Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 13: Primer teorema de isomorfía para grupos
Capítulo 13 — Primer teorema de isomorfía para grupos
13.0. Propósito y posición deductiva
Ya disponemos de todas las piezas que el primer teorema de isomorfía necesita: núcleo, imagen, normalidad del núcleo, grupos cociente e isomorfismos. El objetivo de este capítulo es mostrar que esas piezas no son construcciones independientes, sino partes de una misma estructura.
Sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. El núcleo registra exactamente qué elementos de \(G\) se vuelven indistinguibles bajo \(f\); el cociente \(G/\ker f\) identifica precisamente esos elementos; y la imagen reúne exactamente los valores que \(f\) alcanza. El teorema demostrará que, después de realizar esas identificaciones, no queda pérdida adicional de información:
\[ G/\ker f\cong \operatorname{im}f. \]
El punto crítico no es la fórmula informal
\[ g\ker f\longmapsto f(g), \]
sino demostrar que define realmente una función sobre clases sin elegir un representante privilegiado de cada una.
13.1. Primer teorema de isomorfía
Teorema 13.1.1 — Primer teorema de isomorfía para grupos
Sean
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle, \qquad \mathcal H=\langle H,\diamond\rangle \]
grupos, y sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo de grupos. Escribamos
\[ K:=\ker f. \]
Entonces \(K\trianglelefteq G\) y existe una única función
\[ \overline f:G/K\longrightarrow \operatorname{im}f \]
que satisface
\[ \overline f(gK)=f(g) \qquad(g\in G). \]
Además, \(\overline f\) es un isomorfismo de grupos de
\[ \mathcal G/K \]
sobre la estructura de subgrupo inducida
\[ \mathcal H|_{\operatorname{im}f}. \]
En particular,
\[ \boxed{ \mathcal G/\ker f \cong \mathcal H|_{\operatorname{im}f} }. \]
Demostración
Por la Proposición 10.2.1, el núcleo \(K=\ker f\) es un subgrupo normal de \(G\). Por el Teorema 12.4.2, el cociente
\[ \mathcal G/K \]
es por tanto un grupo. Por la Proposición 9.2.3, \(\operatorname{im}f\) determina un subgrupo de \(\mathcal H\), cuya estructura inducida escribimos
\[ \mathcal H|_{\operatorname{im}f}. \]
La demostración se divide en cinco pasos.
Paso 1. Invariancia respecto de representantes
Supongamos
\[ gK=hK. \]
Por el Teorema 11.2.1,
\[ h^{-1}\star g\in K=\ker f. \]
Por definición de núcleo,
\[ f(h^{-1}\star g)=e_{\mathcal H}. \]
Como \(f\) es homomorfismo y preserva inversos por la Proposición 7.4.3,
\[ f(h)^{-1}\diamond f(g)=e_{\mathcal H}. \]
Multiplicando a la izquierda por \(f(h)\) y usando asociatividad, inverso y neutro en \(\mathcal H\),
\[ \begin{aligned} f(g) &=(f(h)\diamond f(h)^{-1})\diamond f(g)\\ &=f(h)\diamond\bigl(f(h)^{-1}\diamond f(g)\bigr)\\ &=f(h)\diamond e_{\mathcal H}\\ &=f(h). \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{gK=hK\Longrightarrow f(g)=f(h)}. \]
Ésta es la buena definición que necesitamos.
Paso 2. Construcción de \(\overline f\) sin elección de representantes
Consideremos el subconjunto
\[ \Gamma_{\overline f} := \left\{ \langle C,y\rangle\in (G/K)\times\operatorname{im}f: \exists g\in G\;(C=gK\land y=f(g)) \right\}. \]
Existe por producto cartesiano y Separación.
Sea \(C\in G/K\). Por la descripción de \(G/K\) como conjunto de clases laterales, existe \(g\in G\) tal que
\[ C=gK. \]
Entonces \(f(g)\in\operatorname{im}f\) y
\[ \langle C,f(g)\rangle\in\Gamma_{\overline f}. \]
Así, el grafo es total sobre \(G/K\).
Para la funcionalidad, supongamos
\[ \langle C,y\rangle, \langle C,z\rangle \in\Gamma_{\overline f}. \]
Existen \(g,h\in G\) con
\[ C=gK=hK, \qquad y=f(g), \qquad z=f(h). \]
Por el Paso 1,
\[ f(g)=f(h), \]
y por tanto \(y=z\).
Así, \(\Gamma_{\overline f}\) es el grafo de una función
\[ \overline f:G/K\to\operatorname{im}f \]
que satisface
\[ \overline f(gK)=f(g). \]
No se ha elegido simultáneamente un representante de cada clase: para cada argumento se usa únicamente la existencia de algún representante, y la funcionalidad garantiza que el valor no depende de cuál sea.
La unicidad también es inmediata. Si
\[ \psi:G/K\to\operatorname{im}f \]
satisface \(\psi(gK)=f(g)\) para todo \(g\in G\), entonces, para cualquier \(C\in G/K\), existe \(g\in G\) con \(C=gK\), y
\[ \psi(C)=\psi(gK)=f(g)=\overline f(gK)=\overline f(C). \]
Por Extensionalidad de funciones, \(\psi=\overline f\).
Paso 3. \(\overline f\) es un homomorfismo
Sean \(gK,hK\in G/K\). Por la definición de la operación cociente,
\[ (gK)\star_K(hK)=(g\star h)K. \]
Entonces
\[ \begin{aligned} \overline f\bigl((gK)\star_K(hK)\bigr) &=\overline f((g\star h)K)\\ &=f(g\star h)\\ &=f(g)\diamond f(h). \end{aligned} \]
Como la operación sobre \(\mathcal H|_{\operatorname{im}f}\) es la restricción canónica de \(\diamond\), para elementos de la imagen tenemos
\[ f(g)\diamond_{\operatorname{im}f}f(h) = f(g)\diamond f(h). \]
Por consiguiente,
\[ \overline f\bigl((gK)\star_K(hK)\bigr) = \overline f(gK)\diamond_{\operatorname{im}f}\overline f(hK), \]
y \(\overline f\) es un homomorfismo de grupos.
Paso 4. \(\overline f\) es sobreyectiva
Sea \(y\in\operatorname{im}f\). Por definición de imagen, existe \(g\in G\) tal que
\[ y=f(g). \]
Entonces
\[ y=f(g)=\overline f(gK). \]
Luego \(\overline f\) es sobreyectiva.
Paso 5. \(\overline f\) es inyectiva
Supongamos
\[ \overline f(gK)=\overline f(hK). \]
Entonces
\[ f(g)=f(h). \]
Por homomorfía y preservación de inversos,
\[ \begin{aligned} f(h^{-1}\star g) &=f(h)^{-1}\diamond f(g)\\ &=f(h)^{-1}\diamond f(h)\\ &=e_{\mathcal H}. \end{aligned} \]
Así,
\[ h^{-1}\star g\in\ker f=K. \]
Por el Teorema 11.2.1, se sigue
\[ gK=hK. \]
Por tanto, \(\overline f\) es inyectiva.
Hemos demostrado que \(\overline f\) es un homomorfismo biyectivo entre grupos. Por la Definición 8.2.3, es un isomorfismo de grupos. En consecuencia,
\[ \mathcal G/\ker f \cong \mathcal H|_{\operatorname{im}f}. \]
\(\square\)
Lectura estructural. El núcleo mide exactamente la información que \(f\) identifica. Al cocientar por el núcleo se elimina esa redundancia y el homomorfismo resultante ya no colapsa nada: se vuelve inyectivo. La imagen, por su parte, elimina del codominio todo lo que \(f\) nunca alcanza. Después de ambas operaciones queda un isomorfismo.
13.2. Caso sobreyectivo
Corolario 13.2.1 — Forma sobreyectiva del primer teorema de isomorfía
Sea
\[ f:G\to H \]
un homomorfismo sobreyectivo de grupos. Entonces existe un isomorfismo de grupos
\[ \widehat f:G/\ker f\longrightarrow H \]
caracterizado por
\[ \widehat f(g\ker f)=f(g). \]
En particular,
\[ \boxed{ \mathcal G/\ker f\cong\mathcal H }. \]
Demostración
Por la Proposición 9.3.2, la sobreyectividad de \(f\) equivale a
\[ \operatorname{im}f=H. \]
No cambiaremos silenciosamente el codominio de la función construida en el Teorema 13.1.1. Definimos, en cambio, un nuevo grafo
\[ \Gamma_{\widehat f} := \left\{ \langle C,y\rangle\in (G/\ker f)\times H: \exists g\in G\;(C=g\ker f\land y=f(g)) \right\}. \]
La invariancia respecto de representantes demostrada en el Teorema 13.1.1 garantiza que este grafo es funcional; y cada clase posee algún representante, de modo que es total. Así determina una función
\[ \widehat f:G/\ker f\to H \]
con
\[ \widehat f(g\ker f)=f(g). \]
La misma igualdad, junto con la definición del producto cociente y la homomorfía de \(f\), da
\[ \widehat f\bigl((g\ker f)\star_{\ker f}(h\ker f)\bigr) =f(g\star h) =f(g)\diamond f(h), \]
de modo que \(\widehat f\) es un homomorfismo. Si
\[ \widehat f(g\ker f)=\widehat f(h\ker f), \]
entonces \(f(g)=f(h)\) y el argumento de inyectividad del Teorema 13.1.1 produce
\[ g\ker f=h\ker f. \]
Finalmente, como \(f\) es sobreyectiva, para todo \(y\in H\) existe \(g\in G\) con \(y=f(g)=\widehat f(g\ker f)\). Por tanto, \(\widehat f\) es biyectiva.
Por la Definición 8.2.3, \(\widehat f\) es un isomorfismo de grupos.
\(\square\)
13.3. Cierre del bloque de grupos
El primer teorema de isomorfía cierra la primera gran arquitectura del tratado:
\[ \text{homomorfismo} \longrightarrow \ker f \longrightarrow G/\ker f \longrightarrow \operatorname{im}f \longrightarrow \text{isomorfismo}. \]
El resultado no afirma una igualdad literal entre \(G/\ker f\) y \(\operatorname{im}f\). Afirma la existencia de un isomorfismo canónicamente determinado por \(f\).
Tampoco se ha utilizado el axioma de elección. La función inducida se construyó mediante su grafo y la invariancia respecto de representantes, no seleccionando una familia global de representantes del cociente.
Con esto queda cerrada la infraestructura básica de la Parte II necesaria para pasar a estructuras con dos operaciones.
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