Ejercicios — Capítulo 31
Índice del libro · Capítulo 31 · Ejercicios · Soluciones
Cinco problemas por sección. Las soluciones están en ANM-C31_SOLUCIONES.md.
31.1. Dar destino a todas las sucesiones de Cauchy
Ejercicio 1
Prueba que un espacio métrico finito es completo, sin suponer que su métrica sea discreta.
Ejercicio 2
Decide si \((0,1]\) con distancia usual es completo, y acredita todos los pasos del contraejemplo.
Ejercicio 3
Sea \(X\) completo y \(a\in X\). Prueba que la bola cerrada \(C(a,r)\), \(r\ge0\), es completa.
Ejercicio 4
Sea \(T\ne\varnothing\) y \((f_n)\) Cauchy en \(\mathcal B(T)\). Explica por qué no es legítimo escribir primero \(D_\infty(f_n,f)\) sin acreditar que \(f\) es acotada, y completa la prueba.
Ejercicio 5
Sea \(Y\) un subespacio completo de \(X\). Demuestra que es cerrado declarando exactamente la selección requerida.
31.2. Encerrar un destino y construirlo por iteración
Ejercicio 6
En \(\mathbb R\) considera \(F_n=[1-2^{-n},1+2^{-n}]\), \(n\ge0\). Encuentra la intersección y acredita el teorema de recintos.
Ejercicio 7
Con \(T(x)=(x+1)/2\) en \([0,1]\) y \(x_0=0\), calcula la iteración y el primer corte para error estrictamente menor que \(1/16\).
Ejercicio 8
Para una contracción de razón \(q\in[0,1)\), prueba la cota a posteriori \(d(x_n,a)\le d(x_n,x_{n+1})/(1-q)\).
Ejercicio 9
Muestra que la misma contracción \(T(x)=(x+1)/2\) en \((0,1)\) no tiene punto fijo, aunque lleve el espacio a sí mismo.
Ejercicio 10
Verifica que \(T(x)=x+1/x\) en \([1,\infty)\) reduce estrictamente las distancias de pares distintos y carece de punto fijo.
31.3. Cubrir con pocas bolas a cada escala
Ejercicio 11
Construye para \((0,1)\) una red de radio \(\varepsilon>0\) con centros interiores.
Ejercicio 12
Prueba que en un espacio discreto la acotación total equivale a finitud.
Ejercicio 13
Sea \(A\subset X\) y \(X\) totalmente acotado. Justifica una red para \(A\) con centros en \(A\).
Ejercicio 14
En \([-1,1]^2\) con \(d_\infty\), construye una red de radio \(1/3\) usando una malla explícita.
Ejercicio 15
Prueba que una sucesión con \(d(x_n,x_m)\ge\eta>0\) para índices distintos impide acotación total.
31.4. Compacidad: reducir cualquier cobertura
Ejercicio 16
Prueba que una unión finita de compactos en un espacio métrico es compacta.
Ejercicio 17
En la discreta sobre \(\mathbb N\), exhibe una cobertura abierta que refute compacidad.
Ejercicio 18
Deduce la propiedad de intersección finita de la compacidad usando complementos.
Ejercicio 19
Prueba directamente que un compacto métrico es completo usando clausuras de colas.
Ejercicio 20
Sea \(K\ne\varnothing\) compacto y \(a\notin K\). Prueba que \(\inf_{k\in K}d(a,k)>0\) sin suponer un mínimo alcanzado.
31.5. La equivalencia métrica y sus elecciones
Ejercicio 21
Explica por qué una extracción en redes de radios \(2^{-j}\) produce una subsucesión de Cauchy y qué selecciones emplea.
Ejercicio 22
Supón que ninguna red finita de radio \(\varepsilon\) cubre \(X\). Construye una sucesión separada, declarando la regla de selección.
Ejercicio 23
Prueba que un espacio secuencialmente compacto es completo sin fabricar otra sucesión.
Ejercicio 24
Para la cobertura de \([0,1]\) por \(U=(-1,3/4)\) y \(V=(1/4,2)\), verifica un número de Lebesgue en forma de bolas relativas.
Ejercicio 25
En un compacto, ¿toda sucesión converge? Da una refutación y dos subsucesiones.
31.6. Transportar compacidad por continuidad
Ejercicio 26
Sea \(f:K\to Y\) continua y \(K\) compacto. Prueba compacidad de \(f(K)\) conservando los índices de una cobertura.
Ejercicio 27
Una función continua \(f:K\to\mathbb R\) sobre un compacto no vacío alcanza supremo. Prueba el paso de supremo a valor alcanzado.
Ejercicio 28
Reconstruye la continuidad uniforme de una continua sobre un compacto sin elegir una función de radios sobre todos los puntos.
Ejercicio 29
Sea \(f:K\to Y\) una biyección continua, \(K\) compacto y \(Y\) métrico. Prueba continuidad de su inversa.
Ejercicio 30
Clasifica \(K=\{(x,y):\max(|x|,|y|)\le1\}\) en \(\mathbb R^2\) con \(d_\infty\): completitud, compacidad y conexidad por caminos.
31.7. Conexidad: impedir una separación
Ejercicio 31
Prueba que conexidad equivale a que los únicos subconjuntos abiertos y cerrados sean el vacío y el espacio.
Ejercicio 32
En \(A=[-2,-1]\cup[1,2]\) usual, acredita compacidad y una separación relativa.
Ejercicio 33
Sea \(X\) conexo y \(f:X\to\{0,1\}\) continua con codominio discreto. Prueba que \(f\) es constante.
Ejercicio 34
Prueba que la imagen real de una función continua sobre un conexo contiene todos los valores entre dos de sus valores.
Ejercicio 35
Prueba que una unión de conjuntos conexos con un punto común es conexa.
31.8. Comparar lo que sobrevive y cerrar la ruta
Ejercicio 36
Clasifica \((\mathbb R,d_*)\), \(d_*(x,y)=\min(|x-y|,1)\): acotación, completitud, compacidad y conexidad.
Ejercicio 37
Con esa métrica truncada en el dominio, refuta continuidad uniforme de \(f(x)=x^2\) hacia la recta usual.
Ejercicio 38
Clasifica la métrica \(e(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|\) en \(\mathbb R\), \(\phi(x)=x/(1+|x|)\), sin confundir topología y completitud.
Ejercicio 39
Supón \(c d\le e\le C d\) con \(c,C>0\). Prueba preservación de acotación total y completitud.
Ejercicio 40
¿Qué propiedades conserva necesariamente un homeomorfismo entre espacios métricos? Justifica compacidad y conexidad y refuta completitud.