Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 32: Espacios vectoriales: definición y ejemplos
32.0. Propósito y posición deductiva
Un grupo abeliano permite sumar vectores; una acción de un cuerpo permite variar su escala. La compatibilidad entre ambas operaciones define el espacio vectorial. Se fija un cuerpo conmutativo arbitrario \(F\). Los ejemplos se construyen como conjuntos de funciones, sin presuponer coordenadas o bases.
El marco fundacional es ZF con lógica clásica. Las construcciones y pruebas de este capítulo no utilizan el axioma de elección. La disyunción final de la Proposición 32.2.1 emplea explícitamente el tercero excluido; no se presupone decidibilidad efectiva de la igualdad.
32.1. Espacio vectorial sobre un cuerpo
Definición 32.1.1 — Espacio vectorial sobre un cuerpo
Fijado un cuerpo conmutativo \(F\), un espacio vectorial sobre \(F\) es un dato \((V,+,\mu)\) donde \((V,+)\) es un grupo abeliano y \(\mu:F\times V\to V\) es una función. Escribimos \(av=\mu(a,v)\) y exigimos, para \(a,b\in F\), \(u,v\in V\), \[ a(u+v)=au+av,\quad (a+b)v=av+bv,\quad (ab)v=a(bv),\quad 1_Fv=v. \] Los elementos de \(F\) son escalares; los de \(V\), vectores. El neutro aditivo del grupo es \(0_V\); se distingue de \(0_F\). Las operaciones y sus dominios son parte del dato, y las igualdades son leyes del dato. El grupo garantiza que \(V\) está habitado por \(0_V\). No se exige que \(V\ne\{0_V\}\). Dos espacios pueden ser isomorfos sin ser conjuntos iguales.
32.2. Ceros, opuestos y cancelación escalar
Proposición 32.2.1 — Ceros, opuestos y cancelación escalar
En un espacio vectorial sobre \(F\), \[ 0_Fv=0_V,\quad a0_V=0_V,\quad (-a)v=-(av)=a(-v),\quad (-1_F)v=-v. \] Si \(a\ne0_F\), entonces \(av=0_V\) implica \(v=0_V\) y \(au=av\) implica \(u=v\). En lógica clásica, \(av=0_V\) equivale a \(a=0_F\) o \(v=0_V\).
Demostración
Como \((0_F+0_F)v=0_Fv+0_Fv\) y \(0_F+0_F=0_F\), obtenemos \(0_Fv=0_Fv+0_Fv\). Sumando el opuesto de \(0_Fv\) en el grupo aditivo, resulta \(0_Fv=0_V\). Como \(a(0_V+0_V)=a0_V+a0_V\), el mismo paso de cancelación explícita da \(a0_V=0_V\).
La distributividad implica \(av+(-a)v=(a-a)v=0_Fv=0_V\). Por unicidad de opuesto aditivo, \((-a)v=-(av)\). También \(av+a(-v)=a(v-v)=a0_V=0_V\), de donde \(a(-v)=-(av)\). Con \(a=1_F\) se obtiene \((-1_F)v=-v\).
Si \(a\ne0_F\), la definición de cuerpo proporciona el inverso único \(a^{-1}\). De \(av=0_V\), \[ v=1_Fv=(a^{-1}a)v=a^{-1}(av)=a^{-1}0_V=0_V. \] Si \(au=av\), aplicamos \(a^{-1}\) a ambos lados: \(a^{-1}(au)=u\) y \(a^{-1}(av)=v\), luego \(u=v\).
Para la última equivalencia, si \(a=0_F\) o \(v=0_V\), las identidades anteriores dan \(av=0_V\). Si \(av=0_V\), usamos explícitamente el tercero excluido \(a=0_F\) o \(a\ne0_F\). En la segunda rama el argumento con el inverso da \(v=0_V\). No se afirma que esa disyunción sea decidible por un procedimiento efectivo. \(\square\)
32.3. Espacios de funciones y potencias finitas
Proposición 32.3.1 — Espacios de funciones y potencias finitas
Para cualquier conjunto \(I\), el conjunto \(F^I\) de funciones \(I\to F\) es espacio vectorial sobre \(F\) con operaciones \[ (x+y)(i)=x(i)+y(i),\qquad (ax)(i)=a\,x(i). \] Su cero es la función constante cero y el opuesto de \(x\) es \(i\mapsto-x(i)\). Si \(I=\varnothing\), \(F^I\) tiene una sola función y es el espacio cero. Para \(n\in\mathbb N\), escribimos \(F^n=F^{\{i\in\mathbb N:i<n\}}\), usando los naturales de la interfaz cerrada. El cuerpo \(F\) con su adición y su multiplicación como acción es también un espacio vectorial sobre sí mismo.
Demostración
El conjunto de funciones \(I\to F\) existe por Separación dentro de \(\mathcal P(I\times F)\): se seleccionan los grafos totales y funcionales con dominio \(I\). Para \(x,y\in F^I\), los grafos de \(i\mapsto x(i)+y(i)\) y \(i\mapsto ax(i)\) existen por Separación en \(I\times F\) y definen funciones porque las operaciones del cuerpo son funciones. Cada par de entradas determina una salida única; así existen las operaciones anunciadas con los dominios y codominios correctos.
Para \(x,y,z\) y \(i\in I\), \[ ((x+y)+z)(i)=(x(i)+y(i))+z(i) =x(i)+(y(i)+z(i))=(x+(y+z))(i). \] La conmutatividad se comprueba por \((x+y)(i)=x(i)+y(i)=y(i)+x(i)=(y+x)(i)\). La constante cero existe incluso si \(I\) es vacío, y \((x+0)(i)=x(i)+0_F=x(i)\). El opuesto existe y \((x+(-x))(i)=x(i)-x(i)=0_F\). Extensionalidad funcional convierte estas igualdades puntuales en las leyes del grupo abeliano.
Las cuatro leyes escalares se verifican en cada entrada: \[ \begin{aligned} (a(x+y))(i)&=a(x(i)+y(i))=ax(i)+ay(i),\\ ((a+b)x)(i)&=(a+b)x(i)=ax(i)+bx(i),\\ ((ab)x)(i)&=(ab)x(i)=a(bx(i)),\\ (1_Fx)(i)&=x(i). \end{aligned} \] Las derechas son respectivamente los valores de \(ax+ay\), \(ax+bx\), \(a(bx)\) y \(x\). Esto prueba todos los axiomas vectoriales. Cuando \(I\) es vacío, el único grafo funcional es vacío; todas las leyes se mantienen y el conjunto subyacente es singleton.
La interfaz natural permite formar por Separación el conjunto de índices menor que \(n\). Aplicar la construcción anterior da \(F^n\), incluyendo \(n=0\).
Finalmente, la adición de \(F\) ya es grupo abeliano. La multiplicación \(F\times F\to F\) satisface las dos distributividades, asociatividad y unidad por las leyes del cuerpo. Por tanto define la acción escalar de un espacio vectorial en \(F\). No se identifica literalmente \(F\) con un conjunto de funciones. \(\square\)
32.99. Síntesis
El espacio vectorial combina un grupo abeliano con una acción escalar compatible. Las identidades de ceros y opuestos se deducen, no se añaden como axiomas. Los espacios de funciones proporcionan ejemplos sobre un cuerpo arbitrario y permiten construir potencias finitas sin disponer aún de bases. La unidad siguiente estudiará qué subconjuntos conservan las dos operaciones.
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