Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 10: Subgrupos normales
Capítulo 10 — Subgrupos normales
10.0. Propósito y posición deductiva
El capítulo anterior asoció a cada homomorfismo de grupos dos subgrupos canónicos: su núcleo y su imagen. Para construir cocientes de grupos no basta, sin embargo, con disponer de un subgrupo cualquiera. Es necesario aislar una condición adicional que permita que la multiplicación de representantes descienda de manera coherente a las clases laterales.
Esa condición es la normalidad.
La secuencia deductiva será
\[ \text{subgrupo} \longrightarrow \text{estabilidad por conjugación} \longrightarrow \text{subgrupo normal} \longrightarrow \ker f\text{ normal}. \]
Las clases laterales todavía no forman parte de la infraestructura del tratado. Por ello la normalidad se definirá inicialmente mediante conjugación y no mediante la igualdad entre clases laterales izquierdas y derechas. Esa equivalencia se demostrará sólo después de construir dichas clases.
10.1. Normalidad
Definición 10.1.1 — Subgrupo normal
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo y sea \(N\subseteq G\) un subconjunto que determina un subgrupo de \(\mathcal G\).
Decimos que \(N\) es un subgrupo normal de \(\mathcal G\) si, para todo \(g\in G\) y todo \(n\in N\),
\[ (g\star n)\star g^{-1}\in N. \]
La condición expresa que \(N\) es estable bajo conjugación por elementos del grupo ambiente.
No se introduce todavía la notación de clases laterales ni se presupone ninguna igualdad de la forma \(gN=Ng\). La definición depende únicamente de la estructura de grupo ya construida.
Notación 10.1.2 — Normalidad
En la situación anterior escribiremos
\[ N\trianglelefteq G \]
para expresar que \(N\) determina un subgrupo normal de \(\mathcal G\).
Cuando sea necesario distinguir estructuras distintas sobre un mismo conjunto subyacente, la afirmación de normalidad se formulará mencionando explícitamente la estructura ambiente.
10.2. El núcleo de un homomorfismo es normal
Proposición 10.2.1 — Normalidad del núcleo
Sean
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle, \qquad \mathcal H=\langle H,\diamond\rangle \]
grupos y sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Entonces
\[ \ker f\trianglelefteq G. \]
Demostración
Por la Proposición 9.1.3, \(\ker f\) determina ya un subgrupo de \(\mathcal G\). Sólo resta verificar la estabilidad por conjugación exigida en la Definición 10.1.1.
Sean
\[ g\in G \qquad\text{y}\qquad n\in\ker f. \]
Por definición del núcleo,
\[ f(n)=e_{\mathcal H}. \]
Como \(f\) es homomorfismo,
\[ f\bigl((g\star n)\star g^{-1}\bigr) = f(g\star n)\diamond f(g^{-1}). \]
Aplicando nuevamente la preservación de la operación,
\[ f(g\star n) = f(g)\diamond f(n), \]
y por la Proposición 7.4.3,
\[ f(g^{-1})=f(g)^{-1}. \]
Por tanto,
\[ \begin{aligned} f\bigl((g\star n)\star g^{-1}\bigr) &= \bigl(f(g)\diamond f(n)\bigr)\diamond f(g)^{-1}\\ &= \bigl(f(g)\diamond e_{\mathcal H}\bigr)\diamond f(g)^{-1}\\ &= f(g)\diamond f(g)^{-1}\\ &= e_{\mathcal H}. \end{aligned} \]
De la definición del núcleo se sigue que
\[ (g\star n)\star g^{-1}\in\ker f. \]
Como \(g\in G\) y \(n\in\ker f\) eran arbitrarios, \(\ker f\) es estable bajo conjugación. Por la Definición 10.1.1,
\[ \ker f\trianglelefteq G. \]
\(\square\)
Consecuencia estructural. La normalidad no es una propiedad accidental de ciertos núcleos: todo homomorfismo de grupos produce canónicamente un subgrupo normal de su dominio. Ésta es la razón algebraica que permitirá construir posteriormente el cociente asociado a un homomorfismo.
10.3. El caso abeliano
Proposición 10.3.1 — Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo abeliano y sea \(N\subseteq G\) un subconjunto que determina un subgrupo de \(\mathcal G\). Entonces
\[ N\trianglelefteq G. \]
Demostración
Sean \(g\in G\) y \(n\in N\). Como \(\mathcal G\) es abeliano,
\[ g\star n=n\star g. \]
Entonces, usando asociatividad,
\[ \begin{aligned} (g\star n)\star g^{-1} &= (n\star g)\star g^{-1}\\ &= n\star(g\star g^{-1})\\ &= n\star e_{\mathcal G}\\ &= n. \end{aligned} \]
Como \(n\in N\), obtenemos
\[ (g\star n)\star g^{-1}\in N. \]
La condición de normalidad se cumple para todo \(g\in G\) y todo \(n\in N\). Por la Definición 10.1.1,
\[ N\trianglelefteq G. \]
\(\square\)
10.4. Lectura estructural
La normalidad marca la primera diferencia esencial entre la teoría de subgrupos y la teoría de cocientes.
Un subgrupo ordinario sólo garantiza que la operación ambiente se restringe correctamente al subconjunto. Un subgrupo normal satisface además una compatibilidad con la acción interna del grupo por conjugación:
\[ n\in N \quad\Longrightarrow\quad (g\star n)\star g^{-1}\in N \qquad (g\in G). \]
Dos casos importantes quedan ya cerrados:
\[ \ker f\trianglelefteq G \]
para todo homomorfismo de grupos \(f:G\to H\), y
En particular, si \(G\) es abeliano, todo subconjunto \(N\subseteq G\) que determine un subgrupo determina automáticamente un subgrupo normal.
No se introduce aquí una notación adicional para la relación «ser subgrupo de»; la afirmación anterior se mantiene en el lenguaje ya definido.
El siguiente bloque construirá las clases laterales izquierdas y derechas de un subgrupo. Sólo entonces podrá demostrarse que la normalidad equivale a la coincidencia de ambas familias y prepararse la operación sobre el cociente.
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