1.7 — La propiedad arquimediana
1 Los números reales: axiomas de cuerpo, orden y completitud
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1.7 La propiedad arquimediana
¿Pueden los naturales quedar atrapados bajo un número real?
En §1.6 utilizamos la completitud de manera constructiva: una vez verificadas las hipótesis del supremo, el axioma produjo una frontera real que después identificamos mediante álgebra y orden. Ahora la emplearemos de otra manera: supondremos que cierto conjunto está acotado y mostraremos que el supremo cuya existencia impondría la completitud conduce a una contradicción.
La afirmación que queremos obtener es familiar desde la aritmética:
por grande que sea un número real, siempre existe un número natural mayor.
Lo que debemos demostrar no es una colección de casos particulares, sino la afirmación universal
\[ \forall x\in\mathbb R\;\exists n\in\mathbb N\quad n>x. \]
En nuestro desarrollo esta propiedad no se dará por supuesta: la deduciremos de la completitud.
Teorema 1.1 Propiedad arquimediana. El conjunto \(\mathbb N\) no está acotado superiormente en \(\mathbb R\). Equivalentemente, para todo \(x\in\mathbb R\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>x. \]
Supongamos, por contradicción, que \(\mathbb N\) está acotado superiormente. Como es no vacío, la completitud produciría
\[ \alpha=\sup\mathbb N. \]
La caracterización aproximativa del supremo, aplicada con \(\varepsilon=1\), daría un natural \(n\) situado a menos de una unidad por debajo de \(\alpha\):
\[ \alpha-1<n\le\alpha. \]
Pero entonces \(n+1\) seguiría siendo natural y satisfaría \(n+1>\alpha\), contradiciendo que \(\alpha\) fuese una cota superior.
Demostración. Supongamos, para obtener una contradicción, que \(\mathbb N\) está acotado superiormente en \(\mathbb R\). Como \(\mathbb N\) es no vacío, el axioma de completitud garantiza la existencia de
\[ \alpha=\sup\mathbb N. \]
Puesto que \(1>0\), podemos aplicar la caracterización aproximativa del supremo, Proposición 1.8, con \(\varepsilon=1\). Existe entonces \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \alpha-1<n\le\alpha. \]
De la primera desigualdad, sumando \(1\), obtenemos
\[ \alpha<n+1. \]
Pero \(n+1\in\mathbb N\). Como \(\alpha\) es una cota superior de \(\mathbb N\), también debería cumplirse
\[ n+1\le\alpha, \]
lo cual es imposible. Por tanto, \(\mathbb N\) no está acotado superiormente en \(\mathbb R\). \(\blacksquare\)
La dependencia es especialmente limpia:
- completitud: bajo la hipótesis de acotación, produce \(\alpha=\sup\mathbb N\);
- propiedad aproximativa del supremo: con \(\varepsilon=1\), produce un natural \(n\) con \(\alpha-1<n\);
- aritmética de \(\mathbb N\): de \(n\in\mathbb N\) se obtiene \(n+1\in\mathbb N\);
- contradicción: ese sucesor satisface \(n+1>\alpha\), aunque \(\alpha\) debía dominar a todos los naturales.
Aquí la completitud no identifica un objeto que queramos conservar: fabrica, bajo una hipótesis falsa, un supremo cuya existencia hace visible la contradicción.
Dos maneras de leer la misma propiedad
Decir que \(\mathbb N\) no está acotado superiormente equivale exactamente a afirmar
\[ \boxed{ \forall x\in\mathbb R\;\exists n\in\mathbb N \qquad n>x. } \]
Veamos ambas direcciones. Si \(\mathbb N\) no está acotado superiormente y fijamos \(x\in\mathbb R\), entonces \(x\) no puede ser una cota superior de \(\mathbb N\). Por definición de cota, debe existir algún \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>x. \]
Recíprocamente, supongamos que para todo \(x\in\mathbb R\) existe \(n\in\mathbb N\) con \(n>x\). Si \(\mathbb N\) tuviera una cota superior \(M\in\mathbb R\), al particularizar la propiedad en \(x=M\) obtendríamos un natural \(n>M\), contradiciendo que \(M\) domine a todos los naturales.
La forma cuantificada es la que utilizaremos cuando necesitemos elegir un natural suficientemente grande. De ella se obtiene inmediatamente una versión escalada. Sean
\[ u>0, \qquad v\in\mathbb R. \]
Definamos
\[ R=\max\left\{\frac vu,0\right\}. \]
Por la propiedad arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>R. \]
Como \(R\ge0\), se tiene \(n>0\), de modo que \(n\in\mathbb N_{>0}\). Además,
\[ n>R\ge\frac vu. \]
Multiplicando por \(u>0\) conservamos el orden y obtenemos
\[ nu>v. \]
Por tanto,
\[ \boxed{ \forall u>0\;\forall v\in\mathbb R\;\exists n\in\mathbb N_{>0} \qquad nu>v. } \]
Así, cualquier escala positiva fija puede hacerse superar cualquier umbral real mediante un múltiplo natural suficientemente grande.
Naturales grandes, recíprocos pequeños
La propiedad arquimediana también permite fabricar escalas positivas tan pequeñas como se desee.
Corolario 1.1 Recíprocos arbitrariamente pequeños. Para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb N_{>0}\) tal que
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Demostración. Sea \(\varepsilon>0\). Entonces
\[ \frac1\varepsilon>0. \]
Por la propiedad arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Como el miembro derecho es positivo, también \(n>0\), de modo que \(n\in\mathbb N_{>0}\). Además, ambos miembros de la desigualdad anterior son positivos; al tomar recíprocos se invierte el orden y obtenemos
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Esto prueba el resultado. \(\blacksquare\)
La afirmación completa es
\[ \boxed{ \forall\varepsilon>0\;\exists n\in\mathbb N_{>0} \qquad \frac1n<\varepsilon. } \]
El natural se elige después de fijar \(\varepsilon\) y, por tanto, puede depender de esa tolerancia. Al disminuir \(\varepsilon\), puede ser necesario escoger un natural mayor. Este patrón de cuantificadores aparecerá repetidamente en cálculo.
Para \(n\in\mathbb N_{>0}\) y \(\varepsilon>0\),
\[ \boxed{ \frac1n<\varepsilon \iff n>\frac1\varepsilon. } \]
Así, si queremos garantizar
\[ \frac1n<10^{-6}, \]
basta elegir
\[ n>10^6. \]
Por ejemplo,
\[ n=1\,000\,001 \]
satisface la condición.
En \(\mathbb R\) no hay infinitésimos positivos
El corolario anterior puede leerse también como una afirmación de exclusión.
Corolario 1.2 Ausencia de infinitésimos reales positivos. No existe \(\eta\in\mathbb R\) tal que
\[ \eta>0 \]
y
\[ \eta<\frac1n \qquad \text{para todo }n\in\mathbb N_{>0}. \]
Demostración. Supongamos que existiera tal \(\eta>0\). Aplicando Corolario 1.2 con \(\varepsilon=\eta\), existiría \(n\in\mathbb N_{>0}\) tal que
\[ \frac1n<\eta. \]
La propiedad atribuida a \(\eta\) exigiría para ese mismo natural
\[ \eta<\frac1n, \]
lo cual es imposible. Por tanto, no existe tal \(\eta\). \(\blacksquare\)
Entre los reales no negativos, la conclusión puede escribirse de manera equivalente como
\[ \boxed{ \eta\ge0 \quad\Longrightarrow\quad \left[ \left(\forall n\in\mathbb N_{>0},\ \eta<\frac1n\right) \iff \eta=0 \right]. } \]
En este pasaje, infinitésimo designa únicamente la propiedad hipotética de ser un real positivo menor que todos los recíprocos \(1/n\). No introducimos aquí una clase adicional de números ni una teoría de infinitesimales.
Este resultado no requiere una nueva aplicación de completitud: es una consecuencia inmediata de la propiedad arquimediana, a través de Corolario 1.2.
La propiedad arquimediana no es lo mismo que la completitud
Hemos deducido la propiedad arquimediana a partir de la completitud. Esta implicación no debe confundirse con una equivalencia entre ambas propiedades de un cuerpo ordenado.
El contraejemplo ya está disponible: \(\mathbb Q\).
Sea \(q\in\mathbb Q\). Como \(\mathbb Q\subseteq\mathbb R\), el teorema arquimediano Teorema 1.4, aplicado al real \(q\), proporciona un natural \(n\) tal que
\[ n>q. \]
Por tanto, \(\mathbb N\) no está acotado superiormente dentro de \(\mathbb Q\): el cuerpo ordenado \(\mathbb Q\) es arquimediano.
Por otra parte, Proposición 1.11 mostró que
\[ S_{\mathbb Q} = \{q\in\mathbb Q:q\ge0,\ q^2<2\} \]
es no vacío y está acotado superiormente en \(\mathbb Q\), pero no posee supremo en \(\mathbb Q\). Así, \(\mathbb Q\) no es completo.
En consecuencia,
\[ \boxed{ \text{completitud}\Longrightarrow\text{propiedad arquimediana}, \qquad \text{propiedad arquimediana}\not\Longrightarrow\text{completitud}. } \]
Las dos propiedades tienen alcances distintos. La arquimedianidad controla la escala del orden: los naturales superan cualquier elemento y los recíprocos \(1/n\) pueden hacerse menores que cualquier cantidad positiva. La completitud añade un principio de existencia para fronteras: garantiza supremos bajo las hipótesis correspondientes. El cuerpo \(\mathbb Q\) satisface la primera propiedad y falla la segunda.
Encajonar un real entre dos enteros consecutivos
Para la siguiente sección necesitaremos convertir la propiedad arquimediana en una herramienta de localización respecto de los enteros.
Lema 1.1 Encajonamiento entero. Para todo \(x\in\mathbb R\) existe \(m\in\mathbb Z\) tal que
\[ m\le x<m+1. \]
Usaremos una consecuencia elemental del principio de inducción: todo subconjunto no vacío de \(\mathbb N\) posee un elemento mínimo. Para justificarla localmente, recordemos que la inducción afirma que, si una propiedad \(P(n)\) vale para \(n=0\) y \(P(k)\) implica \(P(k+1)\) para todo \(k\in\mathbb N\), entonces vale para todo \(n\in\mathbb N\).
Supongamos que un conjunto no vacío \(A\subseteq\mathbb N\) no tuviera mínimo. Entonces \(0\notin A\). Si ninguno de \(0,1,\dots,k\) pertenece a \(A\), tampoco puede pertenecer \(k+1\): en tal caso, \(k+1\) sería el mínimo de \(A\). Por inducción, ningún natural pertenecería a \(A\), contradicción. Queda así justificado el principio de buena ordenación que utilizaremos a continuación.
Demostración. Sea \(x\in\mathbb R\). Por la propiedad arquimediana podemos elegir \(k\in\mathbb N\) tal que
\[ k>|x|. \]
Entonces \(k>0\) y, como \(x\ge-|x|\),
\[ x+k\ge k-|x|>0. \]
Consideremos
\[ A=\{n\in\mathbb N:n>x+k\}. \]
La propiedad arquimediana, aplicada a \(x+k\), garantiza que \(A\) es no vacío. Por buena ordenación, existe
\[ n_0=\min A. \]
Como \(x+k>0\), tenemos \(0\notin A\) y por tanto \(n_0\ge1\). En particular, \(n_0-1\in\mathbb N\). La minimalidad de \(n_0\) implica que \(n_0-1\notin A\), de modo que
\[ n_0-1\le x+k. \]
Por otra parte, \(n_0\in A\), así que
\[ x+k<n_0. \]
Reuniendo ambas desigualdades,
\[ n_0-1\le x+k<n_0. \]
Restando \(k\),
\[ n_0-k-1\le x<n_0-k. \]
Definamos
\[ m=n_0-k-1\in\mathbb Z. \]
Entonces
\[ \boxed{m\le x<m+1}, \]
como queríamos demostrar. \(\blacksquare\)
El argumento combina dos hechos distintos. La propiedad arquimediana garantiza que siempre hay naturales a la derecha de un real; la buena ordenación permite escoger el primero de esos naturales después de trasladar el problema a una posición positiva.
Más adelante el entero \(m\) quedará asociado a la función piso,
\[ \lfloor x\rfloor, \]
pero aquí solo necesitamos su existencia. Esa existencia será el engranaje que permitirá construir un racional entre dos reales cualesquiera.
Preparación para la densidad
Supongamos que
\[ a<b. \]
Entonces
\[ b-a>0. \]
Por Corolario 1.2 podemos elegir \(n\in\mathbb N_{>0}\) de modo que
\[ \frac1n<b-a. \]
Como \(n>0\), esta desigualdad equivale a
\[ 1<n(b-a)=nb-na, \]
y por tanto
\[ na+1<nb. \]
Apliquemos ahora Lema 1.1 al real \(na\). Existe \(k\in\mathbb Z\) tal que
\[ k\le na<k+1. \]
Si definimos
\[ m=k+1, \]
entonces \(m\in\mathbb Z\) y
\[ na<m=k+1\le na+1<nb. \]
Así obtenemos
\[ na<m<nb. \]
Al dividir por \(n>0\) resulta
\[ a<\frac mn<b, \]
y \(m/n\in\mathbb Q\).
Esta es la construcción que formalizaremos como teorema en §1.8. Conviene retener la arquitectura antes que las letras concretas:
\[ \boxed{ \text{propiedad arquimediana} \longrightarrow \text{escala }1/n\text{ menor que }b-a \longrightarrow \text{intervalo escalado de longitud }>1 \longrightarrow \text{entero intermedio} \longrightarrow \text{racional intermedio}. } \]
Antes de seguir
1. Sean \(k>0\) y \(\varepsilon>0\). Demuestra que existe \(n\in\mathbb N_{>0}\) tal que
\[ \frac{k}{n}<\varepsilon. \]
Respuesta. Como \(k/\varepsilon>0\), la propiedad arquimediana permite elegir \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>\frac{k}{\varepsilon}. \]
En particular, \(n>0\), así que \(n\in\mathbb N_{>0}\). Multiplicando por \(\varepsilon>0\),
\[ n\varepsilon>k, \]
y dividiendo por \(n>0\),
\[ \boxed{\frac{k}{n}<\varepsilon}. \]
2. Supón que \(x\ge0\) y que existe \(k>0\) tal que
\[ x\le\frac{k}{n} \qquad \text{para todo }n\in\mathbb N_{>0}. \]
Demuestra que \(x=0\).
Respuesta. Supongamos, por contradicción, que \(x>0\). Como \(k/x>0\), la propiedad arquimediana permite elegir \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ n>\frac{k}{x}. \]
Entonces \(n>0\). Multiplicando por \(x>0\),
\[ nx>k, \]
y dividiendo por \(n>0\),
\[ x>\frac{k}{n}. \]
Esto contradice la hipótesis, que exige \(x\le k/n\) para todo \(n\in\mathbb N_{>0}\). Por tanto, \(x>0\) es imposible. Como \(x\ge0\), la tricotomía da
\[ \boxed{x=0}. \]
Lo que exporta esta sección
La sección ha convertido la propiedad arquimediana en tres herramientas concretas:
\[ \boxed{ \begin{array}{c} \forall x\in\mathbb R\;\exists n\in\mathbb N:\ n>x,\\[4pt] \forall\varepsilon>0\;\exists n\in\mathbb N_{>0}:\ \dfrac1n<\varepsilon,\\[4pt] \forall x\in\mathbb R\;\exists m\in\mathbb Z:\ m\le x<m+1. \end{array} } \]
Su dependencia interna es precisa. La primera es la propiedad arquimediana. La segunda se deduce directamente de ella aplicándola a \(1/\varepsilon\). La tercera combina arquimedianidad con la buena ordenación de \(\mathbb N\) para seleccionar el primer natural adecuado después de una traslación.
Podemos resumir esa arquitectura como
\[ \boxed{ \text{completitud} \longrightarrow \text{propiedad arquimediana} \longrightarrow \begin{cases} \text{naturales suficientemente grandes},\\ \text{recíprocos }1/n\text{ arbitrariamente pequeños}, \end{cases} } \]
mientras que
\[ \boxed{ \text{propiedad arquimediana} +\text{ buena ordenación de }\mathbb N \longrightarrow \text{encajonamiento entero}. } \]
En §1.8 combinaremos las dos últimas herramientas. Si \(a<b\), elegiremos \(n\) con \(1/n<b-a\); después, el encajonamiento entero producirá un entero \(m\) con
\[ na<m<nb, \]
y por tanto un racional \(m/n\) dentro de \((a,b)\). Una vez establecida la densidad racional, la existencia del irracional \(\sqrt2\) permitirá obtener también densidad irracional mediante traslación.
Así, por estrecho que sea un intervalo abierto no vacío, la maquinaria construida hasta aquí permitirá encontrar en él números racionales e irracionales.