Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 19: Cocientes de anillos
Capítulo 19 — Cocientes de anillos
19.0. Propósito y posición deductiva
Un ideal bilateral no sólo aparece como núcleo de un homomorfismo: también determina exactamente la relación de congruencia necesaria para identificar elementos de un anillo sin destruir la suma ni el producto.
La cadena deductiva será
\[ \text{ideal bilateral }I\subseteq R \longrightarrow \equiv_I \longrightarrow R/I \longrightarrow \text{compatibilidad con }+ \longrightarrow \text{compatibilidad con }\cdot \longrightarrow +_I,\cdot_I \longrightarrow \mathcal R/I\text{ anillo} \longrightarrow q_I:R\to R/I. \]
La dificultad no está en escribir informalmente
\[ [a]_I+[b]_I=[a+b]_I, \qquad [a]_I\cdot[b]_I=[ab]_I, \]
sino en probar primero que el resultado no depende de los representantes elegidos. En particular, la multiplicación requiere las dos absorciones que caracterizan a un ideal bilateral.
Contraste bibliográfico. La arquitectura general se controla con Dummit–Foote (
BIB-TALG-0001) y Lam (BIB-TALG-0008); el caso conmutativo se contrasta con Atiyah–Macdonald (BIB-TALG-0007). Las pruebas se desarrollan íntegramente dentro del tratado.
19.1. Congruencia módulo un ideal
Definición 19.1.1 — Congruencia módulo un ideal bilateral
Sea
\[ \mathcal R=\langle R,+,\cdot\rangle \]
un anillo y sea \(I\subseteq R\) un ideal bilateral. Definimos una relación \(\equiv_I\) sobre \(R\) mediante
\[ a\equiv_I b \quad\Longleftrightarrow\quad a-b\in I. \]
Equivalentemente,
\[ \equiv_I := \{\langle a,b\rangle\in R\times R:a-b\in I\}, \]
que existe por Separación. Cuando sea conveniente escribiremos también
\[ a\equiv b\pmod I. \]
En esta etapa la palabra congruencia nombra la relación definida; que sea una relación de equivalencia y que sea compatible con ambas operaciones se demostrará a continuación.
Proposición 19.1.2 — La congruencia módulo \(I\) es una relación de equivalencia
Para todo ideal bilateral \(I\) de \(R\), la relación \(\equiv_I\) es una relación de equivalencia sobre \(R\).
Demostración
Como \(I\) determina un subgrupo del grupo aditivo de \(R\), contiene \(0\), es cerrado bajo suma y es cerrado bajo opuestos.
Reflexividad. Para todo \(a\in R\), \[ a-a=0\in I, \] luego \(a\equiv_I a\).
Simetría. Si \(a\equiv_I b\), entonces \(a-b\in I\). Como \(I\) es cerrado bajo opuestos, \[ -(a-b)=b-a\in I, \] y por tanto \(b\equiv_I a\).
Transitividad. Si \(a\equiv_I b\) y \(b\equiv_I c\), entonces \[ a-b\in I, \qquad b-c\in I. \] Por cierre aditivo, \[ (a-b)+(b-c)=a-c\in I, \] luego \(a\equiv_I c\).
Por TALG-IMP-00003, \(\equiv_I\) es una relación de equivalencia. \(\square\)
Definición 19.1.3 — Conjunto cociente \(R/I\)
Como \(\equiv_I\) es una relación de equivalencia sobre \(R\), definimos
\[ R/I := R/{\equiv_I}. \]
Por TALG-IMP-00003, este cociente existe como conjunto y satisface
\[ R/I\subseteq\mathcal P(R). \]
Sus elementos son clases de equivalencia, no representantes individuales.
Notación 19.1.4 — Clases módulo \(I\)
Para \(a\in R\) escribiremos
\[ [a]_I := [a]_{\equiv_I}. \]
La expresión \(R/I\) seguirá denotando, hasta que se introduzcan y verifiquen las operaciones cociente, únicamente el conjunto de clases de equivalencia.
Proposición 19.1.5 — Criterio de igualdad de clases módulo \(I\)
Para \(a,b\in R\) son equivalentes:
\[ [a]_I=[b]_I, \qquad a\equiv_I b, \qquad a-b\in I. \]
Demostración
La equivalencia entre \(a\equiv_I b\) y \(a-b\in I\) es definicional.
Supongamos primero \(a\equiv_I b\). Sea \(x\in R\). Si \(x\in[a]_I\), entonces \(x\equiv_I a\); por transitividad con \(a\equiv_I b\), se obtiene \(x\equiv_I b\), y por tanto \(x\in[b]_I\). La inclusión inversa se obtiene usando la simetría de \(a\equiv_I b\). Por Extensionalidad,
\[ [a]_I=[b]_I. \]
Recíprocamente, si \([a]_I=[b]_I\), la reflexividad de \(\equiv_I\) da \(a\in[a]_I\). Por igualdad de clases,
\[ a\in[b]_I, \]
lo que significa \(a\equiv_I b\). \(\square\)
19.2. Compatibilidad con las operaciones del anillo
Proposición 19.2.1 — Compatibilidad aditiva
Si
\[ a\equiv_I a' \qquad\text{y}\qquad b\equiv_I b', \]
entonces
\[ a+b\equiv_I a'+b'. \]
Equivalentemente,
\[ [a]_I=[a']_I, \quad [b]_I=[b']_I \quad\Longrightarrow\quad [a+b]_I=[a'+b']_I. \]
Demostración
De las hipótesis se sigue
\[ a-a'\in I, \qquad b-b'\in I. \]
Como \(I\) es un subgrupo aditivo,
\[ (a-a')+(b-b')\in I. \]
El grupo aditivo de un anillo es abeliano, de modo que
\[ (a-a')+(b-b') =(a+b)-(a'+b'). \]
Por la Definición 19.1.1, resulta
\[ a+b\equiv_I a'+b'. \]
La formulación mediante igualdad de clases sigue de la Proposición 19.1.5. \(\square\)
Proposición 19.2.2 — Compatibilidad multiplicativa
Si
\[ a\equiv_I a' \qquad\text{y}\qquad b\equiv_I b', \]
entonces
\[ ab\equiv_I a'b'. \]
Equivalentemente,
\[ [a]_I=[a']_I, \quad [b]_I=[b']_I \quad\Longrightarrow\quad [ab]_I=[a'b']_I. \]
Demostración
Tenemos
\[ a-a'\in I, \qquad b-b'\in I. \]
Como \(I\) es ideal bilateral,
\[ a(b-b')\in I \]
por absorción izquierda, y
\[ (a-a')b'\in I \]
por absorción derecha. Por cierre aditivo,
\[ a(b-b')+(a-a')b'\in I. \]
Usando distributividad y las reglas del grupo aditivo,
\[ \begin{aligned} a(b-b')+(a-a')b' &=ab-ab'+ab'-a'b'\\ &=ab-a'b'. \end{aligned} \]
Por tanto,
\[ ab-a'b'\in I, \]
es decir,
\[ ab\equiv_I a'b'. \]
La formulación mediante clases sigue de la Proposición 19.1.5. \(\square\)
Punto estructural. La prueba utiliza los dos lados de la absorción: \(a(b-b')\) exige absorción izquierda y \((a-a')b'\) exige absorción derecha. Éste es el lugar exacto donde un ideal meramente lateral deja de ser suficiente para construir, en general, el producto cociente.
Lema 19.2.3 — Existencia y unicidad de las operaciones cociente
Existen únicas funciones
\[ +_I:(R/I)\times(R/I)\to R/I \]
y
\[ \cdot_I:(R/I)\times(R/I)\to R/I \]
tales que, para todo \(a,b\in R\),
\[ +_I(\langle[a]_I,[b]_I\rangle)=[a+b]_I \]
y
\[ \cdot_I(\langle[a]_I,[b]_I\rangle)=[ab]_I. \]
Demostración
Sea
\[ D:=(R/I)\times(R/I). \]
Todo elemento de \(R/I\) es, por definición del conjunto cociente, una clase \([a]_I\) para algún \(a\in R\). Por tanto, para cada
\[ \langle A,B\rangle\in D \]
existen \(a,b\in R\) tales que
\[ A=[a]_I, \qquad B=[b]_I. \]
Para la suma, consideremos la condición
\[ C=[a+b]_I. \]
Si también
\[ A=[a']_I, \qquad B=[b']_I, \]
entonces la Proposición 19.2.1 da
\[ [a+b]_I=[a'+b']_I. \]
Por tanto, para cada entrada \(\langle A,B\rangle\) existe un único \(C\in R/I\) determinado por esa regla. Separando dentro de
\[ D\times(R/I) \]
los pares \(\langle\langle A,B\rangle,C\rangle\) que satisfacen la condición anterior obtenemos el grafo de una única función
\[ +_I:D\to R/I. \]
El argumento para el producto es idéntico, sustituyendo la Proposición 19.2.1 por la Proposición 19.2.2: la clase \([ab]_I\) es independiente de los representantes de \(A\) y \(B\), y por Separación obtenemos una única función
\[ \cdot_I:D\to R/I. \]
No se ha elegido globalmente ningún sistema de representantes; sólo se usa la existencia local de representantes certificada por la definición del cociente. \(\square\)
Notación 19.2.4 — Operaciones cociente
Escribiremos
\[ [a]_I+_I[b]_I=[a+b]_I, \]
\[ [a]_I\cdot_I[b]_I=[ab]_I. \]
Estas expresiones ya denotan operaciones binarias genuinas sobre \(R/I\) por el Lema 19.2.3.
19.3. El anillo cociente
Definición 19.3.1 — Estructura cociente asociada a un ideal
Definimos la estructura
\[ \mathcal R/I := \langle R/I,+_I,\cdot_I\rangle. \]
Por ahora se trata de una estructura con dos operaciones binarias bien definidas. Que satisfaga los axiomas de anillo se demuestra en el siguiente teorema.
Teorema 19.3.2 — El cociente por un ideal bilateral es un anillo
La estructura
\[ \mathcal R/I=\langle R/I,+_I,\cdot_I\rangle \]
es un anillo. Además,
\[ 0_{\mathcal R/I}=[0_{\mathcal R}]_I, \qquad 1_{\mathcal R/I}=[1_{\mathcal R}]_I, \]
y el opuesto aditivo de \([a]_I\) es \([-a]_I\).
Demostración
Sean \([a]_I,[b]_I,[c]_I\in R/I\). Todas las operaciones que aparecen a continuación están bien definidas por el Lema 19.2.3.
Para la suma,
\[ \begin{aligned} ([a]_I+_I[b]_I)+_I[c]_I &=[(a+b)+c]_I\\ &=[a+(b+c)]_I\\ &=[a]_I+_I([b]_I+_I[c]_I), \end{aligned} \]
así que \(+_I\) es asociativa. Asimismo,
\[ [a]_I+_I[0]_I=[a+0]_I=[a]_I, \]
\[ [0]_I+_I[a]_I=[0+a]_I=[a]_I, \]
por lo que \([0]_I\) es el neutro aditivo. Además,
\[ [a]_I+_I[-a]_I=[a-a]_I=[0]_I, \]
y análogamente en el otro orden; por tanto \([-a]_I\) es el inverso aditivo de \([a]_I\). Finalmente,
\[ [a]_I+_I[b]_I=[a+b]_I=[b+a]_I=[b]_I+_I[a]_I, \]
de modo que el grupo aditivo es abeliano.
Para la multiplicación,
\[ \begin{aligned} ([a]_I\cdot_I[b]_I)\cdot_I[c]_I &=[(ab)c]_I\\ &=[a(bc)]_I\\ &=[a]_I\cdot_I([b]_I\cdot_I[c]_I), \end{aligned} \]
por asociatividad en \(R\). Además,
\[ [a]_I\cdot_I[1]_I=[a1]_I=[a]_I, \]
\[ [1]_I\cdot_I[a]_I=[1a]_I=[a]_I, \]
por lo que \([1]_I\) es neutro multiplicativo.
Las distributividades descienden del anillo ambiente:
\[ \begin{aligned} [a]_I\cdot_I([b]_I+_I[c]_I) &=[a(b+c)]_I\\ &=[ab+ac]_I\\ &=[ab]_I+_I[ac]_I\\ &=([a]_I\cdot_I[b]_I)+_I([a]_I\cdot_I[c]_I), \end{aligned} \]
mientras que
\[ \begin{aligned} ([a]_I+_I[b]_I)\cdot_I[c]_I &=[(a+b)c]_I\\ &=[ac+bc]_I\\ &=[ac]_I+_I[bc]_I\\ &=([a]_I\cdot_I[c]_I)+_I([b]_I\cdot_I[c]_I). \end{aligned} \]
Se cumplen así todos los axiomas de la Definición 14.1.1. La identificación del cero, de la unidad y de los opuestos ya quedó exhibida en la prueba. \(\square\)
Proposición 19.3.3 — No trivialidad del cociente e ideal propio
El anillo cociente \(\mathcal R/I\) es no trivial si y sólo si \(I\) es un ideal propio de \(R\):
\[ \boxed{ 0_{\mathcal R/I}\neq1_{\mathcal R/I} \quad\Longleftrightarrow\quad I\neq R. } \]
Demostración
Por el Teorema 19.3.2,
\[ 0_{\mathcal R/I}=[0]_I, \qquad 1_{\mathcal R/I}=[1]_I. \]
Por la Proposición 19.1.5,
\[ [1]_I=[0]_I \iff 1-0\in I \iff 1\in I. \]
Por el Teorema 18.1.3,
\[ 1\in I \iff I=R. \]
Negando ambos lados de la equivalencia obtenemos
\[ [0]_I\neq[1]_I \iff I\neq R. \]
Por la Definición 16.1.1 y la Definición 18.1.4, esto equivale exactamente a la afirmación del enunciado. \(\square\)
Proposición 19.3.4 — La conmutatividad desciende al cociente
Si \(\mathcal R\) es un anillo conmutativo, entonces \(\mathcal R/I\) es un anillo conmutativo.
Demostración
Para \([a]_I,[b]_I\in R/I\),
\[ [a]_I\cdot_I[b]_I =[ab]_I =[ba]_I =[b]_I\cdot_I[a]_I, \]
porque \(ab=ba\) en \(R\). Por la Definición 14.5.1, el cociente es conmutativo. \(\square\)
19.4. Proyección canónica
Definición 19.4.1 — Proyección canónica al cociente
Definimos la función
\[ q_I:R\to R/I, \qquad q_I(a):=[a]_I. \]
Conjuntistamente, su grafo es
\[ \{\langle a,C\rangle\in R\times(R/I):C=[a]_I\}, \]
que existe por Separación. Para cada \(a\in R\) existe una única clase \([a]_I\), por lo que este grafo determina una función con dominio \(R\) y codominio \(R/I\).
Proposición 19.4.2 — La proyección canónica es sobreyectiva, homomórfica y tiene núcleo \(I\)
La función
\[ q_I:R\to R/I \]
es un homomorfismo de anillos sobreyectivo y
\[ \boxed{\ker q_I=I.} \]
Demostración
Para \(a,b\in R\),
\[ q_I(a+b) =[a+b]_I =[a]_I+_I[b]_I =q_I(a)+_Iq_I(b), \]
\[ q_I(ab) =[ab]_I =[a]_I\cdot_I[b]_I =q_I(a)\cdot_Iq_I(b), \]
y, por el Teorema 19.3.2,
\[ q_I(1_R)=[1_R]_I=1_{\mathcal R/I}. \]
Por la Definición 17.2.1, \(q_I\) es un homomorfismo de anillos.
Sea ahora \(C\in R/I\). Por definición del cociente existe \(a\in R\) tal que
\[ C=[a]_I. \]
Entonces \(q_I(a)=C\). Así, \(q_I\) es sobreyectiva en el sentido importado por TALG-IMP-00002. No se requiere una elección simultánea de representantes.
Finalmente, considerando \(q_I\) como homomorfismo de los grupos aditivos,
\[ \begin{aligned} a\in\ker q_I &\iff q_I(a)=0_{\mathcal R/I}\\ &\iff [a]_I=[0]_I\\ &\iff a-0\in I\\ &\iff a\in I, \end{aligned} \]
usando la Proposición 19.1.5. Por Extensionalidad,
\[ \ker q_I=I. \]
\(\square\)
Corolario 19.4.3 — Todo ideal bilateral es núcleo de un homomorfismo sobreyectivo
Sea \(I\) un ideal bilateral de \(R\). Entonces existe un homomorfismo de anillos sobreyectivo
\[ q_I:R\to R/I \]
tal que
\[ \ker q_I=I. \]
Si además \(I\) es propio, el codominio \(\mathcal R/I\) es no trivial.
Demostración
La primera afirmación es exactamente la Proposición 19.4.2. Si \(I\) es propio, la Proposición 19.3.3 implica que \(\mathcal R/I\) es no trivial. \(\square\)
19.5. Cierre deductivo
Queda cerrada la cadena
ideal bilateral I
↓
congruencia a ≡ b (mod I)
↓
relación de equivalencia
↓
R/I como conjunto de clases
↓
compatibilidad aditiva
+
compatibilidad multiplicativa
↓
+_I y ·_I bien definidas
↓
anillo cociente R/I
↓
I propio ↔ R/I no trivial
↓
proyección q_I:R→R/I
↓
q_I sobreyectiva, ker q_I = INo se ha utilizado el axioma de elección. No se ha importado ningún teorema general de descenso a cocientes: la buena definición de ambas operaciones fue demostrada directamente.
El siguiente nodo canónico será
Definición 20.1.1 — Isomorfismo de anillos.
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