Ejercicios — Capítulo 26
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Soluciones completas en ANM-C26_SOLUCIONES.md. Declara dominio común, entrada fija, dependencia del corte y existencia de cada operación comparada. Distingue refutación puntual, infractor móvil y diagonal dada.
26.1. Fila y columna
Para \(F(n,x)=(n+1)x\) en \(\mathbb N\times\mathbb R\), identifica filas, columnas y las entradas donde hay límite real.
26.2. El dominio que se conserva
Las fórmulas \(f_n(x)=1/(x-n)\) tienen dominio \(\mathbb R\setminus\{n\}\). Encuentra un dominio común y el límite allí.
26.3. Alternancia dependiente de la entrada
Calcula el conjunto de convergencia de \(f_n(x)=(-1)^n(x-2)\) en \(\mathbb R\).
26.4. Grafo del límite
Explica por qué la existencia de límite real en cada columna de \(X\) define una función sin escoger un límite arbitrario por entrada.
26.5. Toda entrada salvo una
Define \(f_n(x)=1\) si \(x=n\) y \(0\) en otro caso, en \(\mathbb R\). Determina su límite y explica por qué las gráficas no bastan.
26.6. Certificado explícito
Da un corte para \(f_n(x)=(x^2+1)/(n+1)\to0\) en \(\mathbb R\) con error estricto menor que \(\varepsilon\).
26.7. Negar en el orden correcto
Escribe la negación de convergencia puntual hacia una candidata \(f\) y úsala para refutar \(f_n(x)=(-1)^n\) hacia cero en un dominio no vacío.
26.8. Un infractor móvil
Para \(f_n(x)=x/(n+1)\) en \(\mathbb R\), elige ante cada corte una entrada con error1. ¿Qué queda refutado?
26.9. Reunión finita de obligaciones
Para \(f_n(x)=x/(n+1)\) y \(A=\{-3,0,5\}\), produce un corte simultáneo y justifica la generalización a un conjunto finito.
26.10. Umbral mínimo
Para \(f_n(x)=x/(n+1)\) calcula \(\tau(x,\varepsilon)\) y comprueba la frontera estricta.
26.11. Dos errores y una cota
Prueba directamente que el producto de dos familias puntualmente convergentes converge al producto de sus límites.
26.12. Ceros por filas
En \(X=(0,1]\) sea \(g_n(x)=x-1/(n+1)\). Prueba convergencia puntual y explica por qué \(1/g_n\) no define una familia en todo \(X\).
26.13. Orden eventual
Si \(f_n\to f\), \(g_n\to g\) puntualmente y para cada \(x\) hay un corte con \(f_n(x)\le g_n(x)\) después de él, demuestra \(f\le g\).
26.14. Filas acotadas, límite sin cota
Analiza \(u_n(x)=\min(n,x)\) en \([0,\infty)\) respecto de acotación de filas, columnas, límite y familia completa.
26.15. Componer dentro del tipo
Si \(f_n\to f\) puntualmente y todos sus valores y los de \(f\) son no negativos, demuestra \(\sqrt{f_n}\to\sqrt f\) sin suponer continuidad de las filas.
26.16. Potencias y extremos
Demuestra el límite puntual de \(p_0=1\), \(p_n(x)=x^n\) para \(n\ge1\), en \([0,1]\), sin logaritmos.
26.17. Discontinuidad relativa
Refuta continuidad del límite de las potencias en1 con un testigo para cada radio.
26.18. Una infracción en cada etapa
Con \(x_n=1-1/[2(n+1)]\), prueba \(p_n(x_n)>1/2\) y determina el alcance de la conclusión.
26.19. Cambiar el dominio
Compara las potencias en \([0,c]\), \(0<c<1\), y en \([0,1)\).
26.20. Dominio ampliado
Calcula el conjunto de convergencia real de la misma familia de potencias en \([-1,1]\).
26.21. Capa racional
Para \(a_n(x)=(n+1)x/[1+(n+1)x]\) en \([0,1]\), prueba el límite y su fallo de continuidad en0.
26.22. Dos rutas, dos destinos
Calcula \(a_n(1/(n+1))\) y \(a_n(1/(n+1)^2)\) y explica por qué no contradicen el límite puntual.
26.23. Una escala intermedia
Para \(w_n=1/\sqrt{n+1}\) calcula el destino de \(a_n(w_n)\) y justifica las raíces y la convergencia.
26.24. Límites iterados
Calcula las dos operaciones iteradas en \(n\to\infty\) y \(x\to0^+\) para \(a_n\).
26.25. Reparar un prefijo fuera del dominio
Para \(c>0\) construye una ruta en \([0,1]\) que coincida eventualmente con \(c/(n+1)\) y calcula las salidas de \(a_n\).
26.26. Tiendas continuas
Para \(k=n+3\) demuestra continuidad, soporte y convergencia puntual a cero de \(t_n(x)=\max(0,1-|kx-2|)\) en \([0,1]\).
26.27. Seguir el centro
Encuentra una ruta convergente al origen que produzca salidas constantes1 en las tiendas. ¿Bastan límite continuo y cota común para evitarlo?
26.28. Certificar el área
Calcula \(\int_0^1t_n\) por ramas, acreditando existencia antes del valor.
26.29. Altura que compensa anchura
Para \(b_n=(n+3)t_n\) demuestra convergencia puntual y compara límite de integrales e integral del límite.
26.30. Pendientes sin constante común
Demuestra que las tiendas \(t_n\) no satisfacen una cota Lipschitz con la misma constante para todas las filas.
26.31. Límite sin integral propia
Con \(d_n=\mathbf1_{E_{n+1}}\) de C25, prueba límite puntual y explica qué comparación integral está mal tipada.
26.32. Calcular las derivadas
Para \(h_n(x)=x/[1+(n+1)x^2]\) en \(\mathbb R\), calcula derivadas y demuestra convergencia puntual de valores y derivadas.
26.33. Un máximo exacto de error
Prueba la cota global \(|h_n(x)|\le1/[2\sqrt{n+1}]\) y que se alcanza.
26.34. Auditar la prueba triangular
En el intento de deducir continuidad del límite puntual de funciones continuas, identifica el paso no autorizado.
26.35. Clasificar tres fracasos
Compara potencias, tiendas normalizadas y \(d_n\) según qué propiedad falla y qué objetos existen.
26.36. Transportar una cota común de proximidad
Si \(f_n\to f\) puntualmente y todas las filas son Lipschitz con la misma constante \(L\ge0\), prueba que \(f\) lo es y es continua.
26.37. Diagonal con presupuesto común
Bajo la hipótesis del ejercicio anterior, si una ruta dada \(x_n\to x\in X\) permanece en \(X\), prueba \(f_n(x_n)\to f(x)\).
26.38. Monotonía sin barrera universal
Prueba existencia de límite puntual para columnas crecientes acotadas por una barrera que puede depender de la entrada.
26.39. Monotonía del índice y de la variable
Construye una familia creciente por columnas cuyas filas no sean crecientes ni decrecientes en su variable.
26.40. Un certificado y su límite de alcance
Para \(f_n(x)=x+1/(n+1)\) en \(\mathbb R\), verifica límite puntual, cota Lipschitz común y toda diagonal \(x_n\to x\). Compáralo con \(t_n\).