Ejercicios — Capítulo 24
Índice del libro · Capítulo 24 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas están en ANM-C24_SOLUCIONES.md. Declara dominio, sentido de cada derivada, existencia de cada integral y dónde se gasta continuidad. Conserva los bordes de las primitivas y el signo de la orientación.
24.1. Acumular una tasa afín
En \([0,1]\), calcula \(A_f(x)\) para \(f(t)=2t-1\) usando la fórmula por sumas de C22, e identifica sus valores en \(0,1/2,1\).
24.2. Cambiar de origen
Demuestra para una integrable que \(A_{f,c}(x)=A_f(x)-A_f(c)\) para toda entrada, y aplícalo a \(f=1\) con \(c=3/4\) en \([0,1]\).
24.3. Grafo sin selección
Justifica que la relación que define \(A_f\) tiene dominio exacto \([a,b]\) y codominio real, separando el borde.
24.4. Incremento orientado
Prueba \(A_f(y)-A_f(x)=\int_x^y f\) también cuando \(y<x\) y cuando son iguales.
24.5. Acumular un escalón
Para el escalón de corte \(1/2\), deduce la acumulada, incluido el valor en el corte, mediante restricciones y cambios finitos.
24.6. Lipschitz de la acumulada
Si \(|f|\le3\) en \([-1,2]\), prueba continuidad uniforme de \(A_f\) con radio explícito y una cota de su valor.
24.7. El caso de cota nula
Explica por qué el radio \(\varepsilon/(B+1)\) prueba continuidad uniforme incluso con \(B=0\).
24.8. Signo y orden
Demuestra que \(f\ge m>0\) implica crecimiento estricto de su acumulada y una cota inferior de cada incremento.
24.9. Positivo en un punto
Refuta que una tasa integrable no negativa, positiva en algún punto, tenga acumulada estrictamente creciente.
24.10. Cociente encerrado
Si \(-2\le f\le5\) sobre \([x,y]\), \(x<y\), encierra el incremento y el cociente de su acumulada. ¿Hace falta alcanzar esas cotas?
24.11. El lado negativo del cociente
Prueba el lema del promedio local cuando \(y<x\), sin dividir una desigualdad por un negativo.
24.12. Radio puntual completo
Escribe la prueba \(\varepsilon\)–\(\delta\) de \(A_f'(x)=f(x)\) para una integrable continua en un centro interior.
24.13. Cociente exacto del cuadrado
Para \(f(t)=t^2\) en \([0,1]\) y centro \(1/2\), calcula el cociente con incremento \(h\) admisible y no nulo, usando \(A_f(x)=x^3/3\) de C22.
24.14. Residuo cuadrático sin Taylor
Si \(f\) es Lipschitz de constante \(L\), demuestra la cota \(|A_f(y)-A_f(x)-f(x)(y-x)|\le L|y-x|^2/2\).
24.15. Continuidad local y global
Explica qué hipótesis locales y globales se gastan al derivar la acumulada en un único centro.
24.16. Derivada en el borde
Para una integrable continua relativamente en \(a\), demuestra que la derivada derecha de \(A_f\) vale \(f(a)\).
24.17. Dos pendientes incompatibles
Prueba por contradicción cuantificada que la acumulada del escalón no tiene derivada en \(1/2\).
24.18. Derivada existente, valor no recuperado
Para el pico aislado de altura uno, calcula su acumulada y su derivada en el pico; identifica la hipótesis fallida.
24.19. Modificar un extremo
En \([0,1]\), toma \(f(0)=1\) y \(f(t)=0\) para \(t>0\). Evalúa \(A_f\) y su derivada derecha en cero.
24.20. Corolario de tasa continua
Justifica que una continua sobre todo \([a,b]\) produce una acumulada continua y derivable con los valores relativos correctos.
24.21. Telescopía de una primitiva
Para una acotada \(f\) y primitiva \(H\), prueba el encierro de \(H(b)-H(a)\) por \(L(f,P),U(f,P)\) sin formar etiquetas de Lagrange.
24.22. Encierro y evaluación
Añade integrabilidad a la tarea anterior y deriva Newton–Leibniz mediante una tolerancia arbitraria.
24.23. Borde discontinuo de la candidata
En \([0,1]\), \(f=0\), \(H(0)=1\) y \(H(x)=0\) para \(x>0\). ¿Basta \(H'=f\) interior para evaluar la integral?
24.24. Subintervalo y orientación
Si \(H\) es una primitiva de una integrable, demuestra la fórmula de evaluación para todos los pares \(u,v\) del dominio.
24.25. Hipótesis independientes
Distingue las premisas de la primera y la segunda parte del teorema.
24.26. Constante de primitivas
Prueba unicidad salvo constante y determina la constante si \(H(a)=3\) y \(K(a)=-2\).
24.27. Un dato inicial
Para \(f(t)=2t-1\) en \([0,1]\) y \(H(0)=2\), encuentra y justifica la solución única del problema \(H'=f\).
24.28. Potencia entera
Calcula \(\int_{-1}^2 t^3\,dt\) y justifica la primitiva con herramientas anteriores.
24.29. Cancelación y absoluto
Calcula las integrales de \(2t-1\) y de su absoluto en \([0,1]\), sin confundirlas.
24.30. Estacionario sin extremo
En \([-1,1]\), toma \(f(t)=3t^2\). Calcula su acumulada y demuestra que cero es estacionario sin ser extremo.
24.31. Partes desde producto
Demuestra integración por partes bajo las hipótesis de R7a, explicando por qué existen ambas integrales.
24.32. Comprobar una integración por partes
Con \(p(t)=t\), \(q(t)=t^2/2\) en \([0,1]\), verifica la fórmula y sus hipótesis.
24.33. Cambio de variable decreciente
Aplica R7b a \(f(s)=s\), \(g(t)=1-t\) en \([0,1]\) y explica el signo.
24.34. Ida y vuelta sin monotonía
Usa \(f(s)=s\) en \([0,1]\) y \(g(t)=t^2\) en \([-1,1]\) para verificar el cambio de variable y mostrar qué sucede con \(|g'|\).
24.35. La imagen toca un borde
Explica por qué la prueba con \(A_f\circ g\) sigue válida si una entrada interior de \(g\) tiene imagen en \(a\) o \(b\), o si su incremento es cero.
24.36. Error uniforme de la tasa
Si \(|f-g|\le1/100\) en \([0,3]\) y ambas son integrables, certifica el error entre sus acumuladas en cualquier entrada y en \(3\).
24.37. Dato inicial y tasa
Si primitivas admisibles \(H,K\) tienen datos iniciales con distancia \(1/10\) en \(0\) y sus tasas integrables difieren a lo sumo \(1/100\) en \([0,2]\), certifica la diferencia de salidas.
24.38. Misma acumulada, distintas tasas
Construye dos integrables diferentes con acumuladas iguales y explica por qué no contradicen la primera parte.
24.39. Promedio alcanzado
Demuestra el valor medio integral para una continua en un cerrado y refuta su extensión a toda integrable mediante el escalón.
24.40. Dos operaciones y una constante
Formula qué recupera cada composición de derivar e integrar, e identifica una afirmación no habilitada por el capítulo.