Ejercicios — Capítulo 25
Índice del libro · Capítulo 25 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas están en ANM-C25_SOLUCIONES.md. Declara acotación, dominio, amplitud de oscilación y longitud del soporte. Distingue cotas universales de valores exactos; no uses medida ni integrales cuya existencia no se haya demostrado.
25.1. Longitud de las piezas malas
Prueba las dos desigualdades de R1 usando sólo orden y sumas finitas.
25.2. Oscilación puntual y continuidad
Demuestra ambas direcciones de la equivalencia, sin suponer un radio que alcance el ínfimo.
25.3. Nivel cerrado
Prueba que \(D_\eta\) es cerrado relativo y compacto.
25.4. Un presupuesto numérico
En un intervalo de longitud3 con B=2, nivelη=1/10 y longitud malaλ=1/100, certifica una cota de brecha. ¿Es exacta?
25.5. Nodos y oscilación
Explica por qué un valor excepcional en un nodo puede afectar dos piezas, aunque no tenga anchura propia.
25.6. Collares de un conjunto finito
Si E tiene k puntos, construye una cobertura abierta de longitud total menor que σ, incluido k0.
25.7. Fabricar una escala común
Explica la cubierta de radios medios que prueba R2, sin seleccionar un radio para cada centro.
25.8. El escalón y su brecha
Para el escalón con corte1/2 y P=(0,1/2−r,1/2,1/2+r,1), 0<r<1/2, calcula L,U y G.
25.9. La hipótesis de acotación
Refuta la afirmación «continua salvo finitísimos puntos implica integrable», si se omite acotación.
25.10. Gastar la tolerancia
Verifica que η=ε/[2(b−a)] y σ=ε/[4(B+1)] aseguran G<ε bajo la clasificación de R2.
25.11. Racionales en toda pieza
Reconstruye la densidad racional mediante arquimedianidad y mínimo natural, indicando el traslado para entradas negativas.
25.12. Irracionales en toda pieza
Partiendo de un racional interior y de raíz2 irracional, construye un irracional en el mismo intervalo.
25.13. La longitud correcta
Calcula las sumas de Darboux de Dirichlet en[−1,2] y refuta integrabilidad con tolerancia concreta.
25.14. Etiquetas incompatibles
Prueba directamente que el contrato universal de Riemann falla para Dirichlet sobre[a,b].
25.15. Una muestra no prueba densidad
Explica por qué los puntos dibujados de Dirichlet no justifican sus cotas locales.
25.16. Contar picos de denominador pequeño
Prueba la cota cardinal N(N+3)/2 para E_N y lista E_4 en orden.
25.17. Un irracional evita picos grandes
Demuestra continuidad de Thomae en un irracional, con radio positivo justificado.
25.18. Oscilación en un racional
Para x=p/q reducido, prueba Ω_T(x)=1/q y discontinuidad.
25.19. Un certificado para Thomae
Si fuera de E_N la altura es≤1/(N+1), y las piezas que tocan E_N suman anchura≤α, prueba U≤α+1/(N+1) en[0,1].
25.20. Discontinuidades densas, integral cero
Compara Thomae y Dirichlet sin usar un criterio de medida.
25.21. Cubrir los niveles desde una brecha
Prueba la necesidad de R5, incluyendo los nodos de partición.
25.22. De niveles pequeños a integrabilidad
Prueba la suficiencia de R5 con los parámetros de tolerancia.
25.23. No cubrir toda la unión
Explica por qué el criterio exige Dη para cada η>0 y no contenido finito nulo del conjunto completo de discontinuidades.
25.24. Longitud de una cobertura del segmento
Justifica que una cobertura finita por intervalos abiertos de[a,b] tiene suma de longitudes≥b−a.
25.25. Los casos vacíos
Verifica el contenido finito nulo del vacío y de conjuntos finitos; explica el papel del caso B0 en la suficiencia.
25.26. Etapas ternarias
Prueba por inducción el número de componentes, su longitud y la longitud total de C_n.
25.27. Una cobertura abierta del conjunto final
A partir de C_n, construye cobertura de C con longitud total<σ y demuestra compacidad.
25.28. Interior vacío
Prueba que C no contiene un intervalo abierto no degenerado.
25.29. Indicadora y discontinuidades
Determina los puntos de discontinuidad y la integral de la indicadora de C.
25.30. Controlar todas las piezas que tocan el soporte
Demuestra el paso de malla del lema de soporte compacto sin ignorar nodos.
25.31. Dos errores de salida, una oscilación
Demuestra ω(f,I)≤ω(g,I)+2δ si |f−g|≤δ universalmente.
25.32. Aproximantes integrables certifican existencia
Prueba la conclusión de R7 y después la cota de diferencia de integrales.
25.33. Truncar alturas de Thomae
Define T_N y demuestra error global≤1/(N+1), integrabilidad y valor integral de T.
25.34. Estabilizar entradas no controla la familia
Prueba que d_N=1 en E_N y0 fuera se estabiliza en Dirichlet entrada por entrada, pero conserva error global1.
25.35. Regla finita y cambios infinitos
Compara dos modificaciones de la función cero en los racionales y precisa sus resultados.
25.36. Una cobertura de racionales
Prueba que Q∩[0,1] no tiene contenido finito nulo.
25.37. Un punto problemático no acotado
Para h0 en cero y h(x)=1/x en(0,1], refuta integral propia sin analizar integrales impropias.
25.38. Qué certifica una etapa de Cantor
Distingue el significado de (2/3)^n y el del conjunto C, sin identificar una etapa con el límite.
25.39. Frontera exacta y condición más fuerte
Formula R5 y explica por qué exigir que todas las discontinuidades juntas tengan contenido finito nulo sería sólo suficiente.
25.40. Cerrar sin importar otra integral
Resume qué mecanismos deciden Dirichlet, Thomae y la indicadora de C, y qué teoría no se desarrolló.