Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 35: Dimensión finita
35.0. Propósito y posición deductiva
La dimensión natural debe ser independiente de la base elegida. Se demuestra intercambio finito antes de definirla; después se obtienen el control de subespacios y las fórmulas de suma.
Trabajamos en un espacio vectorial \(V\) sobre un cuerpo \(F\), con la interfaz de naturales, inducción y recursión ya disponible.
El marco fundacional es ZF con lógica clásica. Los usos clásicos sobre coeficientes y pertenencia al subespacio generado se declaran en las demostraciones; los testigos de las construcciones finitas son locales. Se trabaja sólo con espacios finitamente generados. No se introduce dimensión cardinal infinita ni se usa el teorema condicionado a Zorn.
35.1. Intercambio finito y conteos
Lema 35.1.1 — Intercambio finito y conteos
Si \((u_i)_{i<r}\) es independiente y \((w_j)_{j<s}\) genera \(V\), entonces \(r\le s\). Pueden reemplazarse \(r\) elementos de la lista generadora por los \(u_i\), conservando una lista generadora de longitud \(s\). En consecuencia, dos listas base finitas tienen la misma longitud. Los conteos de concatenaciones emplean la adición natural de la interfaz natural, con sus leyes de asociación y conmutación derivadas recursivamente.
Demostración
Conteos. La longitud de concatenar una lista de longitud \(m\) y una de longitud \(n\) es \(m+n\), por inducción en el número de términos añadidos y la ecuación \(m+S(k)=S(m+k)\). Para no presuponer leyes aritméticas adicionales, las ecuaciones recursivas dan \(0+n=n\) por inducción en \(n\), y \(S(m)+n=S(m+n)\) por la misma inducción. Con estas dos identidades, inducción en \(n\) da \(m+n=n+m\). Inducción en \(p\) da \((m+n)+p=m+(n+p)\): el caso cero usa el neutro y el paso aplica la ecuación del sucesor a ambos lados. Se usarán estas leyes sólo para los conteos naturales finitos.
Intercambio. Mantengamos una lista generadora de longitud \(s\) cuyos primeros \(k\) vectores son \(u_0,\ldots,u_{k-1}\) y los restantes proceden de los \(w_j\) no reemplazados. El caso \(k=0\) es la lista dada. Para introducir \(u_k\), escribámoslo como combinación de la lista actual: \[ u_k=\sum_{i<k}a_iu_i+\sum_{j}b_jw'_j. \] Algún coeficiente \(b_j\) es no nulo. En efecto, si todos fueran cero, la igualdad produciría la relación \[ u_k-\sum_{i<k}a_iu_i=0 \] en la lista independiente original, con coeficiente \(1_F\ne0_F\) en \(u_k\), contradicción. El paso desde «no todos son cero» a un coeficiente no nulo es clásico y se declara aquí.
Elijamos ese índice sólo como testigo local. Como \(b_j\) es invertible, \[ w'_j=b_j^{-1}u_k-\sum_{i<k}(b_j^{-1}a_i)u_i -\sum_{\ell\ne j}(b_j^{-1}b_\ell)w'_\ell. \] Así la lista donde se sustituye \(w'_j\) por \(u_k\) sigue generando: todos sus elementos pertenecen al span original y el elemento retirado se recupera mediante la fórmula. Reordenando, cumple el invariante para \(k+1\).
Cada paso consume un elemento restante de la lista original. Tras \(s\) pasos no quedan \(w'_j\); si todavía hubiera otro \(u_s\), pertenecería al span de los anteriores y la misma relación con coeficiente \(1_F\) contradiría independencia. Por tanto no pueden realizarse más de \(s\) pasos y \(r\le s\). La inducción finita produce los reemplazos anunciados sin selección de una familia infinita.
Si dos listas base tienen longitudes \(r,s\), aplicar el resultado con la primera independiente y la segunda generadora da \(r\le s\). Al invertir sus papeles se obtiene \(s\le r\). La antisimetría del orden natural implica \(r=s\). Los casos de listas vacías están incluidos: una lista generadora vacía sólo genera el espacio cero, que no posee una lista independiente de longitud positiva. \(\square\)
35.2. Dimensión natural de un espacio finitamente generado
Definición 35.2.1 — Dimensión natural de un espacio finitamente generado
Un espacio sobre \(F\) es finitamente generado, o de dimensión finita, si posee una lista generadora finita. La extracción finita proporciona una lista base. El lema de intercambio prueba que todas las listas base tienen una misma longitud natural. Definimos \[ \dim_F V=n \] como esa longitud única. Se abrevia \(\dim V\) cuando el cuerpo está fijado. Esta definición utiliza existencia y unicidad del número, sin elegir una base distinguida para cada espacio. No define dimensión cardinal para espacios arbitrarios ni compara dimensiones sobre cuerpos distintos.
35.3. Criterios de dimensión y finitud de subespacios
Teorema 35.3.1 — Criterios de dimensión y finitud de subespacios
Si \(\dim V=n\), toda lista independiente tiene longitud a lo sumo \(n\) y toda lista generadora tiene longitud al menos \(n\). Una lista de longitud \(n\) es base si y sólo si es independiente, y si y sólo si genera \(V\).
Todo subespacio \(U\le V\) es de dimensión finita, \(\dim U\le n\), y \(\dim U=n\) equivale a \(U=V\). Además, \[ \dim\{0_V\}=0,\qquad \dim F^n=n. \]
Demostración
Fijemos localmente una lista base de \(V\) de longitud \(n\), cuya existencia está probada. Comparar una lista independiente con esa lista generadora mediante intercambio da su cota superior. Comparar esa lista independiente con cualquier generadora da la cota inferior para generadoras.
Si una lista independiente tiene longitud \(n\), la extensión finita la amplía a una lista base. Su longitud final es \(n\) por definición de dimensión, de modo que no se añadió ningún elemento y la lista original ya genera. Si una lista generadora tiene longitud \(n\), la extracción finita produce una sublista base de longitud \(n\); no se retiró ningún elemento, porque retirar uno reduce la longitud natural de una lista finita. Así la original es independiente. Una base cumple ambas condiciones por definición.
Subespacios. Toda lista independiente de \(U\) es independiente en \(V\), porque la suma y la acción son restricciones y las relaciones se evalúan igual. Se construye una lista base de \(U\) mediante una inducción de longitud acotada por \(n\). Partimos de la lista vacía. En cada paso, para una lista independiente \(L\) en \(U\), usamos la disyunción clásica \(\operatorname{span}(L)=U\) o no. Si son iguales, ya tenemos base. En la segunda rama, como el span está contenido en \(U\), la lógica clásica proporciona un testigo local \(u\in U\setminus\operatorname{span}(L)\). La adjunción conserva independencia y aumenta en uno la longitud.
Si no se hubiera obtenido generación al llegar a longitud \(n\), se podría añadir otro vector, creando en \(V\) una lista independiente de longitud \(n+1\), imposible por la cota inicial. La inducción finita demuestra existencia de base de \(U\), sin selección infinita. Su longitud \(m\) satisface \(m\le n\). Si \(m=n\), esa base es una lista independiente de longitud \(n\) en \(V\), luego genera \(V\) por el criterio ya probado. Su span en \(V\) coincide con su span en \(U\), pues las operaciones son restricciones; así \(U=V\). La recíproca es inmediata por identidad de la estructura.
Cero y potencias. La lista vacía es base del espacio cero, luego su dimensión es cero. Para \(F^n\), definamos \(e_i(j)=1_F\) si \(i=j\) y \(0_F\) en otro caso, para \(i,j<n\). Los grafos existen por Separación con esas condiciones de igualdad. Para \(x\in F^n\), la suma finita \(\sum_{i<n}x(i)e_i\) evaluada en \(j\) tiene todos sus términos cero salvo el de índice \(j\), y vale \(x(j)\). Esto se justifica retirando términos cero por el lema de sumas. Extensionalidad funcional prueba que la lista genera. Si \(\sum_{i<n}a_ie_i=0\), evaluar en cada \(j\) da \(a_j=0\), de modo que es independiente. Por tanto es base y \(\dim F^n=n\). Para \(n=0\), el único vector es la función vacía y la lista base es vacía, acorde con el caso anterior. \(\square\)
35.4. Dimensión de sumas y suma directa interna
Proposición 35.4.1 — Dimensión de sumas y suma directa interna
Para subespacios \(U,W\) de un espacio \(V\) de dimensión finita, \[ \dim(U+W)+\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W. \] Si \(U+W=V\) y \(U\cap W=\{0\}\), escribimos \(V=U\oplus W\) y decimos que es una suma directa interna. La condición de intersección trivial equivale a la unicidad de toda descomposición \(x=u+w\) en \(U+W\). En ese caso \(\dim V=\dim U+\dim W\).
Demostración
La intersección es subespacio por el capítulo 33 y todos los subespacios implicados son finitos por el Teorema 35.3.1. Tomemos localmente una lista base \(c_0,\ldots,c_{r-1}\) de \(C=U\cap W\). Extendámosla a bases de \(U\) y \(W\) por la extensión finita: \[ (c_0,\ldots,c_{r-1},u_0,\ldots,u_{p-1}),\qquad (c_0,\ldots,c_{r-1},w_0,\ldots,w_{q-1}). \] Son dos aplicaciones finitas de existencia, sin elección de bases para una familia arbitraria.
La lista conjunta \((c,u,w)\) genera \(U+W\): las expresiones de \(u'\in U\) y \(w'\in W\) en sus respectivas bases se suman, reuniendo los coeficientes de los \(c_i\). Para independencia, supongamos \[ \sum_i\alpha_ic_i+\sum_j\beta_ju_j+\sum_k\gamma_kw_k=0. \] Entonces \(t=\sum_k\gamma_kw_k\) pertenece a \(W\) y también a \(U\), pues es el opuesto de los otros dos bloques. Por tanto \(t\in C\) y existe una expresión local \(t=\sum_i\delta_ic_i\). La relación \[ \sum_k\gamma_kw_k-\sum_i\delta_ic_i=0 \] en la base de \(W\) obliga a \(\gamma_k=0\) y \(\delta_i=0\). La relación original queda en la base de \(U\) y obliga a \(\alpha_i=\beta_j=0\). Así la lista conjunta es base de \(U+W\).
Los conteos proporcionan \(\dim U=r+p\), \(\dim W=r+q\) y \(\dim(U+W)=r+p+q\). Las leyes naturales demostradas en el lema de intercambio dan \[ (r+p+q)+r=(r+p)+(r+q), \] que es la fórmula anunciada, sin introducir resta de naturales.
Si la intersección es cero y \(u+w=u'+w'\), entonces \(u-u'=w'-w\in U\cap W\), de donde ambas diferencias son cero y las descomposiciones coinciden. A la inversa, para \(t\in U\cap W\), las dos descomposiciones \(0=t+(-t)=0+0\) pertenecen a \(U+W\). La unicidad implica \(t=0\). Queda probada la equivalencia.
Si además \(U+W=V\), la intersección tiene dimensión cero y la fórmula se reduce a \(\dim V=\dim U+\dim W\). Los casos \(U=0\), \(W=0\) o \(V=0\) quedan incluidos, usando listas vacías. \(\square\)
35.99. Síntesis
La dimensión natural es una invariante demostrada por intercambio finito. Las cotas de independencia y generación controlan subespacios y permiten construir sus bases sin Zorn. La suma directa interna añade unicidad a la descomposición; la fórmula de dimensiones mide la superposición mediante la intersección.
El capítulo siguiente aplica estas construcciones al estudio de las aplicaciones lineales.
← Capítulo 34 — Independencia lineal y bases · Tratado moderno de Álgebra · Capítulo 36 — Aplicaciones lineales →