Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 20: Isomorfismos y primer teorema de isomorfía para anillos
Capítulo 20 — Isomorfismos y primer teorema de isomorfía para anillos
20.0. Propósito y posición deductiva
La teoría desarrollada hasta aquí dispone ya de las cuatro piezas necesarias para el primer teorema de isomorfía en anillos:
- homomorfismos unitarios de anillos;
- núcleos como ideales bilaterales;
- cocientes por ideales bilaterales;
- imágenes como subanillos unitarios.
Falta únicamente fijar la noción de isomorfismo de anillos y demostrar que la biyectividad permite invertir un homomorfismo sin perder ninguna de las dos operaciones ni la unidad multiplicativa. Después podremos hacer descender un homomorfismo
\[ f:R\to S \]
al cociente por su núcleo y obtener
\[ \boxed{ \mathcal R/\ker f \cong \text{el subanillo de }\mathcal S\text{ inducido sobre }\operatorname{im}f. } \]
Como en el caso de grupos, el punto conjuntista delicado no es la fórmula informal
\[ [a]_{\ker f}\longmapsto f(a), \]
sino demostrar que el valor es independiente del representante y construir una función genuina sobre el conjunto cociente sin efectuar una elección global de representantes.
Contraste bibliográfico. La arquitectura se contrasta con Dummit–Foote (
BIB-TALG-0001), Lam (BIB-TALG-0008) y, para el caso conmutativo, Atiyah–Macdonald (BIB-TALG-0007). Las demostraciones se desarrollan íntegramente dentro del tratado.
20.1. Isomorfismos de anillos
Definición 20.1.1 — Isomorfismo de anillos
Sean
\[ \mathcal R=\langle R,+_R,\cdot_R\rangle, \qquad \mathcal S=\langle S,+_S,\cdot_S\rangle \]
anillos. Una función
\[ f:R\to S \]
es un isomorfismo de anillos si se cumplen simultáneamente:
- \(f\) es un homomorfismo de anillos en el sentido de la Definición 17.2.1;
- \(f\) es biyectiva en el sentido importado por
TALG-IMP-00002.
Por nuestra convención unital, la primera condición incluye explícitamente
\[ f(1_{\mathcal R})=1_{\mathcal S}. \]
No se exige como axioma adicional que la inversa funcional preserve la estructura: eso se demostrará a continuación.
Proposición 20.1.2 — La inversa de un isomorfismo de anillos es un isomorfismo
Sean \(\mathcal R\) y \(\mathcal S\) anillos y sea
\[ f:R\to S \]
un isomorfismo de anillos. Entonces la función inversa
\[ f^{-1}:S\to R \]
es un isomorfismo de anillos de \(\mathcal S\) en \(\mathcal R\).
Demostración
Como \(f\) es biyectiva, TALG-IMP-00002 proporciona una función inversa
\[ f^{-1}:S\to R \]
con
\[ f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_R, \qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_S. \]
Sean \(u,v\in S\) y escribamos
\[ a:=f^{-1}(u), \qquad b:=f^{-1}(v). \]
Entonces \(f(a)=u\) y \(f(b)=v\). Como \(f\) preserva la suma,
\[ f(a+_R b)=f(a)+_S f(b)=u+_S v. \]
Aplicando \(f^{-1}\),
\[ f^{-1}(u+_S v)=a+_R b =f^{-1}(u)+_R f^{-1}(v). \]
Del mismo modo, por preservación del producto,
\[ f(a\cdot_R b)=f(a)\cdot_S f(b)=u\cdot_S v, \]
y por tanto
\[ f^{-1}(u\cdot_S v) = f^{-1}(u)\cdot_R f^{-1}(v). \]
Finalmente, como
\[ f(1_{\mathcal R})=1_{\mathcal S}, \]
aplicar \(f^{-1}\) da
\[ f^{-1}(1_{\mathcal S})=1_{\mathcal R}. \]
Así, \(f^{-1}\) es un homomorfismo de anillos. Además, \(f\) es una inversa bilateral de \(f^{-1}\), de modo que TALG-IMP-00002 implica que \(f^{-1}\) es biyectiva. Por la Definición 20.1.1, \(f^{-1}\) es un isomorfismo de anillos. \(\square\)
Proposición 20.1.3 — Identidad y composición de isomorfismos de anillos
Sean \(\mathcal R\), \(\mathcal S\) y \(\mathcal T\) anillos.
- La identidad \[ \operatorname{id}_R:R\to R \] es un isomorfismo de anillos de \(\mathcal R\) consigo mismo.
- Si \[ f:R\to S \qquad\text{y}\qquad g:S\to T \] son isomorfismos de anillos, entonces \[ g\circ f:R\to T \] es un isomorfismo de anillos.
Demostración
Por la Proposición 17.2.3, \(\operatorname{id}_R\) es un homomorfismo de anillos. Ella misma es inversa bilateral de sí misma, por lo que TALG-IMP-00002 implica que es biyectiva. Así, la Definición 20.1.1 la identifica como isomorfismo.
Sean ahora \(f\) y \(g\) isomorfismos. Por la Proposición 17.2.3, la composición \(g\circ f\) es un homomorfismo de anillos. Por la Proposición 20.1.2 existen isomorfismos inversos
\[ f^{-1}:S\to R, \qquad g^{-1}:T\to S. \]
Definamos
\[ h:=f^{-1}\circ g^{-1}:T\to R. \]
Para \(a\in R\),
\[ \begin{aligned} h((g\circ f)(a)) &=f^{-1}(g^{-1}(g(f(a))))\\ &=f^{-1}(f(a))\\ &=a, \end{aligned} \]
y para \(c\in T\),
\[ \begin{aligned} (g\circ f)(h(c)) &=g(f(f^{-1}(g^{-1}(c))))\\ &=g(g^{-1}(c))\\ &=c. \end{aligned} \]
Por tanto, \(h\) es inversa bilateral de \(g\circ f\). TALG-IMP-00002 implica que \(g\circ f\) es biyectiva. Junto con su carácter de homomorfismo, la Definición 20.1.1 concluye que es un isomorfismo de anillos. \(\square\)
Consecuencia notacional. La notación ya activa \(\cong\) (Notación 8.3.1) se interpreta desde ahora también en contexto de anillos: expresa la existencia de un isomorfismo de anillos, nunca igualdad literal de estructuras.
20.2. Primer teorema de isomorfía para anillos
Teorema 20.2.1 — Primer teorema de isomorfía para anillos
Sean
\[ \mathcal R=\langle R,+_R,\cdot_R\rangle, \qquad \mathcal S=\langle S,+_S,\cdot_S\rangle \]
anillos, y sea
\[ f:R\to S \]
un homomorfismo de anillos. Escribamos
\[ K:=\ker f, \]
donde el núcleo se toma respecto del homomorfismo de los grupos aditivos subyacentes.
Entonces \(K\) es un ideal bilateral de \(R\) y existe una única función
\[ \overline f:R/K\longrightarrow\operatorname{im}f \]
que satisface
\[ \overline f([a]_K)=f(a) \qquad(a\in R). \]
Esta función es un isomorfismo de anillos entre el anillo cociente
\[ \mathcal R/K \]
y el subanillo de \(\mathcal S\) inducido sobre \(\operatorname{im}f\). En particular,
\[ \boxed{ \mathcal R/\ker f \cong \left\langle \operatorname{im}f, +_{\operatorname{im}f}, \cdot_{\operatorname{im}f} \right\rangle. } \]
Demostración
Por la Proposición 18.3.1,
\[ K=\ker f \]
es un ideal bilateral de \(R\). Por el Teorema 19.3.2, el cociente
\[ \mathcal R/K \]
es un anillo. Por la Proposición 17.3.1, \(\operatorname{im}f\) determina un subanillo de \(\mathcal S\); por la Proposición 17.1.2, la estructura inducida sobre la imagen es un anillo y tiene el mismo cero y la misma unidad que \(\mathcal S\).
La demostración se divide en cinco pasos.
Paso 1. Independencia del representante
Supongamos
\[ [a]_K=[b]_K. \]
Por la Proposición 19.1.5,
\[ a-b\in K=\ker f. \]
Por definición de núcleo,
\[ f(a-b)=0_S. \]
Por la Proposición 17.2.2, \(f\) preserva opuestos aditivos, y como es aditiva,
\[ \begin{aligned} f(a-b) &=f(a+(-b))\\ &=f(a)+f(-b)\\ &=f(a)-f(b). \end{aligned} \]
Luego
\[ f(a)-f(b)=0_S. \]
En el grupo aditivo de \(S\),
\[ \begin{aligned} f(a) &=f(a)+0_S\\ &=f(a)+\bigl(-f(b)+f(b)\bigr)\\ &=\bigl(f(a)-f(b)\bigr)+f(b)\\ &=0_S+f(b)\\ &=f(b). \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ \boxed{[a]_K=[b]_K\Longrightarrow f(a)=f(b)}. \]
Paso 2. Construcción de \(\overline f\) sin elección global de representantes
Definimos
\[ \Gamma_{\overline f} := \left\{ \langle C,y\rangle\in (R/K)\times\operatorname{im}f: \exists a\in R\;\bigl(C=[a]_K\land y=f(a)\bigr) \right\}. \]
Este conjunto existe por producto cartesiano y Separación.
Sea \(C\in R/K\). Por definición de conjunto cociente, existe \(a\in R\) tal que
\[ C=[a]_K. \]
Entonces \(f(a)\in\operatorname{im}f\) y
\[ \langle C,f(a)\rangle\in\Gamma_{\overline f}. \]
Así, el grafo es total sobre \(R/K\).
Para la funcionalidad, supongamos
\[ \langle C,y\rangle, \langle C,z\rangle \in\Gamma_{\overline f}. \]
Existen \(a,b\in R\) tales que
\[ C=[a]_K=[b]_K, \qquad y=f(a), \qquad z=f(b). \]
Por el Paso 1, \(f(a)=f(b)\), y por tanto \(y=z\). El grafo define una función
\[ \overline f:R/K\to\operatorname{im}f \]
con
\[ \overline f([a]_K)=f(a). \]
No se ha elegido simultáneamente un representante de cada clase: se utiliza sólo la existencia local de algún representante y la funcionalidad prueba que todos producen el mismo valor.
La unicidad es inmediata. Si
\[ \psi:R/K\to\operatorname{im}f \]
satisface
\[ \psi([a]_K)=f(a) \]
para todo \(a\in R\), entonces para cada \(C\in R/K\) existe \(a\in R\) con \(C=[a]_K\), y
\[ \psi(C)=f(a)=\overline f(C). \]
Por Extensionalidad de funciones,
\[ \psi=\overline f. \]
Paso 3. \(\overline f\) es un homomorfismo de anillos
Sean \([a]_K,[b]_K\in R/K\). Por las operaciones cociente,
\[ [a]_K+_K[b]_K=[a+b]_K, \]
por lo que
\[ \begin{aligned} \overline f([a]_K+_K[b]_K) &=\overline f([a+b]_K)\\ &=f(a+b)\\ &=f(a)+_S f(b). \end{aligned} \]
Como la suma del subanillo inducido sobre \(\operatorname{im}f\) es la restricción de \(+_S\),
\[ f(a)+_S f(b) = f(a)+_{\operatorname{im}f}f(b). \]
Así,
\[ \overline f([a]_K+_K[b]_K) = \overline f([a]_K)+_{\operatorname{im}f}\overline f([b]_K). \]
Análogamente,
\[ \begin{aligned} \overline f([a]_K\cdot_K[b]_K) &=\overline f([ab]_K)\\ &=f(ab)\\ &=f(a)\cdot_S f(b)\\ &=f(a)\cdot_{\operatorname{im}f}f(b). \end{aligned} \]
Para la unidad, el Teorema 19.3.2 da
\[ 1_{\mathcal R/K}=[1_R]_K, \]
y entonces
\[ \overline f(1_{\mathcal R/K}) = \overline f([1_R]_K) = f(1_R) = 1_S. \]
Por la Proposición 17.1.2, el subanillo inducido sobre \(\operatorname{im}f\) tiene unidad \(1_S\). Por tanto \(\overline f\) preserva también la unidad multiplicativa y es un homomorfismo de anillos.
Paso 4. \(\overline f\) es sobreyectiva
Sea \(y\in\operatorname{im}f\). Por definición de imagen existe \(a\in R\) tal que
\[ y=f(a). \]
Entonces
\[ y=f(a)=\overline f([a]_K). \]
Luego \(\overline f\) es sobreyectiva.
Paso 5. \(\overline f\) es inyectiva
Supongamos
\[ \overline f([a]_K)=\overline f([b]_K). \]
Entonces
\[ f(a)=f(b). \]
Por aditividad y preservación de opuestos,
\[ \begin{aligned} f(a-b) &=f(a)-f(b)\\ &=0_S. \end{aligned} \]
Por definición de núcleo,
\[ a-b\in K. \]
La Proposición 19.1.5 implica entonces
\[ [a]_K=[b]_K. \]
Así, \(\overline f\) es inyectiva.
Hemos probado que \(\overline f\) es un homomorfismo de anillos biyectivo. Por la Definición 20.1.1, es un isomorfismo de anillos. En consecuencia,
\[ \mathcal R/\ker f \cong \left\langle \operatorname{im}f, +_{\operatorname{im}f}, \cdot_{\operatorname{im}f} \right\rangle. \]
\(\square\)
Lectura estructural. El núcleo contiene exactamente las diferencias que el homomorfismo vuelve invisibles. Cocientar por él elimina esa pérdida de información; restringir el codominio a la imagen elimina los elementos nunca alcanzados. El resultado restante es reversible.
20.3. Forma sobreyectiva
Corolario 20.3.1 — Forma sobreyectiva del primer teorema de isomorfía para anillos
Sea
\[ f:R\to S \]
un homomorfismo sobreyectivo de anillos. Entonces existe un isomorfismo de anillos
\[ \widehat f:R/\ker f\longrightarrow S \]
caracterizado por
\[ \widehat f([a]_{\ker f})=f(a) \qquad(a\in R). \]
En particular,
\[ \boxed{ \mathcal R/\ker f\cong\mathcal S. } \]
Demostración
Por sobreyectividad, para todo \(s\in S\) existe \(a\in R\) con \(f(a)=s\). Por definición de imagen,
\[ \operatorname{im}f\subseteq S. \]
La sobreyectividad da la inclusión inversa, y por Extensionalidad
\[ \operatorname{im}f=S. \]
El Teorema 20.2.1 proporciona una función biyectiva
\[ \overline f:R/\ker f\to\operatorname{im}f \]
con
\[ \overline f([a]_{\ker f})=f(a). \]
Como \(\operatorname{im}f=S\) es una igualdad literal de conjuntos, el codominio de esa misma función es \(S\); no estamos sustituyendo el codominio por una estructura meramente isomorfa. Denotemos esta misma función por
\[ \widehat f:R/\ker f\to S. \]
La biyectividad se conserva inmediatamente. Además, para \(a,b\in R\),
\[ \begin{aligned} \widehat f([a]_{\ker f}+_{\ker f}[b]_{\ker f}) &=f(a+b)\\ &=f(a)+_S f(b), \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \widehat f([a]_{\ker f}\cdot_{\ker f}[b]_{\ker f}) &=f(ab)\\ &=f(a)\cdot_S f(b), \end{aligned} \]
y
\[ \widehat f(1_{\mathcal R/\ker f}) = \widehat f([1_R]_{\ker f}) = f(1_R) = 1_S. \]
Así, \(\widehat f\) es un homomorfismo de anillos. Al ser biyectiva, la Definición 20.1.1 implica que es un isomorfismo. \(\square\)
20.4. Cierre del bloque
La cadena estructural queda ahora cerrada en la forma
homomorfismo de anillos f:R→S
↓
ker f = ideal bilateral
↓
anillo cociente R/ker f
↓
mapa inducido [a] ↦ f(a)
↓
buena definición sin elección global de representantes
↓
homomorfismo biyectivo R/ker f → im f
↓
primer teorema de isomorfía
↓
si f es sobreyectivo: R/ker f ≅ SCon esto puede abrirse ya la noción de dominio íntegro sin dejar pendiente la infraestructura elemental de isomorfismos y cocientes de anillos.
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