Ejercicios — Capítulo 30
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Declara espacio, métrica y ambiente de cada conjunto. Comprueba axiomas, radios, cortes, codominios y selección de testigos según la tarea.
30.1. Tres distancias de Hamming
En palabras binarias de longitud tres, calcule las distancias entre \(x=000\), \(y=101\) y \(z=111\), y compruebe las tres triangulares de este triple.
30.2. Separación de una pseudométrica
Pruebe que \(p((a,b),(c,e))=|a-c|\) cumple simetría y triangular, y refute que sea métrica. Exhiba una sucesión con dos destinos diferentes para sus distancias.
30.3. La distancia al cuadrado
Identifique exactamente el axioma que falla para \(s(x,y)=|x-y|^2\) en \(\mathbb R\). Compare con \(2|x-y|\).
30.4. Un triple finito completo
En \(X=\{a,b,c\}\) fije distancias simétricas \(d(a,b)=2\), \(d(b,c)=3\), \(d(a,c)=t>0\) y diagonal cero. Determine exactamente los valores de \(t\) que dan métrica.
30.5. Triangular inversa a dos centros
Demuestre \(|d(x,y)-d(a,b)|\le d(x,a)+d(y,b)\) y señale qué objetos se restan.
30.6. Bolas con dos formas
Describa las bolas abiertas de radio \(2\) centradas en \((1,-1)\) para \(d_1\) y \(d_\infty\). Decida pertenencia de \((2,0)\) y \((3,-1)\).
30.7. El radio de margen
Si \(d(a,y)=3/5\) y \(r=1\), pruebe \(B(y,2/5)\subset B(a,1)\). ¿Puede incluirse el borde de la bola pequeña sin más información?
30.8. Clausura de una bola discreta
En un espacio discreto con al menos dos puntos, compare \(B_D(a,1)\), \(C_D(a,1)\) y \(\operatorname{cl} B_D(a,1)\).
30.9. Dos ventanas separadas
Si \(D=d(a,b)>0\), pruebe que \(B(a,D/3)\) y \(B(b,D/3)\) son disjuntas. Generalice a radios positivos cuya suma es a lo sumo \(D\).
30.10. Una bola cerrada es cerrada
Reconstruya la prueba del cierre de \(C_d(a,r)\) y explique por qué no demuestra que sea la clausura de \(B_d(a,r)\).
30.11. Un borde que depende del ambiente
Para \(A=[0,1/2)\) calcule interior, clausura y frontera en \(\mathbb R\) y en \(Y=[0,1]\).
30.12. Uniones e intersecciones
Pruebe unión arbitraria e intersección finita de abiertos. Refute la extensión a intersecciones infinitas con un ejemplo exacto.
30.13. Todo abierto y todo cerrado
Demuestre que en un espacio discreto todos los subconjuntos son abiertos y cerrados. Calcule su frontera.
30.14. Clausura por ventanas
Pruebe que \(\operatorname{cl}_X A\) es cerrada y el menor cerrado que contiene a \(A\), directamente por bolas.
30.15. Intersecar la clausura, no el interior
Pruebe \(\operatorname{cl}_Y A=Y\cap\operatorname{cl}_X A\) para \(A\subset Y\subset X\). Refute la fórmula análoga para interiores.
30.16. Mismos términos, distinta captura
Estudie \(x_n=1/(n+1)\) en la recta con métrica usual y con métrica discreta. Considere cualquier posible destino discreto.
30.17. Un destino único
Pruebe unicidad de límites métricos sin usar coordenadas, orden de puntos ni completitud.
30.18. Dos referencias acotan el mismo conjunto
Si \(A\subset X\) cumple \(d(x,a)\le R\) para todo \(x\in A\), dé una cota respecto de otro centro \(b\) y un radio abierto que contenga \(A\).
30.19. Un criterio secuencial con su interfaz
Formule la relación entre clausura y límites de sucesiones de \(A\). Separe la dirección incondicional de la que necesita testigos.
30.20. Perturbación y dos distancias
Si \(x_n\to a\) y \(y_n\to b\), pruebe \(d(x_n,y_n)\to d(a,b)\) y deduzca la regla cuando \(d(x_n,y_n)\to0\).
30.21. Cauchy sin cero admisible
Pruebe que \(x_n=1/(n+2)\) es de Cauchy en \((0,1)\) y no converge a ningún elemento de ese espacio.
30.22. Cauchy y captura constante
Caracterice todas las sucesiones de Cauchy de una métrica discreta y sus límites.
30.23. Vecinos pequeños no bastan
Para \(h_n=\sum_{j=1}^{n+1}1/j\) en \(\mathbb R\), pruebe saltos vecinos nulos y refute Cauchy mediante pares dados después de cualquier corte.
30.24. Subsucesión y cola completa
Pruebe que una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente en \(X\) converge al mismo destino. Identifique el índice fijado como referencia.
30.25. Saltos geométricos y tres obligaciones
Si \(d(x_{n+1},x_n)\le3\,2^{-n}\), acredite Cauchy y una cota de error si el destino ya existe. Indique qué corte certifica error estrictamente menor que \(3/8\).
30.26. Preimagen de una banda
Para \(f(x)=|x|\) en la recta usual, calcule \(f^{-1}[(1,2)]\) y pruebe continuidad usando una desigualdad métrica.
30.27. La equivalencia por abiertos
Pruebe continuidad global equivalente a preimágenes abiertas, con espacios métricos distintos y sin construir sucesiones.
30.28. Identidad con inversa fallida
Pruebe que la identidad de \(\mathbb R\) discreto hacia \(\mathbb R\) usual es una biyección continua y que su inversa falla en cero.
30.29. Un fracaso secuencial condicionado
Si \(f\) no es continua en \(a\), construya una sucesión infractora bajo \(\mathrm{CC}(X)\) y explique el papel de ese supuesto.
30.30. Transportar el dominio de un nivel
Para \(b\in X\) pruebe continuidad de \(F(x)=d(x,b)\) y determine si \(\{x:d(x,b)=r\}\) es cerrado y \(\{x:d(x,b)<r\}\) es abierto.
30.31. Un radio Lipschitz
Para una función \(L\)-Lipschitz entre métricas, dé radios de continuidad uniforme y pruebe que transporta sucesiones de Cauchy. Separe \(L=0\).
30.32. Distancia cero sin pertenencia
Para \(A=(0,1)\) dentro de \(\mathbb R\), calcule \(\operatorname{dist}(x,A)\) en toda la recta y decida dónde vale cero y dónde se alcanza el ínfimo.
30.33. Continuidad que destruye Cauchy
Pruebe continuidad de \(1/x\) en \((0,1)\), niegue su uniformidad con pares explícitos y muestre una Cauchy cuya imagen no lo es.
30.34. Un supremo que no se alcanza
En \(T=[0,1]\) tome \(f_n(t)=t^{n+1}\) y su destino puntual \(f(t)=0\) para \(t<1\), \(f(1)=1\). Calcule \(D_\infty(f_n,f)\) y compare con \(g_n(t)=t/(n+1)\).
30.35. Una distancia de funciones bien definida
Pruebe los axiomas de \(D_\infty\) en \(\mathcal B(T)\) con \(T\) no vacío y la equivalencia con convergencia uniforme. Indique dónde se usa completitud real.
30.36. Un par y dos métricas
Para \(x=(1,2)\) e \(y=(4,-2)\), calcule \(d_1,d_\infty\) y pruebe las desigualdades generales entre ambas métricas.
30.37. Recortar una métrica
Pruebe que \(e=\min\{1,d\}\) es métrica y que conserva convergencia y Cauchy, aunque puede cambiar acotación.
30.38. Una métrica con los mismos abiertos
Pruebe que \(e_\phi(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|\), \(\phi(x)=x/(1+|x|)\), es métrica y tiene los mismos abiertos que la usual.
30.39. Misma topología, otra Cauchy
Para \(x_n=n\) compare Cauchy, convergencia y acotación en la usual y en \(e_\phi\).
30.40. Auditar la identidad inversa
Muestre explícitamente que la identidad desde \((\mathbb R,e_\phi)\) hacia la usual es continua pero no uniformemente continua. Compare con la identidad entre \(d_1\) y \(d_\infty\).