Ejercicios — Capítulo 27
Índice del libro · Capítulo 27 · Ejercicios · Soluciones
Soluciones completas en ANM-C27_SOLUCIONES.md.
Declara dominio, corte común, existencia de envolventes y barreras antes de operar. Distingue supremo y máximo, banda y bola, valores y diferencias, control de todos los pares y control de vecinos.
27.1. Banda sobre una función no acotada
Prueba uniformidad de \(f_n(x)=x+1/(n+1)\) hacia \(x\) en \(\mathbb R\) y explica qué está acotado.
27.2. Negación con testigo móvil
Refuta uniformidad hacia cero de \(g_n(x)=x/(n+1)\) en \(\mathbb R\), sin refutar su convergencia puntual.
27.3. Unicidad sin nueva selección
Demuestra que una familia tiene a lo sumo un límite uniforme en un dominio común, incluido el vacío.
27.4. Toda la cola, no una fila
En un dominio no vacío, toma filas constantes \(f_n=(-1)^n\). Explica por qué las filas pares no certifican convergencia uniforme.
27.5. Cambiar el prefijo
Prueba que modificar un número finito de filas no altera una convergencia uniforme dada.
27.6. Supremo y frontera abierta
En \(X=(0,1)\) demuestra que todos los errores \(e(x)=x\) son menores que1 pero su supremo es1.
27.7. Una fila sin envolvente real
En \((0,1]\), define \(f_0(x)=1/x\) y \(f_n=0\) para \(n\ge1\). Analiza uniformidad y existencia de envolventes.
27.8. Acreditar el criterio
Demuestra que si las envolventes reales de una cola satisfacen \(E_n\to0\), hay convergencia uniforme.
27.9. El margen al pasar al supremo
Prueba la dirección uniforme⇒envolventes de cola tendentes a cero, cuidando la desigualdad estricta.
27.10. Regiones que nunca se vacían
Para las tiendas \(t_n\) de C26, analiza \(B_n(1/2)=\{x:t_n(x)\ge1/2\}\) y sus columnas.
27.11. Supremo sin máximo de las potencias
Calcula la envolvente del error respecto del límite puntual de las potencias en \([0,1]\) para \(n\ge1\).
27.12. Una restricción con máximo
Para \(0<c<1\), calcula la envolvente de las potencias hacia cero en \([0,c]\) y un corte suficiente.
27.13. Un pico que sigue siendo grande
Calcula las envolventes de \(t_n\) y \((n+3)t_n\) en \([0,1]\) y refuta sus convergencias uniformes hacia cero.
27.14. Un máximo global decreciente
Para \(h_n=x/[1+(n+1)x^2]\) en \(\mathbb R\), prueba el máximo exacto del error y uniformidad.
27.15. La amplitud reduce el error
Define \(v_n(x)=x^{n+1}/(n+1)\) en \([0,1]\). Calcula el máximo y demuestra uniformidad hacia cero.
27.16. Restricción con barrera común
Si hay convergencia uniforme en \(X\), demuestra uniformidad en cualquier \(Y\subseteq X\) y compara envolventes cuando existen.
27.17. Reunión de dos contratos
Si \(X=A\cup B\) y las restricciones convergen uniformemente a la misma candidata, acredita el contrato en \(X\).
27.18. Una unión infinita falla
Usa \(X_j=[0,1-1/(j+2)]\) para mostrar que uniformidad en cada pieza no implica uniformidad en la unión.
27.19. Una ruta cualquiera
Si \(f_n\to f\) uniformemente y está dada una ruta \(x_n\in X\), prueba \(|f_n(x_n)-f(x_n)|\to0\). ¿Se exige convergencia de la ruta?
27.20. Subsucesión y prefijo
Prueba transferencia uniforme a una subsucesión estrictamente creciente de índices y explica por qué la conversa con una sola subsucesión falla.
27.21. Álgebra con dos presupuestos
Prueba convergencia uniforme de \(\alpha f_n+\beta g_n\) cuando ambas familias convergen uniformemente.
27.22. Producto con barreras declaradas
Demuestra uniformidad del producto cuando \(|f|\le A\), \(|g|\le B\) y hay uniformidad de las dos familias hacia esos límites.
27.23. Producto sin barrera
Construye dos familias uniformemente convergentes en \(\mathbb R\) cuyo producto no converge uniformemente al producto de límites.
27.24. Cuadrar una aproximación global
Analiza el cuadrado de \(f_n(x)=x+1/(n+1)\) en \(\mathbb R\) y explica qué control permitiría cuadrar.
27.25. Recíproco con margen
Si \(|g(x)|\ge m>0\) y \(g_n\to g\) uniformemente, prueba uniformidad de los recíprocos de la cola y declara su dominio.
27.26. Norma y salida cero
Prueba que \(\|u\|_\infty=0\) en \(\mathcal B(X)\) si y sólo si \(u\) es la función cero, incluido \(X\) vacío.
27.27. Homogeneidad sin máximos
Demuestra \(\|\alpha u\|_\infty=|\alpha|\|u\|_\infty\) sin suponer que la norma se alcance.
27.28. Distancia triangular
Verifica la desigualdad triangular de \(d_\infty(u,v)=\|u-v\|_\infty\) para funciones acotadas.
27.29. Banda y bola de frontera estricta
En \(X=(0,1)\), compara la banda de radio1 entre \(u(x)=x\) y cero con la bola \(d_\infty(u,0)<1\).
27.30. Clase trasladada
En \(\mathbb R\) explica por qué la distancia suprema no es real entre \(x\) y0, pero sí entre \(x+u\) y \(x+v\) para \(u,v\) acotadas.
27.31. De destino a pares
Prueba que convergencia uniforme implica el contrato uniforme de Cauchy e identifica el uso de completitud.
27.32. Construir primero el límite
Desde Cauchy uniforme, demuestra existencia de un límite uniforme sin conocer su fórmula.
27.33. Conservar el destino en funciones acotadas
Prueba completitud secuencial de \(\mathcal B(X)\) para la distancia suprema.
27.34. Vecinos cada vez más próximos
Para filas constantes \(H_n=\sum_{j=1}^n1/j\), \(H_0=0\), prueba que diferencias de vecinos tendentes a cero no bastan para Cauchy uniforme.
27.35. La completitud tiene un lugar
Explica qué pasos del criterio uniforme de Cauchy gastan completitud y cuáles sólo usan orden y cortes.
27.36. Presupuesto geométrico finito
Si \(|f_{j+1}(x)-f_j(x)|\le Cq^j\) con \(0<q<1\), prueba Cauchy uniforme y una cota del error posterior.
27.37. Destino acotado o diferencia acotada
Bajo el presupuesto geométrico, compara el caso de una fila inicial acotada con el de una base arbitraria.
27.38. Un presupuesto que se alcanza
Con \(|a|\le1\) y base arbitraria \(r\), estudia \(f_n=r+(1-2^{-n})a\) y calcula una cota uniforme de error.
27.39. Monotonía con límite continuo
En \([0,1]\), analiza \(s_n=\mathbf1_{(0,1/(n+1))}\): monotonía, límite, continuidad de éste y uniformidad.
27.40. Una auditoría de condiciones
Reúne los datos que se necesitan para afirmar uniformidad, usar la distancia suprema y comparar una diagonal con el valor límite en su destino.