((0,1/3,1/2,2/3,1)\). Sus cuatro anchuras son \(1/3,1/6,1/6,1/3\). Refinar no quiere decir desplazar los cortes a posiciones aparentemente más regulares: reemplazar \(1/2\) por \(1/3\) pierde un nodo.
Ejercicios de la sección 22.2
Ejercicio 6. Insertar sin repetir
Inserta \(t=2/5\) en \((0,1/4,3/4,1)\); identifica las dos anchuras nuevas.
Ver solución del ejercicio 6
Las desigualdades \(1/4<2/5<3/4\) localizan la inserción en la segunda pieza. La nueva lista es \((0,1/4,2/5,3/4,1)\). Sus dos anchuras nuevas son \(2/5-1/4=3/20\) y \(3/4-2/5=7/20\), ambas positivas y con suma \(1/2\). Las otras dos anchuras siguen siendo \(1/4\). Se conserva cada corte antiguo y se añade una pieza.
Ejercicio 7. La unión que compara
Construye el menor refinamiento común de \((0,1/2,1)\) y \((0,1/3,2/3,1)\) y justifica minimalidad.
Ver solución del ejercicio 7
La unión de nodos ordenada es \((0,1/3,1/2,2/3,1)\). Contiene ambas listas originales, por lo que las refina. Cualquier refinamiento común debe contener cada nodo de una u otra y por tanto esta unión; de ahí que sea el menor. Las anchuras son \(1/3,1/6,1/6,1/3\), todas positivas y con suma uno.
Retorno visual. Véase C22-F02, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 8. Un nodo antiguo
Explica por qué insertar \(1/2\) en \((0,1/2,1)\) no añade una pieza válida.
Ver solución del ejercicio 8
El punto medio ya pertenece al conjunto de nodos. Insertar una segunda copia produciría dos coordenadas consecutivas iguales y anchura cero. La inserción válida deja la lista \((0,1/2,1)\) como estaba. Su conjunto ordenado de nodos no contiene una nueva pieza.
Ejercicio 9. Orden de resolución
Demuestra reflexividad, transitividad y antisimetría de \(\preceq\).
Ver solución del ejercicio 9
Reflexividad y transitividad proceden de las mismas propiedades de inclusión de conjuntos de nodos. Para antisimetría, \(P\preceq Q\) y \(Q\preceq P\) implican \(V(P)=V(Q)\). Un conjunto finito de reales tiene una única lista estrictamente creciente: su primera entrada es el mínimo y, al retirarla, la inducción determina las restantes. Así las listas y sus longitudes coinciden y \(P=Q\).
Ejercicio 10. Mover no es añadir
Compara \((0,1/2,1)\) y \((0,1/3,2/3,1)\) bajo refinamiento; explica cómo corregir la comparación.
Ver solución del ejercicio 10
La segunda lista no contiene el nodo \(1/2\) y la primera no contiene \(1/3\) ni \(2/3\). Ninguna conserva todos los nodos de la otra, así son incomparables bajo refinamiento. Su unión ordenada sí da un refinamiento común. Mover un corte o comparar sólo el número de piezas no sustituye la inclusión requerida.
22.3. La malla mide el peor intervalo
La malla es el máximo finito de las anchuras positivas:
\[\|P\|=\max_{1\le i\le n}\Delta_i.\]
Ese máximo existe por inducción finita: comparar el siguiente real con el máximo anterior. Se cumplen \(0<\|P\|\le b-a\) y \(b-a\le n\|P\|\), donde \(n\) en la última expresión significa su copia real. Por tanto \(\|P\|\ge(b-a)/n\).
Si \(P\preceq Q\), cada pieza de \(Q\) queda dentro de alguna pieza de \(P\). En efecto, entre dos nodos consecutivos de \(Q\) no puede haber un nodo antiguo: también sería de \(Q\) y contradiría que los extremos son consecutivos. Localizando el extremo izquierdo se identifica, pues, una pieza antigua que contiene toda la nueva. Su anchura no supera la del padre, y tomar máximos da \(\|Q\|\le\|P\|\). La desigualdad puede ser una igualdad aun en un refinamiento propio: basta dejar sin dividir una pieza que conserve la anchura máxima.
Para conseguir una malla menor que un radio dado \(\delta>0\), repartimos la longitud en partes iguales. La partición uniforme \(U_n\) tiene nodos \(a+(b-a)i/n\) y malla \((b-a)/n\). La arquimedianidad de C03 proporciona un natural \(n>(b-a)/\delta\); es positivo y permite dividir para obtener \(\|U_n\|<\delta\). Si también debemos conservar una partición ya fijada, tomamos su refinamiento común con \(U_n\). Como refina a la uniforme, su malla sigue siendo menor que \(\delta\).
Contar intervalos no basta. En \([0,1]\) podemos conservar \([0,1/2]\) y dividir \([1/2,1]\) en \(m\) piezas iguales. Hay \(m+1\) piezas, pero la malla es siempre \(1/2\). Repetir este refinamiento con \(m=2^k\) da una cadena anidada cuyo número de piezas crece sin que la malla tienda a cero. La resolución requerida es global sobre todas las piezas, no sólo sobre la región donde se añadieron cortes.
Ejercicios de la sección 22.3
Ejercicio 11. Máximo o promedio
Calcula malla y anchura media de \((0,1/4,1)\); demuestra \((b-a)/n\le\|P\|\).
Ver solución del ejercicio 11
Las anchuras son \(1/4\) y \(3/4\), por lo que la malla es \(3/4\) y el promedio \(1/2\). En general, cada \(\Delta_i\le\|P\|\). Sumar las \(n\) desigualdades y usar telescopía da \(b-a\le n\|P\|\). La copia real de \(n\ge1\) es positiva, y dividir entrega \((b-a)/n\le\|P\|\).
Ejercicio 12. Cada hija tiene padre
Demuestra que \(P\preceq Q\) implica \(\|Q\|\le\|P\|\).
Ver solución del ejercicio 12
Sean \(u<v\) dos nodos consecutivos de \(Q\). Ningún nodo de \(P\) puede quedar estrictamente entre ellos, pues también sería nodo de \(Q\). Por ello la pieza \([u,v]\) está contenida en algún padre de \(P\). Su anchura no supera la del padre, que a su vez no supera \(\|P\|\). Tomar el máximo de todas las anchuras nuevas da \(\|Q\|\le\|P\|\).
Retorno visual. Véase C22-F03, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 13. Más piezas, mismo defecto
Construye una cadena de refinamientos de \([0,1]\) con número de piezas creciente y malla1/2.
Ver solución del ejercicio 13
Para \(k\ge0\) tomamos los nodos cero, un medio y \(1/2+j/2^{k+1}\) para \(1\le j\le2^k\). Los nuevos cortes sólo subdividen la mitad derecha y los cortes anteriores se conservan. La mitad izquierda sigue siendo una pieza de anchura \(1/2\), mientras todas las derechas miden \(1/2^{k+1}\le1/2\). La malla es siempre \(1/2\), aunque el número de piezas \(2^k+1\) crece sin cota.
Ejercicio 14. Resolución prescrita
Construye una partición de \([-1,2]\) con malla estrictamente menor que1/10.
Ver solución del ejercicio 14
El segmento tiene longitud tres. Una uniforme de treinta y una piezas tiene nodos \(x_i=-1+3i/31\) y anchura \(3/31<1/10\). Su lista es estrictamente creciente y va de menos uno a dos. Con treinta piezas se obtendría malla exactamente \(1/10\), insuficiente para el pedido estricto.
Ejercicio 15. Conservar y mejorar
Dada \(P\) y \(\delta>0\), prueba que hay un refinamiento de \(P\) de malla menor que \(\delta\).
Ver solución del ejercicio 15
Arquimedianidad da un natural \(n>(b-a)/\delta\), y la uniforme \(U_n\) cumple \(\|U_n\|<\delta\). Formamos el refinamiento común \(R\) con los nodos de \(P\) y \(U_n\). Conserva todos los cortes de \(P\) y su malla no supera la de \(U_n\). Por tanto \(P\preceq R\) y \(\|R\|<\delta\).
22.4. Etiquetas y acumulación firmada
Una partición etiquetada es \((P,\xi)\), con un dato real \(\xi_i\in[x_{i-1},x_i]\) por cada pieza. La familia de etiquetas es una función de índices, no un conjunto que olvide cuál corresponde a cada pieza. Un nodo compartido puede etiquetar las dos piezas vecinas; no hay prohibición de repetir etiquetas. Existen etiquetas explícitas: extremos izquierdos, derechos o puntos medios.
Para \(f:[a,b]\to\mathbb R\) definimos la suma finita
\[S(f;P,\xi)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta_i.\]
Cada altura se evalúa dentro del dominio. La suma existe incluso si \(f\) no es acotada, pues se evalúa sólo un número finito de valores reales; eso no garantiza control uniforme de todas las sumas. Para \(f\equiv c\), telescopía da \(S=c(b-a)\) para cualquier partición y etiquetas. Alturas negativas producen contribuciones negativas: la suma es acumulación firmada, no área geométrica siempre positiva.
Por distributividad de sumas finitas,
\[S(\alpha f+\beta g;P,\xi)=\alpha S(f;P,\xi)+\beta S(g;P,\xi).\]
Si \(f\le g\) en todo el intervalo, la positividad de cada anchura da \(S(f;P,\xi)\le S(g;P,\xi)\). Se comparan la misma partición y las mismas etiquetas; cambiar esos datos puede cambiar el orden. Si \(|f|\le M\), la triangular da \(|S(f;P,\xi)|\le M(b-a)\), sin que \(f\) alcance su cota.
Para \(f(x)=x\) en \([0,1]\), \(P=(0,1/2,1)\) tiene sumas izquierda \(1/4\), media \(1/2\) y derecha \(3/4\). Para \(f(x)=2x-1\), las mismas etiquetas producen \(-1/2,0,1/2\). La cancelación de la suma media no borra las dos contribuciones de distinto signo.
![Para x en[0,1], dos piezas iguales dan sumas izquierda1/4, media1/2 y derecha3/4. Alturas etiquetadas, anchuras y valores se distinguen.](../../assets/books/anm/C22/C22-F04.svg)
Ejercicios de la sección 22.4
Ejercicio 16. Lineal con tres etiquetas
Para \(f(x)=x\) y \((0,1/2,1)\) calcula sumas izquierda, media y derecha.
Ver solución del ejercicio 16
Las dos anchuras son \(1/2\). Las etiquetas izquierdas \((0,1/2)\) dan \(0\cdot1/2+(1/2)\cdot1/2=1/4\). Las medias \((1/4,3/4)\) dan \(1/2\), y las derechas \((1/2,1)\) dan \(3/4\). La función y partición son las mismas; sólo cambia la familia de alturas. Estas sumas finitas todavía no son iguales entre sí.
Ejercicio 17. Acumular con signo
Para \(f(x)=2x-1\) y la misma partición calcula las tres sumas y explica la cancelación media.
Ver solución del ejercicio 17
Para \(2x-1\), las alturas izquierdas son menos uno y cero, las medias menos un medio y un medio, y las derechas cero y uno. Ponderar cada pareja por las anchuras \(1/2\) produce sumas \(-1/2\), cero y \(1/2\). En la media se cancelan contribuciones \(-1/4\) y \(1/4\). El resultado describe acumulación firmada; las magnitudes geométricas de ambas regiones no se cancelarían.
Retorno visual. Véase C22-F04, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 18. Álgebra de una suma
Demuestra linealidad y preservación de orden con partición y etiquetas fijas.
Ver solución del ejercicio 18
Con partición y etiquetas fijas, sustituimos \((\alpha f+\beta g)(\xi_i)=\alpha f(\xi_i)+\beta g(\xi_i)\). La distributividad de sumas finitas da \(S(\alpha f+\beta g)=\alpha S(f)+\beta S(g)\). Si \(f\le g\), cada término \((g(\xi_i)-f(\xi_i))\Delta_i\) es no negativo porque la anchura es positiva. Sumar prueba \(S(f)\le S(g)\).
Ejercicio 19. Compartir una etiqueta
En \((0,1/2,1)\) usa la etiqueta1/2 para ambas piezas. ¿Es válida? Calcula la suma de \(x^2\).
Ver solución del ejercicio 19
La etiqueta \(1/2\) pertenece tanto a \([0,1/2]\) como a \([1/2,1]\), así es válida en ambas. Para el cuadrado, ambas alturas valen \(1/4\). La suma es \((1/4)(1/2)+(1/4)(1/2)=1/4\). Las etiquetas siguen siendo dos datos indexados aunque coincida su coordenada.
Ejercicio 20. Cota sin máximo
Si \(-2\le f\le3\) en \([-1,2]\), acota todas las sumas y su valor absoluto.
Ver solución del ejercicio 20
La longitud de \([-1,2]\) es tres. Comparar las alturas con constantes da \(-2\cdot3\le S\le3\cdot3\), es decir \(-6\le S\le9\). La triangular y \(|f|\le3\) dan además \(|S|\le9\). Las barreras protegen todas las entradas sin exigir que exista un argumento de máximo o mínimo.
22.5. Lo que un cambio de etiquetas puede alterar
En una partición fija, dos familias \(\xi,\eta\) cumplen
\[|S(f;P,\xi)-S(f;P,\eta)| \le\sum_i |f(\xi_i)-f(\eta_i)|\Delta_i.\]
Al restar las sumas con la misma partición, las anchuras coinciden término a término. La desigualdad triangular da entonces la fórmula. Si para cada pieza disponemos de un número \(d_i\ge0\) que acota \(|f(s)-f(t)|\) para todos \(s,t\in I_i\), podemos sustituir esas cotas y obtener el certificado \(\sum_i d_i\Delta_i\). Basta que sean barreras válidas; no exigimos que se alcancen ni que sean las mejores posibles. La oscilación exacta se construirá con supremos en C23.
Si \(f\) es Lipschitz con constante dada \(L\ge0\), entonces \(|f(s)-f(t)|\le L|s-t|\) en todo el intervalo. Como las dos etiquetas de una pieza distan a lo sumo \(\Delta_i\),
\[|S(f;P,\xi)-S(f;P,\eta)|\le L\sum_i\Delta_i^2 \le L\|P\|(b-a).\]
Se ha demostrado independencia progresiva de etiquetas sobre una partición; aún no existencia de un número límite para todas las particiones.
La misma idea permite comparar una partición con un refinamiento \(Q\). Dentro de cada padre \(I_i\), las anchuras de las piezas hijas \(J\) suman \(\Delta_i\). Podemos por ello escribir su contribución antigua como \(\sum_{J\subset I_i}f(\xi_i)|J|\) y restar las nuevas contribuciones. Las dos alturas se evalúan en el mismo padre, así que su diferencia absoluta es a lo sumo \(L\Delta_i\le L\|P\|\). Multiplicar por \(|J|\) y sumar todas las hijas deja como longitud total \(b-a\). Resulta
\[|S(f;Q,\eta)-S(f;P,\xi)|\le L\|P\|(b-a).\]
Para comparar \(P,Q\) arbitrarias, las llevamos a su refinamiento común \(R\) y elegimos allí etiquetas explícitas, por ejemplo los extremos izquierdos. El error entre cada suma original y la de \(R\) está controlado por la malla de su propia partición. La triangular da así \(L(b-a)(\|P\|+\|Q\|)\). Una sola familia de etiquetas en un refinamiento finito basta para esta comparación.
No hay monotonía general de sumas etiquetadas al refinar. Para \(f(x)=x\), la partición trivial etiquetada en \(1/2\) da \(1/2\); el refinamiento en mitades con etiquetas izquierdas da \(1/4\) y con derechas \(3/4\). Malla decreciente y orden de valores son asuntos distintos.
Ejercicios de la sección 22.5
Ejercicio 21. Etiquetas que cambian
Demuestra la cota de diferencia de etiquetas y aplícala a \(f(x)=x\) en una partición de \([0,1]\).
Ver solución del ejercicio 21
Restar sumas con las mismas anchuras da \(S_\xi-S_\eta=\sum_i(f(\xi_i)-f(\eta_i))\Delta_i\). Por triangular, su magnitud no supera \(\sum_i|f(\xi_i)-f(\eta_i)|\Delta_i\). Para la identidad, cada diferencia es \(|\xi_i-\eta_i|\le\Delta_i\). En \([0,1]\) resulta \(|S_\xi-S_\eta|\le\sum_i\Delta_i^2\le\|P\|\), porque las anchuras suman uno.
Ejercicio 22. De muestras a todas las entradas
Explica por qué dos alturas casi iguales no proporcionan una cota local universal.
Ver solución del ejercicio 22
En una pieza de longitud positiva tomamos dos entradas muestreadas y una tercera distinta. Una función puede valer cero en las dos primeras y una altura \(H\) arbitrariamente grande en la tercera. Las muestras coinciden exactamente, pero usar la tercera como etiqueta cambia su contribución en \(H\) por la anchura. La cota local que protege cualquier etiqueta debe limitar todas las parejas de entradas de la pieza.
Ejercicio 23. Comparar con hijas
Prueba la cota \(L\|P\|(b-a)\) entre una suma sobre \(P\) y otra sobre un refinamiento bajo Lipschitz.
Ver solución del ejercicio 23
En cada padre \(I_i\), las anchuras de sus hijas suman \(\Delta_i\). Reescribimos la contribución antigua como \(\sum_{J\subseteq I_i}f(\xi_i)|J|\). La etiqueta de cada hija y la antigua están en ese padre, de modo que Lipschitz limita su diferencia de alturas por \(L\Delta_i\). Ponderar por las longitudes hijas y sumar da \(L\Delta_i^2\). Finalmente, la triangular entrega \(|S_P-S_Q|\le L\sum_i\Delta_i^2\le L\|P\|(b-a)\).
Ejercicio 24. Una suma puede ir a ambos lados
Da dos sumas de un mismo refinamiento que estén a ambos lados de la suma media1/2 de \(x\) en la partición trivial.
Ver solución del ejercicio 24
La partición trivial \((0,1)\) con etiqueta media produce suma \(1/2\) para la identidad. En el refinamiento \((0,1/2,1)\), las etiquetas izquierdas producen \(1/4\) y las derechas \(3/4\). Una queda por debajo y otra por encima de la suma antigua. Refinar conserva cortes, pero no decide un sentido de cambio para sumas etiquetadas.
Retorno visual. Véase C22-F05, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 25. Dos resoluciones distintas
Si \(f\) es Lipschitz3 en \([0,2]\) y las mallas de \(P,Q\) son≤1/10 y≤1/20, acota cualquier diferencia de sus sumas.
Ver solución del ejercicio 25
Tomamos el refinamiento común y una familia explícita de etiquetas en él, por ejemplo las izquierdas. Cada suma original se compara con esa tercera usando su malla y la barrera Lipschitz tres. La triangular da \(|S_P-S_Q|\le3\cdot2(\|P\|+\|Q\|)\le6(1/10+1/20)=9/10\). La cota protege todas las etiquetas originales y no identifica todavía un valor integral.
22.6. Escalones: exactitud finita y nodos excepcionales
Un modelo escalonado tiene nodos \(a=z_0<\cdots<z_m=b\) y valores \(c_j\) constantes en cada interior \((z_{j-1},z_j)\). En los nodos permite valores reales dados, distintos de los vecinos. Definimos su acumulación elemental
\[A(s)=\sum_{j=1}^m c_j(z_j-z_{j-1}).\]
Insertar un corte dentro de una pieza reparte su anchura y copia la misma constante en las dos hijas, por lo que conserva \(A\). Si dos representaciones describen la misma función en los interiores, pasamos a su refinamiento común. Cada interior hijo contiene su punto medio y está dentro de un interior de cada representación. Evaluar allí la función identifica las dos constantes; sumar las contribuciones de las hijas muestra que ambas representaciones dan el mismo \(A\). Los valores en los nodos pueden ser excepcionales, pero esos puntos no añaden ninguna anchura a la suma definida.
No confundamos ese funcional con cualquier suma etiquetada. Si una partición respeta los cortes y sus etiquetas evitan los nodos, la suma es exactamente \(A\). Si una etiqueta cae en un nodo cuyo valor es excepcional, puede perder esa igualdad.
Más generalmente, si \(f,g\) sólo difieren en \(k\) puntos y \(|f-g|\le D\), una etiqueta que no esté en esos puntos da diferencia cero. Cada punto puede pertenecer a lo sumo a dos piezas cerradas de una partición. Por ello
\[|S(f;P,\xi)-S(g;P,\xi)|\le2kD\|P\|.\]
La cuenta puede sobreestimar, y en extremos sólo interviene una pieza; es una cota suficiente. Para \(k=0\) es cero.
Para controlar también particiones que no respetan los cortes del escalón, sea \(B\ge0\) una cota de todos sus valores, incluidas las excepciones. Refinamos \(P\) con la representación del escalón y asignamos a cada hija su constante interior; esta suma vale \(A\). Un padre cerrado que no toca ningún nodo del escalón tiene altura constante y su contribución no cambia. Sólo debemos estimar los padres que tocan algún nodo. Cada uno de los \(m+1\) nodos pertenece a lo sumo a dos padres, cada padre tiene longitud a lo sumo \(\|P\|\) y cada diferencia de alturas es a lo sumo \(2B\). Aunque esta cuenta repita algún padre, proporciona la barrera suficiente
\[|S(s;P,\xi)-A(s)|\le4B(m+1)\|P\|.\]
Es un certificado conservador válido para cualquier partición y etiquetas; no se invoca una integral previa.
Ejercicios de la sección 22.6
Ejercicio 26. Un escalón firmado
Sea \(s=2\) en \((0,1/3)\) y \(s=-1\) en \((1/3,1)\) con valores nodales arbitrarios. Calcula \(A\) y prueba invariancia por una inserción.
Ver solución del ejercicio 26
La acumulación es \(A=2(1/3)+(-1)(2/3)=0\). Insertar un corte \(t\) dentro de una región constante de altura \(c\) conserva su contribución porque \(c(t-u)+c(v-t)=c(v-u)\). Las demás regiones quedan intactas. Los valores nodales arbitrarios no aparecen en esta fórmula; su efecto sobre sumas etiquetadas se controla por otro argumento.
Ejercicio 27. Una etiqueta excepcional
Para la función cero salvo \(s(1/2)=10\), toma \((0,1/2,1)\) con ambas etiquetas en1/2. Compara \(S\) y \(A\).
Ver solución del ejercicio 27
Las dos etiquetas iguales a un medio leen la altura excepcional diez. Con anchuras medias, \(S=10/2+10/2=10\). Las constantes interiores de ambos lados son cero y su acumulación \(A\) es cero. Esta diferencia pertenece a una suma concreta de malla \(1/2\); al reducir la malla el certificado limita cuánto pueden pesar etiquetas excepcionales.
Retorno visual. Véase C22-F06, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 28. Dos piezas por punto
Prueba la cota \(2kD\|P\|\) para funciones que sólo difieren en \(k\) puntos y \(|f-g|\le D\).
Ver solución del ejercicio 28
Un término sólo cambia si su etiqueta es alguno de los \(k\) puntos modificados. Cada punto pertenece como máximo a dos piezas cerradas, así hay a lo sumo \(2k\) términos afectados. Cada uno tiene magnitud a lo sumo \(D\Delta_i\le D\|P\|\). La triangular da \(|S_f-S_g|\le2kD\|P\|\). Si \(k=0\) o \(D=0\), las sumas coinciden.
Ejercicio 29. Sin alinear los cortes
Demuestra el certificado \(4B(m+1)\|P\|\) para un escalón con \(m\) piezas y \(|s|\le B\).
Ver solución del ejercicio 29
Refinamos \(P\) añadiendo los \(m+1\) nodos del escalón y calculamos \(A\) con sus constantes interiores en las piezas hijas. Un padre que no toca esos nodos queda dentro de una región constante y aporta exactamente lo mismo que sus hijas. Los padres restantes son a lo sumo \(2(m+1)\) y su longitud total no supera \(2(m+1)\|P\|\). En cada uno, la diferencia entre su altura y cualquier altura hija no supera \(2B\). Ponderar y sumar produce \(|S-A|\le4B(m+1)\|P\|\), aun si el recuento repite algún padre.
Ejercicio 30. Representación duplicada
Representa la constante3 en \([0,2]\) con una pieza y con cortes1/2 y3/2; demuestra que ambas acumulaciones valen6.
Ver solución del ejercicio 30
Una única pieza de longitud dos y altura tres aporta seis. Con cortes \(1/2\) y \(3/2\), las anchuras son \(1/2\), uno y \(1/2\), y las contribuciones \(3/2\), tres y \(3/2\) suman seis. La identidad de longitudes explica esta igualdad para cualquier subdivisión de una región constante. Dos representaciones generales se comparan mediante su refinamiento común.
22.7. Un límite que todas las etiquetas deben compartir
Una función \(f:[a,b]\to\mathbb R\) es integrable de Riemann si existe un real \(I\) tal que
\[\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall(P,\xi): \quad \|P\|<\delta\ \Longrightarrow\ |S(f;P,\xi)-I|<\varepsilon.\]
El radio puede depender de \(f,[a,b]\) y \(\varepsilon\), pero se elige antes de la partición y de todas sus etiquetas. Denotamos ese real por \(\int_a^b f(x)\,dx\). Es una definición mediante sumas finitas y tolerancias; la notación no afirma una antiderivada ni integra infinitesimales. Que se vea área en una figura es interpretación, no existencia automática.
Para probar unicidad, supongamos que dos reales \(I,J\) cumplen el contrato y que \(d=|I-J|>0\). Pedimos error menor que \(d/3\) a ambos. La construcción de §22.3 permite tomar una partición uniforme con malla menor que los dos radios; fijamos en ella etiquetas explícitas. Su suma queda a distancia menor que \(d/3\) de cada candidato. La triangular daría entonces \(d<2d/3\), contradicción. La existencia de particiones pequeñas es esencial: permite usar las dos garantías sobre una misma suma.
Si un certificado demostrado tiene forma \(|S-I|\le C\|P\|\) para todas las particiones y etiquetas, con \(C\ge0\), la definición se cumple: para \(C>0\) tomamos \(\delta=\varepsilon/C\) y para \(C=0\) cualquier radio positivo. Por la sección anterior, los escalones son integrables y su integral es \(A\). La cota de diferencias en \(k\) puntos prueba que cambiar valores finitos conserva cualquier integral existente: para \(2kD>0\) escogemos además \(\|P\|<\varepsilon/(4kD)\) y pedimos error \(\varepsilon/2\) al original; los casos de constante cero se separan.
El límite de una selección de sumas es consecuencia, no sustituto del contrato. Si \(\|P_r\|\to0\) y cada \(\xi^{(r)}\) es una familia dada, integrabilidad implica \(S(f;P_r,\xi^{(r)})\to I\): para un \(\delta\) válido, las mallas eventualmente quedan por debajo. Observar sólo una familia de etiquetas o una cadena de refinamientos no controla las demás. En particular, contar piezas no demuestra ni siquiera que sus mallas tiendan a cero.
Estos certificados dan existencia para escalones y para las modificaciones finitas de una función ya integrable. Todavía falta un procedimiento que decida la integrabilidad de clases más amplias, como las funciones continuas. Las cotas inferiores y superiores de Darboux proporcionarán ese procedimiento en C23; la relación con la derivación requerirá después el teorema fundamental de C24.
![Para x en[0,1], todas las sumas cumplen |S−1/2|≤malla/2. Con tolerancia1/20, un radio1/10 sirve; se exige malla estrictamente menor. Las muestras sólo ilustran la banda universal demostrada.](../../assets/books/anm/C22/C22-F07.svg)
Ejercicios de la sección 22.7
Ejercicio 31. El orden de los cuantificadores
Escribe el contrato de integral y explica qué falla si el radio se permite depender de una partición ya elegida.
Ver solución del ejercicio 31
El contrato pide un real \(I\) tal que para cada \(\varepsilon>0\) exista \(\delta>0\) y para toda partición etiquetada con \(\|P\|<\delta\) se cumpla \(|S-I|<\varepsilon\). Si se permite elegir el radio después de una partición particular, puede tomarse \(\delta\le\|P\|\) y dejar falsa la premisa de esa implicación. Ese truco no controla las particiones realmente finas. El radio debe responder a la tolerancia antes de examinar cualquier partición o etiqueta.
Ejercicio 32. Un valor único
Demuestra unicidad del valor integral incluyendo una partición que satisfaga los dos radios.
Ver solución del ejercicio 32
Si \(I\ne J\), fijamos \(d=|I-J|>0\) y obtenemos radios para error \(d/3\) de ambos contratos. Arquimedianidad da una uniforme de malla menor que su mínimo. Con etiquetas izquierdas explícitas, su suma \(S\) cumple ambos errores. La triangular da \(d\le|I-S|+|S-J|<2d/3\), contradicción. La partición construida muestra que la prueba aplica a una suma existente.
Ejercicio 33. Un radio efectivo
Si todas las sumas cumplen \(|S-I|\le5\|P\|\) en \([0,1]\), produce radio para tolerancia1/100 y número uniforme suficiente.
Ver solución del ejercicio 33
La barrera cinco pide malla estrictamente menor que \((1/100)/5=1/500\). Por ello sirve radio \(\delta=1/500\). Una uniforme de quinientas una piezas en \([0,1]\) tiene malla \(1/501<\delta\) y garantiza el desafío. Con quinientas, la cota sólo daría error menor o igual que \(1/100\), insuficiente para garantizar estrictitud.
Retorno visual. Véase C22-F07, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Ejercicio 34. Cambiar finitos valores
Si \(f\) es integrable y \(g\) difiere sólo en \(k\) puntos por diferencias≤\(D\), demuestra misma integral.
Ver solución del ejercicio 34
Con los mismos datos, \(|S_g-I|\le|S_g-S_f|+|S_f-I|\). Pedimos primero a la integrabilidad de \(f\) un radio para error \(\varepsilon/2\). Si \(kD>0\), la cota de modificación finita queda menor que \(\varepsilon/2\) al exigir además malla menor que \(\varepsilon/(4kD)\). El mínimo de ambos radios protege cualquier suma de \(g\). Si \(kD=0\), las sumas coinciden y basta el primer radio. Así \(g\) cumple el contrato con el mismo \(I\).
Ejercicio 35. De universal a una sucesión
Sea \(\|P_r\|\to0\) con etiquetas dadas. Demuestra convergencia de las sumas si \(f\) es integrable y distingue la recíproca no demostrada.
Ver solución del ejercicio 35
Para una tolerancia \(\varepsilon\), el contrato universal entrega \(\delta>0\). Como las mallas dadas tienden a cero, existe un índice \(N\) desde el que todas son menores que \(\delta\). Sus sumas, con las etiquetas dadas, cumplen entonces \(|S_r-I|<\varepsilon\). Esto prueba convergencia a \(I\). Una sola sucesión de datos no controla por ese argumento las otras particiones y etiquetas cuantificadas por el contrato.
22.8. Certificados antes de fórmulas de integración
Para \(f(x)=x\) en \([a,b]\), el punto medio \(m_i=(x_{i-1}+x_i)/2\) satisface
\[\sum_i m_i\Delta_i=\frac12\sum_i(x_i^2-x_{i-1}^2)=\frac{b^2-a^2}{2}.\]
Como \(|\xi_i-m_i|\le\Delta_i/2\), cualquier suma etiquetada tiene error a lo sumo \((b-a)\|P\|/2\) respecto de ese número. Así queda probada su integral sin antiderivada. Para \(\alpha x+\beta\), distributividad y telescopía producen valor \(\alpha(b^2-a^2)/2+\beta(b-a)\) y cota \(|\alpha|(b-a)\|P\|/2\).
Para \(f(x)=x^2\) en \([0,1]\), pongamos \(u=x_{i-1}\), \(v=x_i\). La identidad del cubo da
\[\frac{v^3-u^3}{3}=(v-u)\frac{u^2+uv+v^2}{3}.\]
Como \(0\le u\le\xi_i\le v\le1\), los números \(u^2,uv,v^2\) y \(\xi_i^2\) quedan entre \(u^2\) y \(v^2\). También la media de los tres primeros está en esa banda. La diferencia entre ella y \(\xi_i^2\) tiene, por tanto, magnitud a lo sumo \(v^2-u^2=(v-u)(v+u)\le2\Delta_i\). Al multiplicar por la anchura y sumar, los incrementos cúbicos de la identidad anterior telescopan y dejan \(1/3\). Obtenemos
\[\left|S(x^2;P,\xi)-\frac13\right|\le2\sum_i\Delta_i^2\le2\|P\|.\]
Existe integral y vale \(1/3\). No hemos usado una regla general de integrar potencias. En la partición uniforme, sumas izquierda/derecha dan valores exactos
\[\frac13-\frac1{2n}+\frac1{6n^2},\qquad \frac13+\frac1{2n}+\frac1{6n^2}.\]
La identidad \(\sum_{i=1}^n i^2=n(n+1)(2n+1)/6\) que los produce se demuestra por inducción: el caso1 es directo; añadir \((n+1)^2\) y factorizar da la expresión con \(n+1\). Las copias reales de índices y \(n>0\) preceden a estas divisiones. Para \(n=4\) los valores son \(7/32\) y \(15/32\), alrededor de \(1/3\). La suma media es \(1/3-1/(12n^2)\); procede de expandir \((i-1/2)^2\) y sumar. Una etiqueta central no da exactitud cuadrática.
Para exigir error menor que \(1/100\), la cota \(2\|P\|\) pide malla menor que \(1/200\). En la partición uniforme basta elegir \(n>200\); cualquier otra partición con esa malla satisface la misma garantía, incluidas todas sus mezclas de etiquetas. Las fórmulas izquierda, derecha y media permiten comparar aproximaciones concretas, mientras el certificado universal es el que demuestra la existencia de la integral.
![Para x² en[0,1], sumas uniformes izquierda/media/derecha se acercan a1/3 por fórmulas finitas. Con n4 valen7/32,21/64,15/32; el certificado2·malla sirve para toda etiqueta, no sólo estas tres.](../../assets/books/anm/C22/C22-F08.svg)
Ejercicios de la sección 22.8
Ejercicio 36. Una integral sin antiderivada
Demuestra integral de \(x\) en \([-1,2]\) usando puntos medios y da certificado.
Ver solución del ejercicio 36
En cada pieza \([u,v]\), la contribución media de la identidad vale \((u+v)(v-u)/2=(v^2-u^2)/2\). La suma telescópica en \([-1,2]\) es \((4-1)/2=3/2\). Cualquier etiqueta dista del medio a lo sumo media anchura, así su error total no supera \((1/2)\sum_i\Delta_i^2\le(3/2)\|P\|\). Para una tolerancia \(\varepsilon\) sirve radio \(2\varepsilon/3\). El contrato prueba integral \(3/2\) sin antiderivadas.
Ejercicio 37. Afín y firmada
Calcula la integral de \(2x-1\) en \([0,1]\) mediante sumas finitas y certificado.
Ver solución del ejercicio 37
La linealidad finita da \(S(2x-1)=2S(x)-1\) en \([0,1]\). El certificado de la identidad ofrece candidato \(1/2\) y error a lo sumo \(\|P\|/2\). Por tanto el nuevo candidato es cero y \(|S(2x-1)|\le\|P\|\). El radio \(\delta=\varepsilon\) satisface el contrato para todas las etiquetas. El valor cero representa una cancelación firmada de contribuciones.
Ejercicio 38. El cubo controla el cuadrado
Prueba el certificado universal de \(x^2\) en \([0,1]\) y su valor integral.
Ver solución del ejercicio 38
En una pieza \([u,v]\subseteq[0,1]\), tanto \(\xi^2\) como \((u^2+uv+v^2)/3\) quedan entre \(u^2\) y \(v^2\). Su diferencia de magnitudes no supera \(v^2-u^2=(v-u)(v+u)\le2(v-u)\). Multiplicar por la anchura compara la contribución etiquetada con \((v^3-u^3)/3\) con error a lo sumo \(2\Delta_i^2\). Los incrementos cúbicos telescopan a \(1/3\) y la triangular da \(|S-1/3|\le2\|P\|\). Para \(\varepsilon>0\), el radio \(\varepsilon/2\) prueba el contrato.
Ejercicio 39. Cuatro piezas no son el límite
Calcula sumas izquierda, derecha y media de \(x^2\) en uniforme de cuatro piezas, justificando las identidades de sumas.
Ver solución del ejercicio 39
Para cuatro piezas, las sumas de bordes son \((0+1+4+9)/64=7/32\) y \((1+4+9+16)/64=15/32\). Las medias producen \((1+9+25+49)/256=21/64\). Las identidades finitas \(\sum_{i=1}^n i=n(n+1)/2\) y \(\sum_{i=1}^n i^2=n(n+1)(2n+1)/6\) se prueban por inducción sumando el término siguiente. Sustituirlas da sumas izquierda \(1/3-1/(2n)+1/(6n^2)\), derecha \(1/3+1/(2n)+1/(6n^2)\) y media \(1/3-1/(12n^2)\). En \(n=4\) esta última difiere de \(1/3\) en \(1/192\). Las tres cuentas son sumas finitas y no el valor límite.
Ejercicio 40. Resolución de una tolerancia
Elige una uniforme que certifique error de \(x^2\) menor que1/100 para todas sus etiquetas; compara con el error de sus puntos medios.
Ver solución del ejercicio 40
La uniforme de doscientas una piezas tiene malla \(1/201\). El certificado universal da error a lo sumo \(2/201<1/100\) para cualquier etiqueta. Las medias de esa misma partición tienen error exacto \(1/(12\cdot201^2)\), mucho menor. Esa mejora depende de usar las medias y no protege una familia arbitraria de etiquetas. La elección de resolución universal utiliza la barrera que sí cubre todas.
Retorno visual. Véase C22-F08, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.