1.5 — Completitud: la propiedad que falta en \(\mathbb Q\)
1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud
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1.5 Completitud: la propiedad que falta en \(\mathbb Q\)
Una definición no garantiza una existencia
En §1.3 aprendimos a reconocer un supremo cuando tenemos un candidato. Para demostrar que \(s=\sup A\) verificamos dos hechos: que \(s\) es una cota superior y que ninguna cota superior puede ser menor que \(s\).
Pero esa definición deja abierta una cuestión diferente:
¿qué ocurre si \(A\) es no vacío y está acotado superiormente, pero no sabemos de antemano cuál debería ser su menor cota superior?
Nada de lo demostrado hasta ahora garantiza que esa menor cota exista dentro del sistema numérico en el que estamos trabajando.
Esta distinción es fundamental. Una definición responde a la pregunta
\[ \boxed{\text{¿qué propiedades tendría el objeto si existiera?}} \]
mientras que un teorema o un axioma de existencia responde a otra:
\[ \boxed{\text{¿tenemos derecho a afirmar que tal objeto existe?}} \]
En §1.4 ya vimos una advertencia de este tipo: conocer la ecuación \(x^2=2\) no nos autorizaba todavía a suponer que existía una solución positiva en nuestro dominio. Ahora aparece el mismo problema en un nivel estructural.
El axioma de completitud
La pregunta abierta al final del microtramo anterior era:
\[ A\ne\varnothing, \qquad A\text{ acotado superiormente} \quad\stackrel{?}{\Longrightarrow}\quad \exists s\in\mathbb R\;P_A(s). \]
La propiedad adicional que adoptaremos para \(\mathbb R\) responde afirmativamente a esa pregunta.
Todo subconjunto no vacío \(A\subseteq\mathbb R\) que esté acotado superiormente posee un supremo en \(\mathbb R\).
En símbolos,
\[ \boxed{ A\ne\varnothing \quad\text{y}\quad \exists M\in\mathbb R\; \forall a\in A,\ a\le M \quad\Longrightarrow\quad \exists s\in\mathbb R\;P_A(s). } \]
Equivalentemente, existe \(s\in\mathbb R\) tal que
\[ s=\sup A. \]
La fuerza nueva del axioma está en el cuantificador
\[ \boxed{\exists s\in\mathbb R.} \]
La definición de supremo ya nos decía qué debía satisfacer un candidato; la completitud afirma que, bajo las hipótesis
\[ A\ne\varnothing \]
y
\[ A\text{ acotado superiormente}, \]
ese candidato existe dentro de \(\mathbb R\).
Además, en §1.3 ya demostramos que el supremo, si existe, es único. Por tanto, combinando aquella unicidad con el axioma de completitud obtenemos inmediatamente
\[ \boxed{ A\ne\varnothing, \quad A\subseteq\mathbb R, \quad A\text{ acotado superiormente} \quad\Longrightarrow\quad \exists!\,s\in\mathbb R \text{ tal que } s=\sup A. } \]
Así, la completitud no redefine la noción de supremo. Añade exactamente la garantía de existencia que faltaba:
\[ \boxed{ \text{definición} + \text{unicidad} + \text{completitud} \quad\Longrightarrow\quad \text{existencia y unicidad del supremo}. } \]
¿Por qué lo llamamos axioma?
La palabra axioma describe el papel que una afirmación desempeña dentro de un desarrollo determinado. No significa que la afirmación carezca de justificación en cualquier contexto ni que deba adoptarse siempre como punto de partida.
En este libro hemos elegido una vía axiomática. No construiremos \(\mathbb R\) a partir de objetos más elementales; asumiremos que los números reales forman un cuerpo ordenado y añadiremos como propiedad fundamental la completitud recién enunciada.
Así, dentro de nuestra cadena lógica,
\[ \boxed{ \text{cuerpo} + \text{orden} + \text{completitud} } \]
son datos estructurales de partida para \(\mathbb R\), y las consecuencias posteriores deberán deducirse de ellos.
Hay otra vía posible. Si se construye \(\mathbb R\) —por ejemplo, mediante cortes de Dedekind o mediante una construcción apropiada a partir de sucesiones racionales—, entonces las propiedades de cuerpo, orden y completitud deben demostrarse para el objeto construido. En ese contexto, la propiedad del supremo aparece como teorema de la construcción, no como axioma inicial.
Por tanto, la diferencia no está en el contenido matemático de la propiedad, sino en su posición dentro de la cadena de dependencias:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{presentación axiomática:} \quad \text{completitud}\longrightarrow\text{consecuencias},\\[5pt] \text{presentación constructiva:} \quad \text{construcción de }\mathbb R \longrightarrow \text{demostración de completitud}. \end{array} } \]
En nuestra presentación utilizaremos la primera ruta.
Conviene añadir una precisión lógica. En este punto acabamos de adoptar la completitud como hipótesis adicional; todavía no hemos demostrado formalmente dentro del capítulo que no pueda deducirse de los axiomas de cuerpo y orden.
Esa separación quedará certificada más adelante en esta misma sección. Demostraremos que \(\mathbb Q\) es un cuerpo ordenado pero contiene un conjunto no vacío y acotado superiormente que no posee supremo racional. Entonces tendremos un ejemplo de estructura que satisface cuerpo y orden pero falla la propiedad del supremo. Por ello, la completitud contiene información que cuerpo y orden, por sí solos, no fuerzan.
En este capítulo, completitud significará específicamente la propiedad del supremo que acabamos de adoptar.
Más adelante aparecerán otras nociones de completitud, por ejemplo formuladas mediante sucesiones de Cauchy. No las utilizaremos aquí para justificar este axioma: la teoría rigurosa de sucesiones todavía no ha sido desarrollada y las relaciones entre esas formulaciones deberán demostrarse en el lugar correspondiente.
El objetivo de esta presentación no es, por tanto, construir los reales, sino fijar con precisión qué estructura de \(\mathbb R\) utilizaremos para desarrollar el cálculo y qué resultados dependen de cada parte de esa estructura.
Qué autoriza el axioma y qué no
El axioma de completitud es una herramienta de existencia con hipótesis precisas. Antes de invocarlo conviene auditar tres datos.
1. Sistema ambiente. Debemos estar considerando
\[ A\subseteq\mathbb R. \]
La acotación y el supremo se entienden entonces dentro de \(\mathbb R\). Si un conjunto de racionales se considera como subconjunto de \(\mathbb R\), la completitud puede producir un supremo real, pero no afirma que ese supremo pertenezca a \(\mathbb Q\).
2. No vacuidad. Debemos verificar
\[ A\ne\varnothing. \]
En una demostración suele bastar exhibir un testigo concreto
\[ a_0\in A. \]
3. Acotación superior en \(\mathbb R\). Debemos producir al menos un número \(M\in\mathbb R\) tal que
\[ \forall a\in A, \qquad a\le M. \]
Solo después de estas comprobaciones el axioma autoriza exactamente la afirmación
\[ \boxed{ \exists s\in\mathbb R \qquad s=\sup A. } \]
La palabra exactamente importa. La existencia procede del axioma de completitud; la unicidad no. La unicidad del supremo ya fue demostrada en §1.3 a partir de su definición y de la antisimetría del orden.
Por tanto, al combinar ambos resultados obtenemos
\[ \boxed{ \begin{array}{c} A\subseteq\mathbb R,\\ A\ne\varnothing,\\ \exists M\in\mathbb R\;\forall a\in A,\ a\le M \end{array} \quad\Longrightarrow\quad \exists!\,s\in\mathbb R \text{ tal que } s=\sup A. } \]
El cuantificador \(\exists!\) es, pues, una conclusión combinada: completitud aporta existencia y el resultado previo de §1.3 aporta unicidad.
Conviene observar también qué no forma parte de las hipótesis. No necesitamos que \(A\) esté acotado inferiormente. Por ejemplo,
\[ A=(-\infty,0] \]
es no vacío y está acotado superiormente en \(\mathbb R\) por \(0\), aunque no está acotado inferiormente. La completitud se aplica igualmente.
Veamos ahora dos fallos de hipótesis.
Para
\[ A=\varnothing, \]
la condición de no vacuidad falla. El conjunto vacío está acotado superiormente de manera vacua, pero eso no basta para aplicar el axioma.
Para
\[ A=(0,\infty), \]
la no vacuidad sí se cumple, pero no existe ninguna cota superior real. Por tanto, tampoco podemos invocar completitud.
En ambos casos la conclusión del axioma queda fuera de alcance. Lógicamente,
\[ \boxed{ \text{no poder aplicar un teorema} \not\Longrightarrow \text{haber demostrado la negación de su conclusión}. } \]
Cualquier afirmación adicional deberá justificarse por otro argumento.
Hay otras tres cosas que el axioma tampoco afirma.
Primero, no dice que el supremo pertenezca al conjunto. Para
\[ A=(0,1), \]
la completitud garantiza la existencia de un supremo real, y ya demostramos que
\[ \sup A=1, \]
pero
\[ 1\notin A. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ \text{completitud garantiza un supremo, no necesariamente un máximo}. } \]
Segundo, el axioma no calcula el supremo. Puede garantizar que existe un número
\[ s=\sup A \]
sin proporcionar una fórmula explícita para \(s\).
Tercero, tampoco entrega automáticamente propiedades adicionales del objeto construido. Si más adelante definimos un conjunto mediante una ecuación o una desigualdad y obtenemos su supremo por completitud, todavía tendremos que demostrar por separado que esa frontera posee la propiedad concreta que buscamos.
Antes de escribir «por completitud», audite:
- ambiente: ¿el conjunto está siendo considerado dentro de \(\mathbb R\)?;
- testigo: ¿hemos exhibido al menos un elemento del conjunto?;
- cota: ¿hemos exhibido una cota superior en \(\mathbb R\)?;
- conclusión exacta: ¿estamos usando el axioma solamente para afirmar existencia?
Si después escribimos «existe un único supremo», la unicidad proviene del resultado ya demostrado en §1.3. Cualquier identificación o propiedad adicional del supremo requiere trabajo posterior.
El axioma está formulado de manera unilateral, para cotas superiores. En el microtramo siguiente veremos que no hace falta postular por separado la existencia de ínfimos: la versión inferior puede deducirse de esta misma propiedad.
El ínfimo no necesita un segundo axioma
El axioma de completitud fue formulado únicamente para conjuntos no vacíos y acotados superiormente. Podríamos postular una segunda propiedad, dual, para conjuntos acotados inferiormente. No hace falta: la existencia de ínfimos puede deducirse del mismo axioma.
Proposición 1.1 Existencia de ínfimos a partir del axioma de completitud. Todo subconjunto no vacío \(A\subseteq\mathbb R\) que esté acotado inferiormente posee un ínfimo en \(\mathbb R\).
Reuniremos en un solo conjunto todas las cotas inferiores de \(A\):
\[ L=\{\ell\in\mathbb R:\ell\le a\text{ para todo }a\in A\}. \]
La hipótesis de acotación inferior hará que \(L\) sea no vacío. La hipótesis \(A\ne\varnothing\) nos permitirá escoger un elemento de \(A\) que funcione como cota superior de \(L\).
Entonces podremos aplicar completitud a \(L\). Su supremo resultará ser exactamente la mayor de todas las cotas inferiores de \(A\), es decir, \(\inf A\).
Demostración. Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado inferiormente. Definamos
\[ L=\{\ell\in\mathbb R:\forall a\in A,\ \ell\le a\}. \]
Por definición, \(L\) es el conjunto de todas las cotas inferiores de \(A\).
1. \(L\) es no vacío. Como \(A\) está acotado inferiormente, existe algún \(\ell_0\in\mathbb R\) tal que
\[ \forall a\in A, \qquad \ell_0\le a. \]
Por la definición de \(L\),
\[ \ell_0\in L. \]
Por tanto,
\[ L\ne\varnothing. \]
2. \(L\) está acotado superiormente. Como \(A\ne\varnothing\), podemos escoger
\[ a_0\in A. \]
Sea \(\ell\in L\) arbitrario. Puesto que \(\ell\) es una cota inferior de \(A\), debe cumplirse en particular
\[ \ell\le a_0. \]
Así,
\[ \forall\ell\in L, \qquad \ell\le a_0. \]
Por tanto, \(a_0\) es una cota superior de \(L\).
Ya hemos verificado exactamente las dos hipótesis que necesita completitud:
\[ L\ne\varnothing \qquad\text{y}\qquad L\text{ está acotado superiormente}. \]
Existe entonces un número real
\[ s=\sup L. \]
Debemos demostrar que este mismo número es el ínfimo de \(A\). Para ello verificaremos las dos cláusulas de la definición.
3. \(s\) es una cota inferior de \(A\). Sea \(a\in A\) arbitrario. Para todo \(\ell\in L\) tenemos
\[ \ell\le a, \]
porque cada elemento de \(L\) es una cota inferior de \(A\). Esto significa que \(a\) es una cota superior de \(L\).
Como
\[ s=\sup L \]
es la menor cota superior de \(L\),
\[ s\le a. \]
El elemento \(a\in A\) era arbitrario. Por tanto,
\[ \forall a\in A, \qquad s\le a, \]
y así \(s\) es una cota inferior de \(A\). Equivalentemente,
\[ s\in L. \]
4. Ninguna cota inferior de \(A\) es mayor que \(s\). Sea \(\ell\) una cota inferior cualquiera de \(A\). Entonces, por definición,
\[ \ell\in L. \]
Pero \(s=\sup L\) es, en particular, una cota superior de \(L\). Por tanto,
\[ \ell\le s. \]
Hemos demostrado simultáneamente que
\[ s\le a \qquad \text{para todo }a\in A, \]
y que
\[ \ell\le s \qquad \text{para toda cota inferior }\ell\text{ de }A. \]
Estas son exactamente las dos cláusulas que caracterizan al ínfimo. En consecuencia,
\[ \boxed{s=\inf A.} \]
\(\blacksquare\)
La demostración proporciona además una identidad conceptual útil. Si
\[ L=\{\ell\in\mathbb R:\ell\text{ es cota inferior de }A\}, \]
entonces
\[ \boxed{ \inf A=\sup L. } \]
Más aún, como acabamos de demostrar que \(s=\sup L\) pertenece al propio \(L\),
\[ \boxed{ \inf A=\sup L=\max L. } \]
Es decir: el ínfimo de \(A\) es literalmente la mayor de todas sus cotas inferiores.
Las dos hipótesis sobre \(A\) desempeñan funciones distintas:
- \(A\) acotado inferiormente \(\Longrightarrow L\ne\varnothing\);
- \(A\ne\varnothing\) \(\Longrightarrow\) podemos escoger \(a_0\in A\), que sirve como cota superior de \(L\).
Solo después de esas dos verificaciones entra la completitud, una única vez:
\[ L\ne\varnothing \quad+\quad L\text{ acotado superiormente} \quad\Longrightarrow\quad \sup L\text{ existe}. \]
El resto de la prueba utiliza únicamente las definiciones de cota, supremo e ínfimo y las propiedades del orden.
Por tanto, no necesitamos añadir una segunda «propiedad de completitud para ínfimos». La versión inferior ya está contenida en la propiedad del supremo.
Ahora volvamos a \(\mathbb Q\)
La importancia del axioma de completitud sería difícil de apreciar si la misma propiedad fuese válida también en \(\mathbb Q\). Veamos que no lo es.
Consideremos nuevamente
\[ S_{\mathbb Q} = \{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\}. \]
Antes de preguntar por su supremo debemos auditar las dos hipótesis de existencia.
1. \(S_{\mathbb Q}\) es no vacío. El número \(1\) es racional y satisface
\[ 1\ge0 \qquad\text{y}\qquad 1^2=1<2. \]
Por tanto,
\[ 1\in S_{\mathbb Q}, \]
y así
\[ S_{\mathbb Q}\ne\varnothing. \]
2. \(S_{\mathbb Q}\) está acotado superiormente en \(\mathbb Q\). Mostremos que \(2\) es una cota superior racional. Sea
\[ q\in S_{\mathbb Q}. \]
Entonces
\[ q\ge0 \qquad\text{y}\qquad q^2<2. \]
Si ocurriera \(q\ge2\), tendríamos
\[ 0\le2\le q, \]
y la monotonía del cuadrado en los no negativos, Proposición 1.5, daría
\[ 4=2^2\le q^2. \]
Esto contradice \(q^2<2\). Por tanto,
\[ q<2, \]
y en particular
\[ q\le2. \]
Como \(q\in S_{\mathbb Q}\) fue arbitrario,
\[ \forall q\in S_{\mathbb Q}, \qquad q\le2. \]
Así, \(2\in\mathbb Q\) es una cota superior de \(S_{\mathbb Q}\) dentro del sistema racional.
Hemos verificado, pues,
\[ \boxed{ S_{\mathbb Q}\ne\varnothing \qquad\text{y}\qquad S_{\mathbb Q}\text{ está acotado superiormente en }\mathbb Q. } \]
Si \(\mathbb Q\) satisficiera la propiedad del supremo que hemos adoptado para \(\mathbb R\), estas dos condiciones obligarían a que existiera una menor cota superior racional.
Conviene fijar la notación. Escribiremos
\[ s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q} \]
para decir que \(s\in\mathbb Q\) satisface simultáneamente
\[ \forall q\in S_{\mathbb Q}, \qquad q\le s, \]
y
\[ \forall u\in\mathbb Q, \qquad \left[ \bigl(\forall q\in S_{\mathbb Q},\ q\le u\bigr) \Longrightarrow s\le u \right]. \]
Es decir, \(s\) tendría que ser una cota superior racional y, además, la menor entre todas las cotas superiores racionales.
La siguiente proposición demuestra que tal \(s\) no existe.
Proposición 1.2 Fallo de la propiedad del supremo en \(\mathbb Q\). El conjunto
\[ S_{\mathbb Q} = \{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\} \]
es no vacío y está acotado superiormente en \(\mathbb Q\), pero no tiene supremo en \(\mathbb Q\).
Supongamos que existiera
\[ s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}. \]
Como \(1\in S_{\mathbb Q}\) y \(s\) sería una cota superior, tendríamos \(s\ge1\). En particular, podremos aplicar a \(s\) la transformación racional estudiada en §1.4.
La tricotomía deja exactamente tres posibilidades:
\[ s^2<2, \qquad s^2=2, \qquad s^2>2. \]
Cada caso ataca una parte distinta de la definición de supremo.
- Si \(s^2<2\), la transformación producirá un elemento de \(S_{\mathbb Q}\) estrictamente mayor que \(s\). Así, \(s\) dejará de ser siquiera una cota superior.
- Si \(s^2>2\), producirá una cota superior racional estrictamente menor que \(s\). Así, \(s\) dejará de ser la menor cota superior.
- Si \(s^2=2\), contradiremos el resultado de §1.4: ningún racional tiene cuadrado \(2\).
Los tres casos serán imposibles.
Demostración. Supongamos, para obtener una contradicción, que existe un racional
\[ s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}. \]
Por la definición fijada arriba, \(s\) es en particular una cota superior racional de \(S_{\mathbb Q}\):
\[ \forall q\in S_{\mathbb Q}, \qquad q\le s. \]
Como
\[ 1\in S_{\mathbb Q}, \]
obtenemos
\[ 1\le s. \]
En particular,
\[ s>0 \qquad\text{y}\qquad s+2>0, \]
de modo que
\[ s+2\ne0. \]
Aplicaremos al candidato \(s\) la misma transformación estudiada en §1.4:
\[ T(s) = s-\frac{s^2-2}{s+2} = \frac{2(s+1)}{s+2}. \]
Como \(s\in\mathbb Q\), también
\[ s+1\in\mathbb Q, \qquad s+2\in\mathbb Q. \]
Además, \(s+2\ne0\). Puesto que \(\mathbb Q\) es un cuerpo, concluimos
\[ \boxed{T(s)\in\mathbb Q}. \]
Por otra parte,
\[ s+1>0, \qquad s+2>0, \qquad 2>0, \]
así que
\[ \boxed{T(s)>0}. \]
Ya demostramos en §1.4 las dos identidades decisivas:
\[ \boxed{ T(s)-s = \frac{2-s^2}{s+2} } \]
y
\[ \boxed{ T(s)^2-2 = \frac{2(s^2-2)}{(s+2)^2}. } \]
La primera controla la dirección del desplazamiento; la segunda controla el lado respecto de \(2\).
Consideremos los tres casos que proporciona la tricotomía para \(s^2\) y \(2\).
Caso 1: \(s^2<2\). Entonces
\[ 2-s^2>0. \]
Como
\[ s+2>0, \]
la primera identidad da
\[ T(s)-s>0. \]
Por definición del orden,
\[ \boxed{T(s)>s}. \]
Ahora debemos comprobar que este nuevo racional sigue perteneciendo al conjunto. De
\[ s^2<2 \]
obtenemos
\[ s^2-2<0. \]
Además,
\[ \frac{2}{(s+2)^2}>0, \]
pues \(2>0\) y \((s+2)^2>0\). Multiplicar \(s^2-2\) por este factor positivo conserva su signo. Por la segunda identidad,
\[ T(s)^2-2<0, \]
y por tanto
\[ \boxed{T(s)^2<2}. \]
Reunamos las condiciones de pertenencia:
\[ T(s)\in\mathbb Q, \qquad T(s)>0, \qquad T(s)^2<2. \]
Luego
\[ \boxed{T(s)\in S_{\mathbb Q}}. \]
Pero \(s\) es una cota superior de \(S_{\mathbb Q}\). Por consiguiente, todo elemento del conjunto debe satisfacer
\[ q\le s. \]
Particularizando en el elemento \(q=T(s)\in S_{\mathbb Q}\),
\[ T(s)\le s. \]
Esto contradice
\[ T(s)>s. \]
Por tanto,
\[ \boxed{s^2<2\text{ es imposible}.} \]
Caso 2: \(s^2>2\). Entonces
\[ 2-s^2<0. \]
Como ya sabemos que
\[ s+2>0, \]
la identidad
\[ T(s)-s = \frac{2-s^2}{s+2} \]
da
\[ T(s)-s<0. \]
Por definición del orden,
\[ \boxed{T(s)<s}. \]
La segunda identidad controla ahora el lado de la frontera. De
\[ s^2>2 \]
se sigue
\[ s^2-2>0. \]
Además,
\[ \frac{2}{(s+2)^2}>0. \]
Por tanto,
\[ T(s)^2-2 = \frac{2(s^2-2)}{(s+2)^2} >0, \]
y así
\[ \boxed{T(s)^2>2}. \]
Hasta aquí solo sabemos que \(T(s)\) es un racional positivo situado por encima del nivel \(2\) y que además
\[ T(s)<s. \]
Para contradecir la minimalidad de \(s\) todavía debemos demostrar que \(T(s)\) es una cota superior de \(S_{\mathbb Q}\).
Sea, pues,
\[ q\in S_{\mathbb Q} \]
arbitrario. Entonces
\[ q\ge0 \qquad\text{y}\qquad q^2<2. \]
Supongamos, para obtener una contradicción, que
\[ q\ge T(s). \]
Ya demostramos antes de separar los casos que
\[ T(s)>0. \]
Por tanto,
\[ 0<T(s)\le q. \]
La monotonía del cuadrado en los no negativos, Proposición 1.5, implica
\[ T(s)^2\le q^2. \]
Pero acabamos de demostrar
\[ T(s)^2>2, \]
mientras que la pertenencia \(q\in S_{\mathbb Q}\) exige
\[ q^2<2. \]
Obtendríamos entonces
\[ 2<T(s)^2\le q^2<2, \]
una contradicción.
Así, la suposición \(q\ge T(s)\) es imposible y necesariamente
\[ q<T(s). \]
Como \(q\in S_{\mathbb Q}\) era arbitrario,
\[ \boxed{ \forall q\in S_{\mathbb Q}, \qquad q<T(s). } \]
En particular,
\[ \forall q\in S_{\mathbb Q}, \qquad q\le T(s). \]
Por tanto, \(T(s)\) es una cota superior de \(S_{\mathbb Q}\). Y, como ya establecimos que
\[ T(s)\in\mathbb Q, \]
se trata de una cota superior racional.
Ahora entra la segunda cláusula de
\[ s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}. \]
Como \(T(s)\in\mathbb Q\) es una cota superior racional, la minimalidad de \(s\) obliga a que
\[ s\le T(s). \]
Pero antes habíamos obtenido
\[ T(s)<s. \]
Las dos desigualdades son incompatibles. Por tanto,
\[ \boxed{s^2>2\text{ es imposible}.} \]
Caso 3: \(s^2=2\). Recordemos que, desde el comienzo de la contradicción, hemos supuesto
\[ s\in\mathbb Q. \]
Pero en §1.4 demostramos
\[ \forall q\in\mathbb Q, \qquad q^2\ne2. \]
Particularizando esa afirmación en el racional \(s\), obtenemos
\[ s^2\ne2. \]
Esto contradice directamente la hipótesis del caso. Por tanto,
\[ \boxed{s^2=2\text{ es imposible}.} \]
La tricotomía aplicada a \(s^2\) y \(2\) afirma que ocurre exactamente una de las tres posibilidades
\[ s^2<2, \qquad s^2=2, \qquad s^2>2. \]
Hemos demostrado que las tres son imposibles bajo la suposición
\[ s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}. \]
Por tanto, esa suposición inicial debe ser falsa:
\[ \boxed{ \neg\exists s\in\mathbb Q \text{ tal que } s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}. } \]
Equivalentemente,
\[ \boxed{ S_{\mathbb Q} \text{ no posee supremo en }\mathbb Q. } \]
Junto con la no vacuidad y la acotación superior ya demostradas, concluimos que \(\mathbb Q\) falla la propiedad del supremo.
\(\blacksquare\)
Qué hizo realmente la transformación de Rudin
En §1.4 introdujimos
\[ T(p)=p-\frac{p^2-2}{p+2} \]
para demostrar que no existe un último racional positivo con cuadrado menor que \(2\) ni un primero con cuadrado mayor que \(2\).
En la prueba que acabamos de cerrar, las mismas identidades desempeñan una función lógica más precisa. La transformación no intenta encontrar un supremo racional. Hace exactamente lo contrario: permite refutar cualquier candidato racional según el lado del nivel \(2\) en que se encuentre.
Supongamos que \(s\in\mathbb Q\) pretende satisfacer las dos cláusulas de
\[ s=\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}. \]
Hay tres posibilidades.
1. Si \(s^2<2\), falla la condición de cota superior. La transformación produce
\[ T(s)\in S_{\mathbb Q} \qquad\text{y}\qquad T(s)>s. \]
Así existe un elemento permitido situado por encima de \(s\). En símbolos,
\[ \boxed{ s^2<2 \quad\Longrightarrow\quad \exists q\in S_{\mathbb Q}\text{ tal que }q>s. } \]
Por tanto, \(s\) no puede dominar a todos los elementos de \(S_{\mathbb Q}\).
2. Si \(s^2>2\), falla la minimalidad. En este caso la transformación produce un racional \(T(s)\) tal que
\[ T(s)<s \]
y, además,
\[ \forall q\in S_{\mathbb Q}, \qquad q\le T(s). \]
Es decir, \(T(s)\) es una cota superior racional estrictamente menor que \(s\). Por tanto,
\[ \boxed{ s^2>2 \quad\Longrightarrow\quad \exists u\in\mathbb Q \text{ cota superior de }S_{\mathbb Q} \text{ con }u<s. } \]
Así, aun cuando \(s\) fuese una cota superior, no podría ser la menor.
3. Si \(s^2=2\), falla la racionalidad del candidato. Este caso no lo descarta la transformación, sino Proposición 1.9:
\[ \boxed{ \forall q\in\mathbb Q, \qquad q^2\ne2. } \]
Por eso los tres casos atacan exactamente las tres posibilidades abiertas por la tricotomía, pero no todos con la misma herramienta: \(T\) elimina las dos desigualdades estrictas y la inexistencia racional de una raíz elimina la igualdad.
Podemos condensar la arquitectura así:
\[ \boxed{ \begin{array}{ccl} s^2<2 &\Longrightarrow& \text{$s$ no es cota superior},\\[4pt] s^2>2 &\Longrightarrow& \text{$s$ no es la menor cota superior},\\[4pt] s^2=2 &\Longrightarrow& \text{contradicción con }s\in\mathbb Q. \end{array} } \]
En consecuencia, todo candidato racional falla antes de poder satisfacer simultáneamente las dos cláusulas de supremo.
Esta es la función estructural de la transformación de Rudin: no aproxima por sí sola un objeto cuya existencia ya conozcamos, ni produce una frontera racional. Es un mecanismo de exclusión que muestra cómo fracasa cada candidato posible dentro de \(\mathbb Q\).
El resultado tiene además una consecuencia lógica que habíamos dejado pendiente. Ya sabemos que
\[ \mathbb Q \]
es un cuerpo ordenado, pero acabamos de exhibir en él un conjunto no vacío y acotado superiormente que no posee supremo racional. Por tanto,
\[ \boxed{ \text{cuerpo} + \text{orden} \not\Longrightarrow \text{completitud}. } \]
Así, la completitud contiene información estructural genuinamente adicional. El «hueco» no consiste simplemente en que «faltan irracionales», sino en que \(\mathbb Q\) no garantiza la existencia interna de ciertas fronteras que su propio orden permite describir.
El mismo problema dentro de \(\mathbb R\)
Cambiemos ahora el sistema ambiente. Consideremos
\[ S_{\mathbb R} = \{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^2<2\}. \]
La desigualdad que define el conjunto es la misma que antes, pero ahora los candidatos y las cotas pertenecen a \(\mathbb R\). Por eso podemos intentar aplicar el axioma de completitud.
Antes debemos verificar sus dos hipótesis.
1. \(S_{\mathbb R}\) es no vacío. El número \(1\) es real y satisface
\[ 1\ge0 \qquad\text{y}\qquad 1^2=1<2. \]
Por tanto,
\[ \boxed{1\in S_{\mathbb R}}, \]
y así
\[ S_{\mathbb R}\ne\varnothing. \]
2. \(S_{\mathbb R}\) está acotado superiormente. Mostremos que \(2\) es una cota superior. Sea
\[ x\in S_{\mathbb R}. \]
Entonces
\[ x\ge0 \qquad\text{y}\qquad x^2<2. \]
Si ocurriera \(x\ge2\), tendríamos
\[ 0\le2\le x. \]
La monotonía del cuadrado en los no negativos, Proposición 1.5, daría
\[ 4=2^2\le x^2, \]
en contradicción con \(x^2<2\). Por tanto,
\[ x<2, \]
y en particular
\[ x\le2. \]
Como \(x\in S_{\mathbb R}\) fue arbitrario,
\[ \boxed{ \forall x\in S_{\mathbb R}, \qquad x\le2. } \]
Así, \(2\) es una cota superior real de \(S_{\mathbb R}\).
Hemos verificado exactamente las hipótesis del axioma:
\[ S_{\mathbb R}\ne\varnothing \qquad\text{y}\qquad S_{\mathbb R}\text{ está acotado superiormente en }\mathbb R. \]
Por completitud existe un número real
\[ \boxed{ \alpha=\sup S_{\mathbb R}. } \]
Ejemplo 1.1 La completitud produce la frontera antes de que sepamos identificarla. La afirmación
\[ \alpha=\sup S_{\mathbb R} \]
significa que \(\alpha\in\mathbb R\) satisface simultáneamente
\[ \forall x\in S_{\mathbb R}, \qquad x\le\alpha, \]
y
\[ \forall u\in\mathbb R, \qquad \left[ \bigl(\forall x\in S_{\mathbb R},\ x\le u\bigr) \Longrightarrow \alpha\le u \right]. \]
La completitud garantiza la existencia de ese número. La unicidad procede de la unicidad general del supremo demostrada en §1.3.
Podemos extraer inmediatamente dos cotas para \(\alpha\).
Como
\[ 1\in S_{\mathbb R} \]
y \(\alpha\) es una cota superior,
\[ 1\le\alpha. \]
Por otra parte, \(2\) es una cota superior de \(S_{\mathbb R}\) y \(\alpha\) es la menor de todas ellas. Por tanto,
\[ \alpha\le2. \]
Así,
\[ \boxed{ 1\le\alpha\le2. } \]
En este punto sabemos rigurosamente que existe una frontera real y sabemos dónde está localizada. Pero completitud no nos ha entregado todavía la propiedad que motivó toda la construcción.
No hemos demostrado aún
\[ \alpha^2=2. \]
Tampoco tenemos derecho todavía a escribir
\[ \alpha=\sqrt2, \]
porque la notación \(\sqrt2\) como nombre de una raíz real positiva solo quedará legitimada después de probar esa existencia e identificación.
El trabajo se divide, por tanto, en dos etapas distintas:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{completitud}\\ \downarrow\\ \text{existe }\alpha=\sup S_{\mathbb R}\\ \downarrow\\ \text{demostrar que }\alpha^2=2. \end{array} } \]
La primera etapa acaba de cerrarse. La segunda será el objetivo de §1.6, y requerirá un argumento adicional de álgebra y orden: la completitud fabrica el candidato, pero no lo identifica automáticamente.
El sistema ambiente importa
Conviene separar dos cambios que podrían confundirse. En el apartado anterior pasamos de \(S_{\mathbb Q}\) a \(S_{\mathbb R}\) y, al mismo tiempo, pasamos de trabajar en \(\mathbb Q\) a trabajar en \(\mathbb R\). Para aislar el papel del sistema ambiente, mantengamos ahora fijo el conjunto
\[ S_{\mathbb Q}=\{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\} \]
y cambiemos únicamente el universo en el que buscamos sus cotas.
Si trabajamos dentro de \(\mathbb Q\), las cotas superiores admisibles deben ser racionales. Podemos reunirlas en
\[ U_{\mathbb Q} = \{u\in\mathbb Q:\forall q\in S_{\mathbb Q},\ q\le u\}. \]
Preguntar por \(\sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q}\) significa preguntar si \(U_{\mathbb Q}\) posee un menor elemento. Acabamos de demostrar que no lo posee.
Pero como
\[ \mathbb Q\subset\mathbb R, \]
podemos considerar exactamente los mismos elementos de \(S_{\mathbb Q}\) como un subconjunto de \(\mathbb R\). Entonces cambia el universo de cotas posibles:
\[ U_{\mathbb R} = \{u\in\mathbb R:\forall q\in S_{\mathbb Q},\ q\le u\}. \]
El conjunto \(S_{\mathbb Q}\) sigue siendo no vacío y \(2\) sigue siendo una cota superior. Por completitud de \(\mathbb R\) existe, por tanto,
\[ \boxed{ \beta=\sup_{\mathbb R}S_{\mathbb Q}. } \]
Este nuevo supremo no puede ser racional. En efecto, supongamos que
\[ \beta\in\mathbb Q. \]
Como \(\beta\) es una cota superior real de \(S_{\mathbb Q}\), sería también una cota superior racional, es decir,
\[ \beta\in U_{\mathbb Q}. \]
Además, si \(u\in U_{\mathbb Q}\), entonces \(u\) es también una cota superior real; por la minimalidad de \(\beta\) en \(\mathbb R\),
\[ \beta\le u. \]
Así, \(\beta\) sería el menor elemento de \(U_{\mathbb Q}\), contradiciendo que \(S_{\mathbb Q}\) no posee supremo en \(\mathbb Q\). Luego
\[ \boxed{ \beta\notin\mathbb Q. } \]
No hay contradicción entre
\[ \sup_{\mathbb Q}S_{\mathbb Q} \quad\text{no existe} \]
y
\[ \sup_{\mathbb R}S_{\mathbb Q} = \beta \quad\text{sí existe}. \]
Son dos preguntas diferentes porque las cotas admisibles pertenecen a sistemas distintos. Un candidato real no racional sencillamente no estaba disponible en el primer problema.
Tampoco necesitamos identificar todavía \(\beta\) con el número
\[ \alpha=\sup S_{\mathbb R} \]
obtenido en el apartado anterior. Esa sería una afirmación adicional acerca de la relación entre los racionales y los reales. Para el argumento presente basta algo más elemental y más importante: el conjunto se ha mantenido fijo y solo ha cambiado el sistema ambiente.
Por eso, cuando exista ambigüedad, escribiremos si hace falta
\[ \sup_{\mathbb Q}A \qquad\text{o}\qquad \sup_{\mathbb R}A. \]
En nuestro desarrollo habitual, una vez fijado \(A\subseteq\mathbb R\), la notación abreviada
\[ \sup A \]
significará siempre el supremo calculado en \(\mathbb R\).
Antes de seguir
1. Cambio de ambiente y retorno. Sea \(A\subseteq\mathbb Q\) no vacío. Supón que, considerado como subconjunto de \(\mathbb R\), posee supremo
\[ s=\sup_{\mathbb R}A \]
y que además
\[ s\in\mathbb Q. \]
Demuestra, sin utilizar densidad, que \(A\) posee supremo en \(\mathbb Q\) y que
\[ \boxed{ \sup_{\mathbb Q}A=s. } \]
Respuesta. Debemos verificar las dos cláusulas del supremo, ahora dentro de \(\mathbb Q\).
Como \(s=\sup_{\mathbb R}A\), en particular
\[ \forall a\in A, \qquad a\le s. \]
Además, \(s\in\mathbb Q\). Por tanto, \(s\) es una cota superior racional de \(A\).
Sea ahora \(u\in\mathbb Q\) cualquier otra cota superior racional de \(A\). Entonces
\[ \forall a\in A, \qquad a\le u. \]
Pero \(u\in\mathbb R\), de modo que \(u\) es también una cota superior real de \(A\). Como \(s\) es la menor cota superior en \(\mathbb R\),
\[ s\le u. \]
Así, \(s\) es menor o igual que toda cota superior racional. Reuniendo ambas condiciones,
\[ \boxed{ s=\sup_{\mathbb Q}A. } \]
El argumento utiliza únicamente la definición de supremo y la inclusión \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R\); no necesita ningún resultado de densidad.
2. Reflejar un conjunto para aplicar completitud. Sea \(A\subseteq\mathbb R\) no vacío y acotado inferiormente, y define
\[ -A=\{-a:a\in A\}. \]
Sin citar Proposición 1.10, verifica que \(-A\) satisface las hipótesis del axioma de completitud y determina qué número aparece naturalmente como candidato para \(\inf A\).
Respuesta. Como \(A\ne\varnothing\), podemos escoger
\[ a_0\in A. \]
Entonces
\[ -a_0\in -A, \]
así que
\[ -A\ne\varnothing. \]
Como \(A\) está acotado inferiormente, existe \(m\in\mathbb R\) tal que
\[ \forall a\in A, \qquad m\le a. \]
Al multiplicar por \(-1\) se invierte el orden:
\[ -a\le -m. \]
Por tanto,
\[ \forall(-a)\in -A, \qquad -a\le -m, \]
y \(-m\) es una cota superior de \(-A\).
Ya podemos aplicar completitud:
\[ \boxed{ s=\sup(-A) \text{ existe en }\mathbb R. } \]
Como la reflexión \(x\mapsto -x\) invierte el orden, el candidato natural para la mayor cota inferior de \(A\) es
\[ \boxed{-s=-\sup(-A).} \]
Aquí solo hemos fabricado y motivado el candidato. La demostración completa de que realmente satisface las dos cláusulas del ínfimo reaparecerá más adelante como ejercicio de transferencia.
La diferencia decisiva
A esta altura ya podemos aislar con precisión qué aporta la completitud. Los axiomas de cuerpo y de orden permiten operar, comparar, definir cotas y formular qué significaría ser una menor cota superior. Pero no obligan a que esa frontera pertenezca al sistema.
El ejemplo racional lo demuestra. El conjunto
\[ S_{\mathbb Q}=\{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\} \]
es no vacío y está acotado superiormente en \(\mathbb Q\), pero no posee supremo racional. Por tanto,
\[ \boxed{ \text{cuerpo ordenado} \not\Longrightarrow \text{completitud}. } \]
La completitud de \(\mathbb R\) añade precisamente una afirmación de existencia:
\[ \boxed{ A\subseteq\mathbb R, \quad A\ne\varnothing, \quad A\text{ acotado superiormente} \quad\Longrightarrow\quad \sup A\in\mathbb R. } \]
La diferencia estructural no consiste solo en decir que \(\mathbb R\) contiene números que \(\mathbb Q\) no contiene. El punto decisivo es que, en \(\mathbb R\), determinados problemas de frontera que pueden formularse mediante el orden tienen garantizada una solución interna.
Esto permite separar dos trabajos que conviene no confundir:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{completitud: existe la frontera}\\[4pt] \text{álgebra y orden: identificamos qué propiedad satisface.} \end{array} } \]
En §1.6 aplicaremos exactamente esta arquitectura. Ya sabemos que existe
\[ \alpha=\sup\{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^2<2\}. \]
Lo que falta no es producir otro candidato, sino demostrar que el candidato garantizado por completitud satisface
\[ \alpha^2=2. \]
Esa identificación se obtendrá sin continuidad ni límites, utilizando únicamente las herramientas algebraicas y de orden ya desarrolladas.