Ejercicios — Capítulo 6
Índice del libro · Capítulo 6 · Ejercicios · Soluciones
Se conserva \(\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}\). Cada ejercicio utiliza las herramientas disponibles hasta la sección a la que pertenece. Justifica las afirmaciones y declara los dominios cuando se construyan objetos nuevos.
§6.1
1. Ventanas con lados distintos
Fija una sucesión \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(A\in\mathbb R\). Compara la afirmación \(a_n\to A\) con la siguiente: para cada \(r,s>0\) existe \(N\in\mathbb N\) tal que \(A-r<a_n<A+s\) para todo \(n\ge N\). Demuestra la equivalencia e identifica qué datos se fijan y cuáles se eligen.
2. Lo que un prefijo no decide
Dados \(m\in\mathbb N\) y \(x_0,\ldots,x_m\in\mathbb R\), construye dos sucesiones que coincidan con esos datos: una que converja a 0 y otra que no converja a 0. Justifica ambas afirmaciones sin inferir propiedades de una cola a partir de una muestra. Explica qué comparten sus gráficas para \(0\le n\le m\).
3. Una familia con destino común
Fija \(T\in\mathbb N\) y \(A\in\mathbb R\). Para cada familia de reales \(x=(x_0,\ldots,x_{T-1})\), define \(a^x_n=x_n\) si \(n<T\) y \(a^x_n=A\) si \(n\ge T\). Describe el caso \(T=0\), demuestra directamente la convergencia a \(A\) y determina cuándo \(a^x=a^y\) como funciones. ¿La igualdad del candidato obliga a esa igualdad de funciones?
4. Qué familia de ventanas basta
Demuestra que \(a_n\to A\) equivale a que todo intervalo abierto \((u,v)\) con \(u<A<v\) capture una cola. Compara esta condición con la captura por cada vecindad de \(A\), entendiendo vecindad en el sentido de C04.
§6.2
5. Un candidato elegido demasiado tarde
Alguien escribe: «Para cada \(\varepsilon>0\) puedo elegir \(A_\varepsilon\in\mathbb R\) y \(N_\varepsilon\in\mathbb N\) que satisfacen \(|a_n-A_\varepsilon|<\varepsilon\) para todos los índices \(n\ge N_\varepsilon\). Por tanto, \(a_n\to0\)». Localiza la falta en esa conclusión y refútala con una sucesión concreta. ¿Cuál sería la obligación correcta para acreditar el candidato 0? No se pide decidir si la premisa implica alguna otra propiedad.
6. Negar la existencia de un destino
Escribe con todos sus dominios la afirmación «\(a\) no converge a ningún número real» y deriva su forma cuantificada desde la negación de «existe \(A\in\mathbb R\) al que converge». Compara el orden de elecciones con la refutación de un candidato fijo.
7. Visitar sin permanecer
Construye una sucesión real que tome el valor 0 en índices arbitrariamente tardíos y que también tome valores de módulo al menos 2 arbitrariamente tarde, sin ser una sucesión de sólo dos valores. Verifica que visita toda bola alrededor de 0 después de cada corte y que no converge a 0.
8. Cambiar la frontera del error
Compara la definición usual de \(a_n\to A\) con la condición que exige \(|a_n-A|\le\varepsilon\) eventualmente para cada \(\varepsilon>0\). Demuestra su equivalencia y deriva la negación de la segunda condición. Explica por qué las distintas desigualdades en las negaciones no cambian su alcance global.
9. Sólo tolerancias pequeñas
Sea \(r>0\) fijo. Demuestra que basta verificar la captura con error estricto para todas las tolerancias \(\delta\) tales que \(0<\delta<r\) para acreditar \(a_n\to A\). ¿Basta verificar únicamente la tolerancia \(r\)? Justifica la respuesta.
§6.3
10. Centro, escala y denominador
Fija \(A,c\in\mathbb R\) y \(d,e>0\). Para \(a_n=A+c/(dn+e)\), demuestra directamente que \(a_n\to A\). Da un umbral explícito para cada \(\varepsilon>0\), trata \(c=0\) y verifica que la sucesión está definida también en \(n=0\).
11. Dos cortes defectuosos
Para la familia del ejercicio 10 con \(c\ne0\), se proponen \(N_1=\max\{0,\lfloor(|c|/\varepsilon-e)/d\rfloor\}\) y \(N_2=\lfloor|c|/(d\varepsilon)\rfloor-1\). Refuta cada propuesta como fórmula válida para todos los parámetros: muestra una falla de estrictitud de \(N_1\) y una falla de dominio de \(N_2\). Repara ambas con un testigo universal suficiente.
12. Un prefijo arbitrario
Sea \(T\in\mathbb N\). Define \(a_n=x_n\) para \(n<T\), con valores reales arbitrarios, y \(a_n=A+c/(dn+e)\) para \(n\ge T\), donde \(A,c\in\mathbb R\) y \(d,e>0\). Prueba \(a_n\to A\) desde la definición, sin usar aún invariancia por modificaciones finitas. Cubre el prefijo vacío.
13. Un corte suficiente y el menor corte
Considera \(a_n=2/(n+3)\) y candidato 0. Para cada \(\varepsilon>0\), determina el menor umbral natural que da error estricto en toda la cola. Compáralo con \(K=\lfloor2/\varepsilon\rfloor+1\). Examina \(\varepsilon=2/5\) y \(\varepsilon=1\), e identifica el papel de la frontera.
14. Dos valores que no desaparecen
Sean \(p,q\in\mathbb R\), \(p\ne q\), y una sucesión \(a\). Supón que existen fórmulas \(i,j:\mathbb N\to\mathbb N\) tales que \(i(N),j(N)\ge N\), \(a_{i(N)}=p\) y \(a_{j(N)}=q\) para cada \(N\). Demuestra que \(a\) no converge a ningún real. Construye además un ejemplo con \(p=-2\), \(q=4\) y valores adicionales en otros índices.
§6.4
15. Cómo repartir una separación
En una prueba de unicidad con candidatos distintos \(A,B\), escribe \(D=|A-B|\). Se desean tolerancias \(\alpha D\) y \(\beta D\), con \(\alpha,\beta>0\). Determina cuándo la triangular y las dos capturas bastan por sí solas para dar contradicción. Explica qué ocurre cuando \(\alpha+\beta>1\).
16. Transportar índices y cortes
Fija \(T\in\mathbb N\), una sucesión \(a\) y \(A\in\mathbb R\). Compara \(r=a|_{\mathbb N_{\ge T}}\) con \(b_k=a_{T+k}\). Declara dominios y codominios y escribe el transporte \(k\mapsto T+k\) y su inversa. Para una tolerancia, transforma un umbral de \(a\) en uno de \(b\), y un umbral de \(b\) en uno de \(a\), justificando las dos capturas.
17. Tres funciones y un destino
Construye tres sucesiones reales distintas que converjan a 0, de modo que las dos primeras coincidan eventualmente y la tercera difiera de ambas en todos los índices suficientemente grandes. Justifica la convergencia y explica qué igualdades se conservan y cuáles no.
18. Alguna cola y todas las colas
Para \(a:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(A\in\mathbb R\), prueba la equivalencia de: \(a_n\to A\); existe \(T\in\mathbb N\) tal que \(a_{T+k}\to A\) al recorrer \(k\in\mathbb N\); para cada \(T\in\mathbb N\) esa cola reindexada converge a \(A\). Distingue el candidato común de los cortes, que pueden variar.
§6.5
19. Acotar con otra tolerancia
Supón \(a_n\to A\). Para \(r>0\), sea \(N_r\) un umbral con error menor que \(r\). Construye una cota global usando esa cola y el prefijo, incluido \(N_r=0\). Para \(a_0=20\), \(a_n=0\) si \(n\ge1\), compara las cotas obtenidas con \(r=1,N_r=1\) y con \(r=30,N_r=0\). ¿Se minimiza necesariamente la cota eligiendo una tolerancia mayor?
20. Qué decide el módulo
Construye una sucesión \(a\) cuyo módulo converja a un número positivo pero que no converja a ningún real. Demuestra, por contraste, que \(|b_n|\to0\) sí obliga a \(b_n\to0\). Da un ejemplo de esta segunda situación con signos alternantes.
21. Un coeficiente variable controlado
Sean \(u_n\to0\), \(v:\mathbb N\to\mathbb R\) y \(C:\mathbb N\to\mathbb R\). Supón que \(|v_n|\le C_n|u_n|\) desde \(T\) y que \(0\le C_n\le M\) desde \(S\), con \(M\ge0\) fijo. Demuestra \(v_n\to0\) y separa \(M=0\) de \(M>0\). Explica qué sustituye a la constancia del coeficiente.
22. Una comparación intermitente
Examina este argumento: «\(u_n\to0\) y, después de cada corte, hay un índice con \(|v_n|\le3|u_n|\); luego \(v_n\to0\)». Construye un contraejemplo y localiza el cuantificador que falta. Formula una reparación suficiente y demuéstrala.
23. Compartir destino por un error pequeño
Supón \(a_n-b_n\to0\). Demuestra que \(a_n\to A\) si y sólo si \(b_n\to A\), para un candidato real fijo \(A\). Usa la definición y la triangular; no invoques la regla posterior de suma de límites.
§6.6
24. Un reparto a medida
Sean \(a_n\to A\), \(b_n\to B\), \(c,d\in\mathbb R\) y \(0<\theta<1\). Construye una prueba de \(ca_n+db_n\to cA+dB\) que reserve \(\theta\varepsilon\) al primer error y \((1-\theta)\varepsilon\) al segundo. Trata los coeficientes nulos y da un ejemplo de reparto no simétrico.
25. Una cantidad finita de operaciones
Para \(m\ge1\), sean \(a^{(1)},\ldots,a^{(m)}\) sucesiones con \(a^{(j)}_n\to A_j\). Demuestra que la suma de sus términos converge a \(\sum_{j=1}^m A_j\) y que su producto converge a \(\prod_{j=1}^m A_j\). Usa inducción y las reglas binarias demostradas. Describe también el caso de familia vacía con las convenciones usuales.
26. Leer un producto al revés
Se afirma: «Si \(a_nb_n\) converge, ambos factores convergen». Refuta la afirmación con un producto idénticamente cero y con un producto idénticamente no nulo. En el segundo caso comprueba que ninguno de los factores tiene límite real.
27. Un factor pequeño y otro acotado
Supón \(u_n\to0\) y \(|p_n|\le M\) desde \(T\), con \(M\ge0\) fijo. Prueba \(u_np_n\to0\) sin suponer convergencia de \(p\). Da un ejemplo en que esa última convergencia falle.
28. El inverso como conjunto de obligaciones
Supón \(b_n\to B\ne0\) y \(|b_n|>|B|/2\) desde \(T\). Para cualquier prefijo real \(x_0,\ldots,x_{T-1}\), define \(c^x_n=x_n\) si \(n<T\) y \(c^x_n=1/b_n\) si \(n\ge T\). Organiza la prueba de \(c^x_n\to1/B\) en cuatro obligaciones: margen, definición, estimación y transferencia. Compara dos prefijos distintos.
29. Un denominador negativo con ceros
Construye una sucesión \(b\) con \(b_0=b_1=0\), límite −2 y términos no nulos desde 2. Toma \(a_n=3+1/(n+1)\). Define dos sucesiones distintas que extiendan el cociente \(a_n/b_n\) desde 2 y demuestra que ambas convergen a −3/2. Comprueba un margen explícito para el denominador.
30. Tres cálculos que necesitan una auditoría
Examina las propuestas siguientes: (i) \((3n+2)/(2n+5)\) tiene límite «\(\lim(3n+2)/\lim(2n+5)\)»; (ii) con \(h_n=1/(n+1)\), \(h_n/h_n\) tiene límite «0/0»; (iii) \((-1)^n/h_n\) tiene límite «un número dividido por 0». Localiza los usos ilegítimos, resuelve los casos (i) y (ii) mediante identidades válidas y decide si (iii) tiene algún límite real sin usar límites infinitos.
31. Construir un cociente y revisar su margen
Sean \(a_n\to A\) y \(b_n\to B\). Determina cuándo puedes proponer coeficientes reales \(r,s,t,u\) para los que \(D=tA+uB\ne0\) y estudia la expresión \((ra_n+sb_n)/(ta_n+ub_n)\). Justifica un margen eventual, define un cociente real en todo \(\mathbb N\) aunque haya ceros iniciales y determina su límite. Da dos ejemplos con \(D=0\) que impidan asignar una conclusión única por esa fórmula.
§6.7
32. Llegar a la frontera de un intervalo
Sean \(p<q\) reales, \(a_n\to A\) y \(p\le a_n\le q\) eventualmente. Prueba \(A\in[p,q]\). Decide si la conclusión puede sustituirse por \(A\in(p,q)\) cuando todos los términos tardíos están en ese intervalo abierto. Construye un ejemplo que llegue a cada frontera.
33. Orden estricto y margen uniforme
Construye \(a,b\) con \(a_n<b_n\) en todos los índices y límite común 2. Construye también \(c,d\) con límites distintos y \(c_n+\delta\le d_n\) para alguna constante \(\delta>0\). Demuestra en general que ese margen, junto con la convergencia de ambos factores, obliga a que el primer límite sea estrictamente menor que el segundo.
34. Dos presupuestos de error exteriores
Sean \(r_n,s_n\ge0\) con \(r_n\to0\), \(s_n\to0\), y supón \(L-r_n\le a_n\) desde \(T_1\) y \(a_n\le L+s_n\) desde \(T_2\). Demuestra directamente \(a_n\to L\) sin presuponer su convergencia ni exigir que las dos cotas de error coincidan.
35. Una frontera conocida sólo por su módulo
Se propone: «\(u_n\le a_n\le v_n\) eventualmente, \(|u_n|\to1\) y \(v_n\to1\); por el sándwich, \(a_n\to1\)». Refuta la propuesta con un ejemplo en que \(u\) no tenga límite real. Formula una reparación sobre la frontera inferior y justifica el resultado.
36. Una caracterización por fronteras
Prueba que \(a_n\to L\) equivale a la existencia de sucesiones \(u,v\) tales que \(u_n\le a_n\le v_n\) eventualmente y \(u_n,v_n\to L\). En la dirección que construye fronteras desde \(a\), procura que éstas tengan fórmulas distintas y justifica la captura sin importar resultados posteriores.
§6.8
37. Dos recorridos para una expresión racional
Para \(f_n=(5n+2)/(2n+3)\), demuestra su convergencia por una estimación directa del error y por normalización con \(h_n=1/(n+1)\). Determina el candidato, construye un testigo suficiente y revisa los denominadores en todo \(\mathbb N\).
38. Una perturbación que conserva el destino
Sea \(a_n\to A\). Diseña una sucesión \(p\) sin límite real pero eventualmente acotada, y una sucesión \(b\) con prefijo arbitrario que desde un corte \(T\) satisfaga \(b_n=a_n+p_n/(n+1)\). Demuestra \(b_n\to A\) e identifica qué partes del argumento no necesitan un límite de \(p\).
39. Qué puede recuperarse de las operaciones
Para sucesiones reales \(a,b\), estudia estas afirmaciones, con cocientes globalmente definidos cuando se mencionan: (i) si \(a_n+b_n\to S\) y \(a_n\to A\), entonces \(b_n\to S-A\); (ii) si \(a_nb_n\to P\) y \(a_n\to A\ne0\), entonces \(b_n\to P/A\); (iii) si \(a_n/b_n\to Q\) y \(b_n\to B\), entonces \(a_n\to QB\), incluso si \(B=0\); (iv) la convergencia simultánea de la suma y el producto obliga a converger a ambos factores; (v) en (ii) basta \(A=0\). Justifica las inferencias o construye contraejemplos.
40. Cambiar todo el orden de los índices
Sea \(\pi:\mathbb N\to\mathbb N\) una biyección y \(b_n=a_{\pi(n)}\). Demuestra que \(a_n\to A\) si y sólo si \(b_n\to A\), sin suponer que la permutación conserve el orden ni que \(a,b\) coincidan eventualmente. Construye el corte usando la preimagen de un prefijo finito, trata el caso vacío y demuestra la dirección inversa.