Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 11: Clases laterales y caracterización de la normalidad
11.0. Propósito y posición deductiva
El capítulo anterior introdujo la normalidad mediante estabilidad bajo conjugación, deliberadamente antes de hablar de clases laterales. Ahora construiremos esas clases como subconjuntos explícitamente definidos del grupo ambiente y demostraremos las propiedades que hacen posible el paso posterior a los cocientes.
La secuencia deductiva será
\[ \text{subgrupo} \longrightarrow \text{clases laterales izquierda y derecha} \longrightarrow \text{criterios de igualdad} \longrightarrow \text{igualdad o disjunción} \longrightarrow \text{normalidad}\iff gN=Ng. \]
No se definirá todavía el grupo cociente \(G/N\). En particular, no se multiplicarán clases laterales antes de demostrar en un capítulo posterior que la operación correspondiente está bien definida.
11.1. Construcción de las clases laterales
Definición 11.1.1 — Clases laterales izquierda y derecha
Sea
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
un grupo, sea \(H\subseteq G\) un subconjunto que determina un subgrupo de \(\mathcal G\) y sea \(g\in G\).
La clase lateral izquierda de \(H\) determinada por \(g\) es el subconjunto de \(G\)
\[ \{x\in G:\exists h\in H,\ x=g\star h\}. \]
La clase lateral derecha de \(H\) determinada por \(g\) es el subconjunto de \(G\)
\[ \{x\in G:\exists h\in H,\ x=h\star g\}. \]
Ambos conjuntos existen por Separación aplicada a \(G\).
La definición no identifica una clase lateral con un elemento ni con una clase de equivalencia previamente construida: en este punto se trata literalmente de subconjuntos de \(G\) definidos por las fórmulas anteriores.
Notación 11.1.2 — \(gH\) y \(Hg\)
En la situación de la Definición 11.1.1 escribiremos
\[ gH := \{x\in G:\exists h\in H,\ x=g\star h\} \]
y
\[ Hg := \{x\in G:\exists h\in H,\ x=h\star g\}. \]
El orden de los símbolos es significativo: \(gH\) denota una clase lateral izquierda y \(Hg\) una clase lateral derecha.
Proposición 11.1.3 — El representante pertenece a sus clases laterales
Sea \(H\) un subgrupo de \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\) y sea \(g\in G\). Entonces
\[ g\in gH \qquad\text{y}\qquad g\in Hg. \]
En particular, toda clase lateral izquierda o derecha es no vacía.
Demostración
Como \(H\) determina un subgrupo, el neutro ambiente \(e_{\mathcal G}\) pertenece a \(H\).
Por la ley de neutro derecho,
\[ g=g\star e_{\mathcal G}. \]
La Definición 11.1.1 establece
\[ gH=\{g\star h:h\in H\}. \]
Como \(e_{\mathcal G}\in H\), el elemento \(e_{\mathcal G}\) sirve como testigo en esa descripción de la clase lateral izquierda, y la igualdad
\[ g=g\star e_{\mathcal G} \]
implica
\[ g\in gH. \]
Por otra parte, la ley de neutro izquierdo da
\[ g=e_{\mathcal G}\star g. \]
De nuevo por la Definición 11.1.1,
\[ Hg=\{h\star g:h\in H\}. \]
Como \(e_{\mathcal G}\in H\), el mismo elemento sirve ahora como testigo en la descripción de la clase lateral derecha. Por tanto,
\[ g\in Hg. \]
Así, \(g\) pertenece a ambas clases laterales que determina. \(\square\)
11.2. Criterios de igualdad
Teorema 11.2.1 — Criterios de igualdad de clases laterales
Sea \(H\) un subgrupo de \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\) y sean \(g,k\in G\). Entonces:
- para clases laterales izquierdas, \[ gH=kH \iff k^{-1}\star g\in H; \]
- para clases laterales derechas, \[ Hg=Hk \iff g\star k^{-1}\in H. \]
Demostración
Clases izquierdas. Supongamos primero
\[ gH=kH. \]
Por la Proposición 11.1.3, \(g\in gH\), y por la igualdad supuesta \(g\in kH\). Por la Definición 11.1.1, existe \(h\in H\) tal que
\[ g=k\star h. \]
Multiplicando a la izquierda por \(k^{-1}\) y usando asociatividad, inverso y neutro,
\[ k^{-1}\star g = k^{-1}\star(k\star h) = (k^{-1}\star k)\star h = h\in H. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ a:=k^{-1}\star g\in H. \]
Entonces
\[ k\star a = k\star(k^{-1}\star g) = (k\star k^{-1})\star g = g. \]
Sea \(x\in gH\). Por la Definición 11.1.1, existe \(h\in H\) con \(x=g\star h\). Por la igualdad anterior,
\[ x = (k\star a)\star h = k\star(a\star h). \]
Como \(a,h\in H\) y \(H\) es cerrado bajo la operación, \(a\star h\in H\). Por tanto \(x\in kH\), y así
\[ gH\subseteq kH. \]
Como \(H\) determina un subgrupo y \(a\in H\), el cierre bajo inversos da
\[ a^{-1}\in H. \]
Además,
\[ \begin{aligned} g\star a^{-1} &=(k\star a)\star a^{-1}\\ &=k\star(a\star a^{-1})\\ &=k\star e_{\mathcal G}\\ &=k. \end{aligned} \]
Para demostrar explícitamente la inclusión inversa, sea \(y\in kH\). Por la Definición 11.1.1, existe \(h'\in H\) tal que
\[ y=k\star h'. \]
Sustituyendo \(k=g\star a^{-1}\) y usando asociatividad,
\[ \begin{aligned} y &=(g\star a^{-1})\star h'\\ &=g\star(a^{-1}\star h'). \end{aligned} \]
Como \(a^{-1},h'\in H\) y \(H\) es cerrado bajo la operación,
\[ a^{-1}\star h'\in H. \]
Por la Definición 11.1.1, esto significa \(y\in gH\). Como \(y\in kH\) era arbitrario,
\[ kH\subseteq gH. \]
Por Extensionalidad,
\[ gH=kH. \]
Clases derechas. Demostraremos primero la implicación directa. Supongamos \(Hg=Hk\). Por la Proposición 11.1.3, \(g\in Hg\), y por la igualdad supuesta \(g\in Hk\). Por la Definición 11.1.1, existe \(h\in H\) con
\[ g=h\star k. \]
Multiplicando a la derecha por \(k^{-1}\),
\[ g\star k^{-1} = (h\star k)\star k^{-1} = h\star(k\star k^{-1}) = h\in H. \]
Recíprocamente, supongamos
\[ b:=g\star k^{-1}\in H. \]
Entonces
\[ b\star k = (g\star k^{-1})\star k = g\star(k^{-1}\star k) = g. \]
Sea \(x\in Hg\). Por la Definición 11.1.1, existe \(h\in H\) con \(x=h\star g\). Luego
\[ x = h\star(b\star k) = (h\star b)\star k. \]
Como \(h\star b\in H\), resulta \(x\in Hk\), y por tanto \(Hg\subseteq Hk\). Como \(H\) determina un subgrupo y \(b\in H\), también
\[ b^{-1}\in H. \]
De \(g=b\star k\) obtenemos, usando asociatividad, inverso y neutro,
\[ \begin{aligned} b^{-1}\star g &=b^{-1}\star(b\star k)\\ &=(b^{-1}\star b)\star k\\ &=e_{\mathcal G}\star k\\ &=k. \end{aligned} \]
Para la inclusión inversa, sea \(y\in Hk\). Por la Definición 11.1.1, existe \(h'\in H\) tal que
\[ y=h'\star k. \]
Sustituyendo \(k=b^{-1}\star g\) y usando asociatividad,
\[ \begin{aligned} y &=h'\star(b^{-1}\star g)\\ &=(h'\star b^{-1})\star g. \end{aligned} \]
Como \(h',b^{-1}\in H\) y \(H\) es cerrado bajo la operación,
\[ h'\star b^{-1}\in H. \]
Por la Definición 11.1.1, \(y\in Hg\). Por tanto,
\[ Hk\subseteq Hg. \]
Por Extensionalidad,
\[ Hg=Hk. \]
Quedan demostradas ambas equivalencias. \(\square\)
Corolario 11.2.2 — Dos clases laterales del mismo lado son iguales o disjuntas
Sea \(H\) un subgrupo de \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\) y sean \(g,k\in G\). Entonces:
- o bien \(gH=kH\), o bien \(gH\cap kH=\varnothing\);
- o bien \(Hg=Hk\), o bien \(Hg\cap Hk=\varnothing\).
Demostración
Para las clases laterales izquierdas aplicamos LEM a la proposición
\[ \exists x\in gH\cap kH. \]
Si existe tal \(x\), tomamos localmente un testigo \(x\in gH\cap kH\). Como \(x\in gH\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_1\in H\) tal que
\[ x=g\star h_1. \]
Multiplicando a la izquierda por \(g^{-1}\) y usando asociatividad, inverso y neutro,
\[ \begin{aligned} g^{-1}\star x &=g^{-1}\star(g\star h_1)\\ &=(g^{-1}\star g)\star h_1\\ &=e_{\mathcal G}\star h_1\\ &=h_1\in H. \end{aligned} \]
Por la primera equivalencia del Teorema 11.2.1, aplicada a las clases \(xH\) y \(gH\),
\[ xH=gH. \]
Como \(x\in kH\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_2\in H\) tal que
\[ x=k\star h_2. \]
De nuevo por asociatividad, inverso y neutro,
\[ \begin{aligned} k^{-1}\star x &=k^{-1}\star(k\star h_2)\\ &=(k^{-1}\star k)\star h_2\\ &=e_{\mathcal G}\star h_2\\ &=h_2\in H. \end{aligned} \]
La primera equivalencia del Teorema 11.2.1, aplicada ahora a \(xH\) y \(kH\), da
\[ xH=kH. \]
Por transitividad de la igualdad,
\[ gH=kH. \]
Si, por el contrario,
\[ \neg\exists x\in gH\cap kH, \]
entonces ningún elemento pertenece a \(gH\cap kH\); por Extensionalidad,
\[ gH\cap kH=\varnothing. \]
Así,
\[ gH=kH\quad\lor\quad gH\cap kH=\varnothing. \]
Para las clases laterales derechas aplicamos LEM a la proposición
\[ \exists x\in Hg\cap Hk. \]
Si existe tal \(x\), tomamos localmente un testigo \(x\in Hg\cap Hk\). Como \(x\in Hg\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_1\in H\) tal que
\[ x=h_1\star g. \]
Multiplicando a la derecha por \(g^{-1}\) y usando asociatividad, inverso y neutro,
\[ \begin{aligned} x\star g^{-1} &=(h_1\star g)\star g^{-1}\\ &=h_1\star(g\star g^{-1})\\ &=h_1\star e_{\mathcal G}\\ &=h_1\in H. \end{aligned} \]
Por la segunda equivalencia del Teorema 11.2.1,
\[ Hx=Hg. \]
Como \(x\in Hk\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_2\in H\) tal que \(x=h_2\star k\). Entonces
\[ \begin{aligned} x\star k^{-1} &=(h_2\star k)\star k^{-1}\\ &=h_2\star(k\star k^{-1})\\ &=h_2\in H. \end{aligned} \]
Otra aplicación de la segunda equivalencia del Teorema 11.2.1 da
\[ Hx=Hk. \]
Por transitividad de la igualdad,
\[ Hg=Hk. \]
Si, por el contrario,
\[ \neg\exists x\in Hg\cap Hk, \]
entonces ningún elemento pertenece a \(Hg\cap Hk\); por Extensionalidad,
\[ Hg\cap Hk=\varnothing. \]
Concluimos
\[ Hg=Hk\quad\lor\quad Hg\cap Hk=\varnothing. \]
No se ha utilizado elección. El único principio clásico sustantivo es LEM aplicado a la existencia de un elemento en cada intersección. \(\square\)
Lectura conjuntista. Cada elemento de \(G\) pertenece a su propia clase lateral por la Proposición 11.1.3, y dos clases del mismo lado nunca se solapan parcialmente: si comparten un elemento, coinciden por completo. Esto prepara la futura construcción de un cociente sin haber introducido todavía el conjunto cociente.
Lema 11.2.3 — Intersección habitada de clases laterales implica igualdad
Sea \(H\) un subgrupo de \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\) y sean \(g,k\in G\). Entonces:
- si \(\exists x\in gH\cap kH\), entonces \(gH=kH\);
- si \(\exists x\in Hg\cap Hk\), entonces \(Hg=Hk\).
Demostración
Para la primera afirmación, supongamos
\[ \exists x\in gH\cap kH. \]
Por eliminación existencial ordinaria tomamos localmente un testigo \(x\in gH\cap kH\). Entonces \(x\in gH\) y \(x\in kH\). Como \(x\in gH\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_1\in H\) con \(x=g\star h_1\), de donde
\[ g^{-1}\star x=h_1\in H. \]
Por la primera equivalencia del Teorema 11.2.1,
\[ xH=gH. \]
Como \(x\in kH\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_2\in H\) tal que
\[ x=k\star h_2. \]
Por asociatividad, inverso y neutro,
\[ \begin{aligned} k^{-1}\star x &=k^{-1}\star(k\star h_2)\\ &=(k^{-1}\star k)\star h_2\\ &=e_{\mathcal G}\star h_2\\ &=h_2\in H. \end{aligned} \]
Otra aplicación de la primera equivalencia del Teorema 11.2.1 da
\[ xH=kH. \]
Por transitividad de la igualdad,
\[ gH=kH. \]
Para la segunda afirmación, supongamos
\[ \exists x\in Hg\cap Hk. \]
Por eliminación existencial ordinaria tomamos localmente un testigo \(x\in Hg\cap Hk\). Entonces \(x\in Hg\) y \(x\in Hk\).
Como \(x\in Hg\), la Definición 11.1.1 proporciona \(h_1\in H\) tal que
\[ x=h_1\star g. \]
Por asociatividad, inverso y neutro,
\[ \begin{aligned} x\star g^{-1} &=(h_1\star g)\star g^{-1}\\ &=h_1\star(g\star g^{-1})\\ &=h_1\in H. \end{aligned} \]
La segunda equivalencia del Teorema 11.2.1 da
\[ Hx=Hg. \]
Asimismo, de \(x\in Hk\) y la Definición 11.1.1 existe \(h_2\in H\) tal que \(x=h_2\star k\). Entonces
\[ \begin{aligned} x\star k^{-1} &=(h_2\star k)\star k^{-1}\\ &=h_2\star(k\star k^{-1})\\ &=h_2\in H. \end{aligned} \]
De nuevo por la segunda equivalencia del Teorema 11.2.1,
\[ Hx=Hk. \]
Por transitividad de la igualdad,
\[ Hg=Hk. \]
No se ha utilizado lógica clásica sustantiva ni elección. \(\square\)
Uso deductivo. Éste es el resultado que debe emplearse cuando una construcción posterior ya exhibe un elemento común de dos clases. La disyunción clásica el Corolario 11.2.2 queda reservada para contextos donde realmente se necesite «iguales o disjuntas».
11.3. Normalidad y coincidencia de clases laterales
Teorema 11.3.1 — Caracterización de la normalidad por clases laterales
Sea \(N\) un subgrupo de \(\mathcal G=\langle G,\star\rangle\). Son equivalentes:
- \(N\trianglelefteq G\);
- para todo \(g\in G\), \[ gN=Ng. \]
Demostración
\((1)\Rightarrow(2)\). Supongamos \(N\trianglelefteq G\) y sea \(g\in G\).
Sea \(x\in gN\). Entonces existe \(n\in N\) tal que
\[ x=g\star n. \]
Por normalidad,
\[ m:=(g\star n)\star g^{-1}\in N. \]
Usando asociatividad, inverso y neutro,
\[ m\star g = \bigl((g\star n)\star g^{-1}\bigr)\star g = (g\star n)\star(g^{-1}\star g) = g\star n = x. \]
Como \(m\in N\), se sigue que \(x\in Ng\). Por tanto,
\[ gN\subseteq Ng. \]
Para la inclusión inversa, sea \(y\in Ng\). Existe \(n\in N\) tal que
\[ y=n\star g. \]
Aplicamos la normalidad al elemento \(g^{-1}\in G\) y a \(n\in N\):
\[ (g^{-1}\star n)\star(g^{-1})^{-1}\in N. \]
En el grupo \(\mathcal G\), \(g\) es un inverso bilateral de \(g^{-1}\); por unicidad del inverso (Proposición 4.1.2),
\[ (g^{-1})^{-1}=g. \]
Definamos
\[ r:=(g^{-1}\star n)\star g\in N. \]
Entonces
\[ g\star r = g\star\bigl((g^{-1}\star n)\star g\bigr) = (g\star g^{-1})\star(n\star g) = n\star g = y. \]
Así \(y\in gN\) y, por tanto,
\[ Ng\subseteq gN. \]
Por Extensionalidad, \(gN=Ng\).
\((2)\Rightarrow(1)\). Supongamos ahora que
\[ \forall g\in G,\qquad gN=Ng. \]
Sean \(g\in G\) y \(n\in N\). Como \(g\star n\in gN\) y \(gN=Ng\), existe \(m\in N\) tal que
\[ g\star n=m\star g. \]
Multiplicando a la derecha por \(g^{-1}\),
\[ (g\star n)\star g^{-1} = (m\star g)\star g^{-1} = m\star(g\star g^{-1}) = m\in N. \]
Por la Definición 10.1.1, \(N\) es normal en \(G\). \(\square\)
11.4. Lectura estructural
Las clases laterales proporcionan ahora una segunda formulación de la normalidad:
\[ N\trianglelefteq G \iff \forall g\in G,\ gN=Ng. \]
La definición original por conjugación sigue siendo lógicamente anterior; el Teorema 11.3.1 demuestra que, una vez construidas las clases laterales, ambas formulaciones coinciden.
También queda establecida la geometría conjuntista mínima necesaria para un cociente: cada elemento pertenece a una clase lateral y dos clases laterales del mismo lado son iguales o disjuntas.
El paso siguiente exigirá una decisión fundacional adicional. Antes de definir formalmente \(G/N\) se abrirá una interfaz mínima con la infraestructura ya cerrada de relaciones de equivalencia y conjuntos cociente, o bien se construirá explícitamente una relación equivalente dentro de este tratado. Esa decisión deberá preservar la aciclicidad intertratados y evitar duplicar infraestructura conjuntista ya demostrada.
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