1.6 — Completitud en acción: existencia de raíces
1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud
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1.6 Completitud en acción: existencia de raíces
La frontera ya existe; ahora debemos identificarla
En §1.5 la completitud hizo exactamente el trabajo que le correspondía. Para
\[ S_{\mathbb R}=\{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^2<2\} \]
quedó garantizada la existencia de un número real
\[ \alpha=\sup S_{\mathbb R}. \]
A partir de aquí el problema cambia de naturaleza. Ya no necesitamos producir una frontera: necesitamos identificarla. En concreto, debemos demostrar
\[ \boxed{ \alpha=\sup S_{\mathbb R} \quad\Longrightarrow\quad \alpha^2=2. } \]
La completitud, por sí sola, no calcula el supremo ni afirma qué ecuación satisface. Su intervención terminó al asegurar que \(\alpha\) existe. La identificación posterior dependerá de las herramientas que ya hemos desarrollado:
- el álgebra del cuerpo;
- las propiedades del orden;
- las dos cláusulas que caracterizan al supremo: ser cota superior y ser la menor de las cotas superiores.
No utilizaremos continuidad de \(x\mapsto x^2\), ni límites, ni sucesiones convergentes. Esos conceptos todavía no forman parte de nuestra teoría.
La estrategia será perturbativa. Si \(\alpha^2\) fuese menor o mayor que \(2\), intentaremos desplazar ligeramente a \(\alpha\) y hacer fracasar una de las dos cláusulas que definen al supremo. La igualdad \(\alpha^2=2\) aparecerá entonces como la única posibilidad compatible con ambas.
Qué significaría que el supremo estuviese en el lugar equivocado
Para aislar la lógica del argumento, reemplacemos temporalmente \(2\) por un real positivo arbitrario \(a\) y consideremos
\[ S_a=\{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^2<a\}. \]
Supongamos que ya hemos verificado las hipótesis necesarias para que exista
\[ \alpha=\sup S_a. \]
La tricotomía deja exactamente tres posibilidades:
\[ \alpha^2<a, \qquad \alpha^2=a, \qquad \alpha^2>a. \]
La igualdad es la conclusión buscada. Las otras dos alternativas deben fracasar por razones distintas, y cada una entra en conflicto con una cláusula diferente de la definición de supremo.
Primer modo de fracaso: \(\alpha\) dejaría de ser una cota superior. Si
\[ \alpha^2<a, \]
existe un margen positivo
\[ a-\alpha^2>0. \]
Si podemos elegir \(h>0\) suficientemente pequeño para que
\[ (\alpha+h)^2<a, \]
entonces
\[ \alpha+h\in S_a \]
y, al mismo tiempo,
\[ \alpha+h>\alpha. \]
Eso contradice la primera obligación del supremo:
\[ \forall x\in S_a, \qquad x\le\alpha. \]
Segundo modo de fracaso: \(\alpha\) dejaría de ser la menor cota superior. Si
\[ \alpha^2>a, \]
existe un exceso positivo
\[ \alpha^2-a>0. \]
Si podemos encontrar \(c<\alpha\) tal que
\[ c^2>a, \]
entonces ningún elemento de \(S_a\) puede alcanzar a \(c\). En efecto, si \(x\in S_a\) y \(x\ge c\), la monotonía del cuadrado en los no negativos daría
\[ x^2\ge c^2>a, \]
en contradicción con \(x^2<a\). Por tanto, \(c\) sería una cota superior de \(S_a\) con
\[ c<\alpha, \]
lo que contradice la segunda obligación del supremo: ser la menor de todas las cotas superiores.
La arquitectura queda así completamente separada:
\[ \boxed{ \begin{array}{ccl} \alpha^2<a &\Longrightarrow& \text{fracasa la condición de cota superior},\\[4pt] \alpha^2>a &\Longrightarrow& \text{fracasa la condición de minimalidad}. \end{array} } \]
Una vez construidas las dos perturbaciones, la tricotomía dejará únicamente
\[ \alpha^2=a. \]
El trabajo que queda es, por tanto, cuantitativo: elegir las perturbaciones de manera que las desigualdades anteriores queden garantizadas por el álgebra ya disponible.
Cómo se diseña una perturbación controlada
En la prueba que sigue habremos establecido que
\[ a>0 \qquad\text{y}\qquad \alpha>0. \]
Esto nos permite convertir las dos contradicciones anteriores en elecciones explícitas.
Perturbación hacia la derecha. Supongamos primero
\[ \alpha^2<a \]
y definamos el defecto
\[ \delta=a-\alpha^2>0. \]
Queremos elegir \(h>0\) de modo que
\[ (\alpha+h)^2<a. \]
Como
\[ (\alpha+h)^2 = \alpha^2+h(2\alpha+h), \]
basta controlar el término añadido. Si imponemos \(h<\alpha\), entonces
\[ 2\alpha+h<3\alpha. \]
Por ello es suficiente exigir además
\[ 3\alpha h<\delta. \]
Una sola elección garantiza simultáneamente ambas condiciones:
\[ \boxed{ h= \frac12 \min\left\{ \alpha,\frac{\delta}{3\alpha} \right\}. } \]
En efecto,
\[ 0<h<\alpha \qquad\text{y}\qquad 3\alpha h<\delta, \]
de modo que
\[ (\alpha+h)^2 < \alpha^2+\delta = a. \]
La perturbación produce así un elemento de \(S_a\) estrictamente mayor que \(\alpha\).
Perturbación hacia la izquierda. Supongamos ahora
\[ \alpha^2>a \]
y midamos el exceso mediante
\[ E=\alpha^2-a>0. \]
Buscamos un número \(c<\alpha\) cuyo cuadrado siga por encima de \(a\). Definimos
\[ \boxed{ c = \alpha-\frac{E}{2\alpha} = \frac12\left(\alpha+\frac{a}{\alpha}\right). } \]
Como \(E>0\),
\[ c<\alpha, \]
y como \(a,\alpha>0\),
\[ c>0. \]
Además, el nuevo exceso puede calcularse exactamente:
\[ \begin{aligned} c^2-a &= \left(\alpha-\frac{\alpha^2-a}{2\alpha}\right)^2-a\\ &= \frac{(\alpha^2-a)^2}{4\alpha^2}\\ &>0. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ c^2>a. \]
Las dos construcciones responden al mismo patrón:
\[ \boxed{ \text{medir el defecto} \longrightarrow \text{elegir una corrección} \longrightarrow \text{controlar el nuevo defecto}. } \]
Ya no queda ninguna elección heurística pendiente. Podemos utilizar estas perturbaciones dentro de la demostración formal.
Teorema 1.1 Existencia y unicidad de la raíz cuadrada no negativa. Para todo número real \(a\ge0\) existe un único número real \(\alpha\ge0\) tal que
\[ \alpha^2=a. \]
Cuando \(a>0\), este número es positivo.
Para \(a>0\) consideraremos el conjunto de los números no negativos cuyo cuadrado aún queda por debajo de \(a\). La completitud se utilizará una sola vez, para garantizar que ese conjunto tiene supremo. Las dos perturbaciones construidas inmediatamente antes excluirán después las posibilidades \(\alpha^2<a\) y \(\alpha^2>a\). La unicidad se obtendrá al final mediante la monotonía estricta del cuadrado en los números no negativos.
Demostración. Si \(a=0\), el número \(0\) satisface \(0^2=0\), de modo que la existencia es inmediata. La unicidad se demostrará al final junto con el caso general.
Supongamos ahora que \(a>0\) y definamos
\[ S_a=\{x\in\mathbb R:x\ge0,\ x^2<a\}. \]
Antes de invocar completitud debemos verificar que \(S_a\) es no vacío y está acotado superiormente.
1. \(S_a\) es no vacío. Sea
\[ r=\frac{a}{1+a}. \]
Como \(a>0\), se tiene
\[ 0<r<1 \qquad\text{y}\qquad r<a. \]
Por tanto,
\[ r^2<r<a, \]
y así \(r\in S_a\).
2. \(S_a\) está acotado superiormente. El número \(a+1\) es una cota superior. En efecto, si \(x\in S_a\) y fuese \(x\ge a+1\), como ambos números son no negativos, la monotonía del cuadrado daría
\[ x^2\ge(a+1)^2>a, \]
en contradicción con \(x^2<a\).
Ahora sí interviene la completitud: como \(S_a\) es no vacío y está acotado superiormente, el axioma del supremo garantiza la existencia de
\[ \alpha=\sup S_a. \]
Este es el único paso de la demostración en el que se usa completitud.
Además, como \(r\in S_a\) y \(r>0\),
\[ \alpha\ge r>0. \]
Queda identificar este supremo. Por tricotomía, exactamente una de las relaciones
\[ \alpha^2<a, \qquad \alpha^2=a, \qquad \alpha^2>a \]
debe cumplirse.
Caso 1: \(\alpha^2<a\). Pongamos
\[ \delta=a-\alpha^2>0 \]
y elijamos, como en la perturbación hacia la derecha construida arriba,
\[ h= \frac12 \min\left\{ \alpha,\frac{\delta}{3\alpha} \right\}. \]
La construcción precedente garantiza
\[ h>0 \qquad\text{y}\qquad (\alpha+h)^2<a. \]
Por tanto, \(\alpha+h\in S_a\), pero \(\alpha+h>\alpha\). Esto contradice que \(\alpha\) sea una cota superior de \(S_a\). Luego \(\alpha^2<a\) es imposible.
Caso 2: \(\alpha^2>a\). Definamos, como en la perturbación hacia la izquierda,
\[ c = \alpha-\frac{\alpha^2-a}{2\alpha} = \frac12\left( \alpha+\frac a\alpha \right). \]
La construcción precedente garantiza
\[ 0<c<\alpha \qquad\text{y}\qquad c^2>a. \]
Veamos que \(c\) es una cota superior de \(S_a\). Si \(x\in S_a\) y fuese \(x\ge c\), entonces, como \(x,c\ge0\), la monotonía del cuadrado implicaría
\[ x^2\ge c^2>a, \]
en contradicción con \(x^2<a\). Por consiguiente, todo \(x\in S_a\) satisface \(x<c\), de modo que \(c\) es una cota superior de \(S_a\).
Pero \(c<\alpha\), lo cual contradice que \(\alpha\) sea la menor cota superior de \(S_a\). Luego \(\alpha^2>a\) es imposible.
La tricotomía deja entonces una única posibilidad:
\[ \boxed{\alpha^2=a.} \]
Esto demuestra la existencia. Como además \(\alpha>0\) cuando \(a>0\), queda probada también la afirmación de positividad.
Falta la unicidad. Sean \(u,v\ge0\) tales que
\[ u^2=a, \qquad v^2=a. \]
Si \(u<v\), la monotonía estricta del cuadrado en los números no negativos daría \(u^2<v^2\), contradicción. Del mismo modo, \(v<u\) es imposible. Por tricotomía,
\[ u=v. \]
Por consiguiente, para todo \(a\ge0\) existe exactamente una raíz cuadrada no negativa. \(\blacksquare\)
Dónde entró realmente la completitud
La prueba anterior permite localizar con precisión la dependencia lógica. Primero verificamos, usando solo álgebra y orden, que
\[ S_a\ne\varnothing \qquad\text{y}\qquad S_a\text{ está acotado superiormente}. \]
Solo entonces interviene la completitud, y lo hace una única vez:
\[ \boxed{\alpha=\sup S_a\text{ existe}.} \]
El axioma no afirma que \(\alpha^2=a\) ni proporciona la unicidad de la raíz. A partir de \(\alpha=\sup S_a\), esas tareas se resuelven con las propiedades del supremo, las perturbaciones ya construidas y el orden:
- si \(\alpha^2<a\), una perturbación hacia la derecha produce un elemento de \(S_a\) mayor que \(\alpha\), contradiciendo que \(\alpha\) sea cota superior;
- si \(\alpha^2>a\), una perturbación hacia la izquierda produce una cota superior menor que \(\alpha\), contradiciendo su minimalidad;
- descartadas ambas desigualdades, la tricotomía obliga a que \(\alpha^2=a\);
- una vez obtenida la existencia, la monotonía estricta del cuadrado en los no negativos da la unicidad.
La arquitectura completa queda así:
\[ \boxed{ \text{hipótesis del supremo} \xrightarrow{\text{completitud}} \text{existencia de }\alpha \xrightarrow{\text{álgebra + orden}} \alpha^2=a \xrightarrow{\text{monotonía}} \text{unicidad}. } \]
Este patrón será recurrente en cálculo: una propiedad de existencia fabrica un candidato; después, argumentos adicionales lo identifican y determinan si es único.
Ahora sí podemos definir \(\sqrt a\)
Hasta este punto habíamos evitado utilizar la notación de raíz cuadrada como si la existencia del número designado fuese automática. El teorema anterior elimina esa dificultad: para cada \(a\ge0\) existe un único real no negativo cuyo cuadrado es \(a\).
Definimos, por tanto,
\[ \boxed{\sqrt a} \]
como el único número real no negativo que satisface
\[ (\sqrt a)^2=a. \]
En particular,
\[ \sqrt a\ge0. \]
El símbolo \(\sqrt a\) designa un solo número; el signo \(\pm\) no forma parte de esta definición. Si \(a<0\), ningún real tiene cuadrado igual a \(a\), porque todo cuadrado real es no negativo. Por ello, dentro de \(\mathbb R\), la notación \(\sqrt a\) queda reservada para \(a\ge0\).
Conviene distinguir ahora la raíz no negativa de las soluciones de la ecuación
\[ x^2=a. \]
Si \(a=0\), la única solución es \(x=0=\sqrt0\). Si \(a>0\), entonces \(\sqrt a>0\), y tanto \(\sqrt a\) como \(-\sqrt a\) tienen cuadrado \(a\). Recíprocamente, sea \(x\in\mathbb R\) tal que \(x^2=a\). Como \(a>0\), tenemos \(x\ne0\). Si \(x>0\), la unicidad de la raíz no negativa obliga a que \(x=\sqrt a\). Si \(x<0\), entonces \(-x>0\) y
\[ (-x)^2=x^2=a, \]
de modo que, por la misma unicidad, \(-x=\sqrt a\) y por tanto \(x=-\sqrt a\).
Así, para \(a>0\),
\[ \boxed{x^2=a\iff x=\sqrt a\ \text{o}\ x=-\sqrt a.} \]
La unicidad del teorema se refiere, pues, a la raíz cuadrada no negativa; la ecuación \(x^2=a\) tiene dos soluciones reales distintas cuando \(a>0\).
La raíz que faltaba desde §1.4
Podemos regresar finalmente a la ecuación
\[ x^2=2. \]
Como \(2>0\), el teorema garantiza que existe un único número real positivo
\[ \sqrt2 \]
tal que
\[ (\sqrt2)^2=2. \]
La existencia y la notación están ahora justificadas. Además, podemos localizar este número sin recurrir a aproximaciones decimales. Como
\[ 1^2<2=(\sqrt2)^2, \]
no puede ocurrir \(\sqrt2\le1\): en tal caso, de \(0\le\sqrt2\le1\) y la monotonía del cuadrado en los no negativos se seguiría
\[ 2=(\sqrt2)^2\le1, \]
una contradicción. Del mismo modo, como
\[ (\sqrt2)^2=2<4=2^2, \]
no puede ocurrir \(\sqrt2\ge2\), pues \(0\le2\le\sqrt2\) implicaría
\[ 4\le(\sqrt2)^2=2. \]
Por tanto,
\[ \boxed{1<\sqrt2<2.} \]
En §1.4 demostramos que ningún racional tiene cuadrado igual a \(2\). Como \(\sqrt2\in\mathbb R\) y \((\sqrt2)^2=2\), necesariamente
\[ \boxed{\sqrt2\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.} \]
Ahora sí podemos reunir las dos afirmaciones que al comienzo debían mantenerse separadas:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \text{existe un número real positivo cuyo cuadrado es }2,\\[3pt] \text{y ningún número racional posee esa propiedad.} \end{array} } \]
El «hueco» racional queda así expresado con precisión: no faltaba un intervalo sin números racionales, sino una frontera que \(\mathbb Q\) no podía realizar internamente. En \(\mathbb R\), la completitud garantiza la existencia de esa frontera y el argumento anterior la identifica como \(\sqrt2\).
Una prueba sin continuidad
Más adelante, una vez desarrollada la continuidad, podremos obtener también la existencia de raíces mediante resultados como el teorema del valor intermedio. Aquí esa ruta sería lógicamente prematura: ni la continuidad ni ese teorema forman todavía parte de nuestra teoría.
La dependencia construida en este capítulo va en la dirección opuesta:
\[ \boxed{ \text{completitud} \longrightarrow \text{existencia del supremo} \xrightarrow{\text{álgebra + orden}} \text{existencia de raíces} \longrightarrow \text{cálculo posterior}. } \]
En particular, la demostración no ha utilizado:
- límites;
- convergencia de sucesiones;
- continuidad;
- teorema del valor intermedio;
- Bolzano–Weierstrass.
La raíz se obtuvo únicamente con álgebra del cuerpo, propiedades del orden y completitud. Más adelante podremos demostrar el mismo hecho por otras vías, pero sin invertir retroactivamente esta cadena de dependencias.
Antes de seguir
1. Demuestra que, para todo \(x\in\mathbb R\),
\[ \boxed{\sqrt{x^2}=|x|}. \]
Respuesta. Como \(x^2\ge0\), la raíz \(\sqrt{x^2}\) está definida. Además, \(|x|\ge0\) y
\[ |x|^2=x^2. \]
Así, \(|x|\) es un número no negativo cuyo cuadrado es \(x^2\). Por la unicidad de la raíz cuadrada no negativa,
\[ \boxed{\sqrt{x^2}=|x|}. \]
En particular, no puede reemplazarse \(|x|\) por \(x\) sin conocer previamente el signo de \(x\).
2. Si \(0\le a<b\), demuestra que
\[ \sqrt a<\sqrt b. \]
Respuesta. Supongamos, por contradicción, que
\[ \sqrt a\ge\sqrt b. \]
Como ambas raíces son no negativas, tendríamos
\[ 0\le\sqrt b\le\sqrt a. \]
La monotonía del cuadrado en los no negativos daría entonces
\[ b=(\sqrt b)^2\le(\sqrt a)^2=a, \]
lo cual contradice \(a<b\). Por tanto,
\[ \boxed{\sqrt a<\sqrt b}. \]
Del primer hueco a una herramienta permanente
La ecuación \(x^2=2\) fue el problema que hizo visible la insuficiencia de \(\mathbb Q\), pero el resultado obtenido no pertenece solo a ese ejemplo. Hemos demostrado que
\[ \boxed{ \forall a\ge0\quad\exists!\,\alpha\ge0\quad \alpha^2=a. } \]
Así, para cada real no negativo existe una raíz cuadrada no negativa bien determinada. La completitud aporta el paso de existencia decisivo: cuando \(a>0\), garantiza el supremo del conjunto adecuado. Después, el álgebra y el orden identifican ese supremo mediante \(\alpha^2=a\), y la monotonía del cuadrado proporciona la unicidad.
La sección deja, por tanto, algo más que la existencia de \(\sqrt2\): deja una arquitectura reutilizable,
\[ \boxed{ \text{conjunto adecuado} \xrightarrow{\text{completitud}} \text{supremo} \xrightarrow{\text{álgebra + orden}} \text{propiedad buscada}. } \]
En §1.7 aplicaremos la completitud de otra manera. Ya no construiremos la solución de una ecuación: supondremos que \(\mathbb N\) está acotado superiormente y mostraremos que la existencia de un supremo conduce a una contradicción. Obtendremos así la propiedad arquimediana: ningún número real puede ser una cota superior de todos los naturales.