Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 22: Cuerpos y subcuerpos

Capítulo del Tratado moderno de Álgebra dedicado a cuerpos y subcuerpos, publicado desde la fuente canónica cerrada del tratado.

Capítulo 22 — Cuerpos y subcuerpos

22.0. Propósito y posición deductiva

La Parte III dejó construida la jerarquía

anillo conmutativo
→ anillo no trivial
→ ausencia de divisores de cero
→ dominio íntegro.

La Parte IV añade una exigencia multiplicativa más fuerte: que todo elemento no nulo sea invertible. La noción resultante será la de cuerpo.

La infraestructura necesaria ya está disponible:

1. anillos y anillos conmutativos (Definición 14.1.1, la Definición 14.5.1);
2. unidades e inversos multiplicativos únicos (Definición 15.1.1, la Proposición 15.2.1, la Notación 15.3.1);
3. no trivialidad (Definición 16.1.1);
4. dominios íntegros (Definición 21.1.1);
5. subanillos unitarios y su criterio (Definición 17.1.1, el Teorema 17.1.3).

No se introduce una nueva operación. Un cuerpo será una clase especial de anillos; un subcuerpo será una clase especial de subanillos.

Contraste bibliográfico. La convención se contrasta con Dummit–Foote (BIB-TALG-0001), Aluffi (BIB-TALG-0002) y Lang (BIB-TALG-0004). En este tratado, “cuerpo” significa siempre anillo conmutativo unitario, no trivial, en el que todo elemento no nulo es invertible. No se introduce aquí la noción no conmutativa de anillo de división. Las demostraciones se desarrollan internamente.

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22.1. Cuerpos

Definición 22.1.1 — Cuerpo

Sea

\[ \mathcal F=\langle F,+,\cdot\rangle \]

un anillo. Diremos que \(\mathcal F\) es un cuerpo si se cumplen simultáneamente:

1. \(\mathcal F\) es conmutativo;
2. \(\mathcal F\) es no trivial, es decir, \[ 0\neq1; \]
3. todo elemento no nulo de \(F\) es una unidad: \[ \forall a\in F,\qquad a\neq0\Longrightarrow a\in F^\times. \]

La tercera condición significa que para cada \(a\neq0\) existe un elemento \(b\in F\) tal que

\[ ab=ba=1. \]

Por la Proposición 15.2.1, ese inverso es único y puede escribirse \(a^{-1}\) mediante la Notación 15.3.1.

Convención terminológica. La conmutatividad forma parte de la definición de cuerpo. Un anillo no conmutativo en el que todo elemento no nulo sea invertible no será llamado “cuerpo” en este tratado.

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22.2. Los elementos no nulos son exactamente las unidades

Proposición 22.2.1 — Unidades de un cuerpo

Sea \(\mathcal F\) un cuerpo. Entonces

\[ \boxed{ F^\times=\{a\in F:a\neq0\}. } \]

Demostración

Sea \(a\in F\).

Si \(a\neq0\), la condición (3) de la Definición 22.1.1 implica directamente

\[ a\in F^\times. \]

Recíprocamente, supongamos \(a\in F^\times\). Como todo cuerpo es no trivial por definición, el Corolario 16.1.2 da

\[ 0\notin F^\times. \]

Por tanto \(a\neq0\).

Así, para todo \(a\in F\),

\[ a\in F^\times \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq0, \]

lo que prueba la igualdad de conjuntos. \(\square\)

Consecuencia estructural. En un cuerpo, el grupo de unidades construido en el Teorema 15.5.1 tiene como conjunto subyacente exactamente \(F\setminus\{0\}\).

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22.3. Todo cuerpo es un dominio íntegro

Teorema 22.3.1 — Todo cuerpo es un dominio íntegro

Todo cuerpo es un dominio íntegro.

Demostración

Sea \(\mathcal F\) un cuerpo. Por la Definición 22.1.1, \(\mathcal F\) es un anillo conmutativo y no trivial.

Resta demostrar que no posee divisores de cero. Sea \(a\in F\) con \(a\neq0\). Por la Proposición 22.2.1,

\[ a\in F^\times. \]

Como \(\mathcal F\) es no trivial, la Proposición 16.3.1 afirma que una unidad no puede ser divisor de cero por la izquierda ni por la derecha. En particular, en el caso conmutativo \(a\) no es divisor de cero en el sentido de la Definición 16.5.2.

Esto vale para todo \(a\neq0\). Por consiguiente, \(\mathcal F\) no posee divisores de cero. Junto con conmutatividad y no trivialidad, la Definición 21.1.1 implica que \(\mathcal F\) es un dominio íntegro. \(\square\)

En consecuencia, todos los resultados ya demostrados para dominios íntegros se aplican a los cuerpos. En particular,

\[ ab=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0\ \lor\ b=0, \]

y todo factor no nulo puede cancelarse multiplicativamente.

Lectura fundacional. Bajo la definición negativa actual de dominio íntegro, estas dos formas operativas se obtienen mediante los resultados clásicos auditados del Capítulo 21; no se atribuyen automáticamente a la parte constructiva del Teorema 22.3.1.

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22.4. Ideales de un cuerpo

Proposición 22.4.1 — Los únicos ideales de un cuerpo son el cero y el total

Sea \(\mathcal F\) un cuerpo y sea \(I\subseteq F\) un ideal bilateral. Entonces

\[ \boxed{ I=\{0\} \quad\text{o}\quad I=F. } \]

Demostración

Aplicamos LEM a la proposición \(\exists a\in I\,(a\neq0)\). Si no existe tal elemento, sea \(x\in I\). Entonces \(\neg(x\neq0)\), es decir, \(\neg\neg(x=0)\); por DNE, \(x=0\). Como esto vale para todo \(x\in I\) y todo ideal contiene \(0\), por Extensionalidad se obtiene

\[ I=\{0\}. \]

En el otro caso existe \(a\in I\) con \(a\neq0\). Por la Proposición 22.2.1, \(a\) es una unidad de \(F\), de modo que \(a^{-1}\in F\) y

\[ a^{-1}a=1. \]

Como \(I\) es un ideal bilateral y \(a\in I\), la absorción por elementos del anillo implica

\[ a^{-1}a\in I. \]

Por tanto,

\[ 1\in I. \]

Aplicando el Teorema 18.1.3, concluimos

\[ I=F. \]

Las dos posibilidades son, pues, exactamente el ideal cero y el ideal total, ambos ya construidos en la Proposición 18.1.2. \(\square\)

Núcleo constructivo. Sin usar la disyunción clásica completa, la parte operativa de la prueba permanece válida: si se exhibe \(a\in I\) con \(a\neq0\), entonces \(I=F\).

Uso posterior. Este resultado será la herramienta central para demostrar que un homomorfismo unital desde un cuerpo hacia un anillo no trivial tiene núcleo cero y, por tanto, es inyectivo.

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22.5. Subcuerpos

Definición 22.5.1 — Subcuerpo

Sea \(\mathcal F=\langle F,+,\cdot\rangle\) un cuerpo y sea \(S\subseteq F\).

Diremos que la estructura inducida

\[ \mathcal S=\langle S,+_S,\cdot_S\rangle \]

es un subcuerpo de \(\mathcal F\) si se cumplen simultáneamente:

1. \(\mathcal S\) es un subanillo de \(\mathcal F\) en el sentido unital de la Definición 17.1.1;
2. para todo \(a\in S\) con \(a\neq0\), el inverso multiplicativo de \(a\) en \(F\) pertenece a \(S\): \[ a^{-1}\in S. \]

La segunda condición está bien tipada porque, al ser \(\mathcal F\) un cuerpo, todo \(a\neq0\) es una unidad y la Notación 15.3.1 define unívocamente \(a^{-1}\).

Punto estructural. Un subcuerpo comparte con el cuerpo ambiente las dos operaciones, el cero y la unidad. No se permite una unidad multiplicativa distinta de la ambiente.

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Proposición 22.5.2 — La estructura inducida por un subcuerpo es un cuerpo

Si \(\mathcal S\) es un subcuerpo de un cuerpo \(\mathcal F\), entonces \(\mathcal S\) es un cuerpo en el sentido de la Definición 22.1.1.

Demostración

Por la Definición 22.5.1, \(\mathcal S\) es un subanillo de \(\mathcal F\). Entonces la Proposición 17.1.2 asegura que \(\mathcal S\) es un anillo y que

\[ 0_{\mathcal S}=0_{\mathcal F}, \qquad 1_{\mathcal S}=1_{\mathcal F}. \]

Como \(\mathcal F\) es conmutativo y no trivial, la Proposición 17.1.4 implica que \(\mathcal S\) es también conmutativo y no trivial.

Sea ahora \(a\in S\) con \(a\neq0\). Por la condición (2) de la Definición 22.5.1,

\[ a^{-1}\in S. \]

Como las operaciones de \(\mathcal S\) son las restricciones de las operaciones de \(\mathcal F\),

\[ a\cdot_S a^{-1} =aa^{-1} =1_{\mathcal F} =1_{\mathcal S}, \]

y análogamente

\[ a^{-1}\cdot_S a=1_{\mathcal S}. \]

Por la Definición 15.1.1, \(a\) es una unidad de \(\mathcal S\). Esto vale para todo elemento no nulo de \(S\). Por la Definición 22.1.1, \(\mathcal S\) es un cuerpo. \(\square\)

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22.6. Criterio de subcuerpo

Teorema 22.6.1 — Criterio de subcuerpo

Sea \(\mathcal F=\langle F,+,\cdot\rangle\) un cuerpo y sea \(S\subseteq F\). Entonces \(S\) determina un subcuerpo de \(\mathcal F\) si y sólo si se cumplen las cuatro condiciones siguientes:

1. \(1\in S\);
2. para todos \(a,b\in S\), \[ a-b\in S; \]
3. para todos \(a,b\in S\), \[ ab\in S; \]
4. para todo \(a\in S\) con \(a\neq0\), \[ a^{-1}\in S. \]

Demostración

Supongamos primero que \(S\) determina un subcuerpo. Por la Definición 22.5.1, \(S\) determina en particular un subanillo de \(\mathcal F\). Aplicando el Teorema 17.1.3, obtenemos las condiciones (1), (2) y (3). La condición (4) es exactamente la segunda cláusula de la Definición 22.5.1.

Recíprocamente, supongamos (1)–(4). Las tres primeras condiciones y el Teorema 17.1.3 muestran que \(S\) determina un subanillo unital de \(\mathcal F\). La cuarta condición asegura que ese subanillo es cerrado bajo el inverso multiplicativo ambiente de cada elemento no nulo. Por la Definición 22.5.1, \(S\) determina un subcuerpo de \(\mathcal F\).

\(\square\)

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22.7. Cierre deductivo

Queda cerrada la cadena

cuerpo
  ↓
todo elemento no nulo es unidad
  ↓
F^× = F \ {0}
  ↓
todo cuerpo es dominio íntegro
  ↓
los únicos ideales son {0} y F
  ↓
subcuerpo = subanillo unital cerrado bajo inversos no nulos
  ↓
criterio por 1, diferencias, productos e inversos

No se ha utilizado el axioma de elección. En particular, no se ha elegido una familia de inversos: para cada elemento no nulo el inverso multiplicativo es único por Proposición 15.2.1.

El siguiente nodo canónico será:

Definición 23.1.1 — Homomorfismo de cuerpos.

Ese paso reutilizará la teoría de homomorfismos de anillos y la trivialidad de los ideales de un cuerpo para aislar la inyectividad característica de los homomorfismos entre cuerpos no triviales.

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