Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 36: Aplicaciones lineales
36.0. Propósito y posición deductiva
Una aplicación lineal conserva suma y escalares del mismo cuerpo. Se demuestran las propiedades de núcleo e imagen, la construcción del espacio libre de soporte finito, la determinación de un mapa por una base dada y rango-nulidad en dimensión finita. El espacio libre prepara también la construcción tensorial posterior.
Trabajamos con espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo \(F\) y con las sumas finitas ya disponibles.
El marco fundacional es ZF con lógica clásica. Los usos clásicos de igualdad y pertenencia al soporte se declaran en las demostraciones. Cuando interviene una base arbitraria, ésta es un dato de hipótesis; la base del espacio libre se construye explícitamente. Las bases finitas de núcleo e imagen se obtienen por los resultados finitos anteriores. Ninguna demostración invoca Zorn.
36.1. Aplicación lineal e isomorfismo vectorial
Definición 36.1.1 — Aplicación lineal e isomorfismo vectorial
Para espacios \(V,W\) sobre el mismo cuerpo \(F\), una función \(T:V\to W\) es lineal si \[ T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(au)=aT(u). \] Una aplicación lineal biyectiva es un isomorfismo vectorial. Su inversa funcional existe por la interfaz de biyecciones; su linealidad se probará a continuación. El núcleo y la imagen son los subconjuntos \[ \ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\},\qquad \operatorname{im}T=\{w\in W:\exists v\in V,\ T(v)=w\}. \] Estas definiciones existen por Separación y coinciden con núcleo e imagen del homomorfismo de grupos aditivos subyacente. La coincidencia no presupone todavía que sean subespacios.
36.2. Núcleo, imagen y operaciones de aplicaciones lineales
Proposición 36.2.1 — Núcleo, imagen y operaciones de aplicaciones lineales
Una aplicación lineal conserva cero, opuestos y combinaciones finitas. Identidades y composiciones son lineales; \(\ker T\) y \(\operatorname{im}T\) son subespacios. Además, \[ T\text{ inyectiva}\iff\ker T=\{0_V\},\qquad T\text{ sobreyectiva}\iff\operatorname{im}T=W. \] La inversa de un isomorfismo vectorial es lineal. Un isomorfismo entre espacios de dimensión finita conserva la dimensión.
Demostración
De \(T(0_V)=T(0_V+0_V)=T(0_V)+T(0_V)\), cancelación en el grupo aditivo de \(W\) da \(T(0_V)=0_W\). Como \(T(v)+T(-v)=T(v-v)=0_W\), unicidad del opuesto da \(T(-v)=-T(v)\). Inducción en la longitud de la suma, con base \(T(0_V)=0_W\), y las dos leyes de linealidad prueban \(T(\sum_i a_iv_i)=\sum_i a_iT(v_i)\).
La identidad conserva suma y acción por igualdad funcional. Si \(S:W\to X\) es lineal, entonces \((S\circ T)(u+v)=S(T(u)+T(v))=S(T(u))+S(T(v))\) y \((S\circ T)(au)=S(aT(u))=aS(T(u))\).
El núcleo contiene \(0_V\); para \(u,v\) en él, \(T(u+v)=0+0=0\) y \(T(au)=a0=0\). Es subespacio por el criterio. La imagen contiene \(T(0_V)=0_W\). Si \(x=T(u)\), \(y=T(v)\), los valores \(x+y=T(u+v)\) y \(ax=T(au)\) están en la imagen. Los testigos son locales; el criterio certifica la imagen.
Si \(T\) es inyectiva, \(T(v)=0=T(0)\) implica \(v=0\), de donde el núcleo es singleton. Si el núcleo es singleton y \(T(u)=T(v)\), entonces \(T(u-v)=0\), luego \(u-v=0\) y \(u=v\). La sobreyectividad equivale a que cada elemento de \(W\) tenga una preimagen, exactamente la igualdad de imagen indicada.
Si \(T\) es biyectiva y \(x=T(u)\), \(y=T(v)\), entonces \(x+y=T(u+v)\) y \(ax=T(au)\). Aplicando la inversa funcional \(T^{-1}\) resulta \[ T^{-1}(x+y)=u+v=T^{-1}(x)+T^{-1}(y),\qquad T^{-1}(ax)=au=aT^{-1}(x). \] Cada entrada tiene una preimagen única, por lo que la inversa es lineal.
Para dimensión, fijemos localmente una lista base \((v_i)_{i<n}\) de \(V\). La sobreyectividad y la preservación de combinaciones muestran que \((T(v_i))_{i<n}\) genera \(W\). Si \(\sum_i a_iT(v_i)=0\), la linealidad da \(T(\sum_i a_iv_i)=0\); inyectividad da \(\sum_i a_iv_i=0\), e independencia obliga a todos los coeficientes cero. Es base de \(W\) de longitud \(n\), luego \(\dim W=\dim V\). No se identifica literalmente ninguno de los dos espacios. \(\square\)
36.3. Espacio libre de soporte finito y base canónica
Proposición 36.3.1 — Espacio libre de soporte finito y base canónica
Para cualquier conjunto \(I\), \(F^{(I)}\) es subespacio de \(F^I\) con las operaciones puntuales. Para \(i\in I\), sea \(\delta_i:I\to F\) igual a \(1_F\) en \(i\) y a \(0_F\) fuera de \(i\). El conjunto \(\{\delta_i:i\in I\}\) es una base canónica de \(F^{(I)}\), y \[ a=\sum_{i\in E}a(i)\delta_i \] para cualquier testigo finito de soporte \(E\) de \(a\). Si \(I=\varnothing\), se obtiene el espacio cero con base vacía. Se llama a \(F^{(I)}\) el espacio vectorial libre sobre el conjunto \(I\).
Demostración
El conjunto ya existe como subconjunto del espacio de funciones. La función cero posee soporte testigo vacío. Si \(a,c\) tienen testigos finitos \(E,D\), fuera de \(E\cup D\) ambos valores son cero, de modo que \(a+c\) también vale cero allí. Esa unión es finita. Si \(\lambda\in F\), fuera de \(E\) vale \((\lambda a)(i)=\lambda0_F=0_F\), luego \(E\) es testigo de soporte para \(\lambda a\). El criterio de subespacio certifica \(F^{(I)}\).
El grafo de \(\delta_i\) existe por Separación con las condiciones de igualdad \(j=i\) o \(j\ne i\), usadas clásicamente. El singleton \(\{i\}\) es testigo de soporte. Si \(i\ne j\), evaluar en \(i\) distingue \(\delta_i(i)=1_F\) de \(\delta_j(i)=0_F\), usando la no trivialidad del cuerpo; la familia está indexada sin repeticiones.
Sea \(a\) con testigo finito \(E\). Para \(j\in I\), si \(j\in E\), la suma \(\sum_{i\in E}a(i)\delta_i\) evaluada en \(j\) tiene un término \(a(j)\) y los demás cero. Si \(j\notin E\), todos sus términos son cero y \(a(j)=0_F\) por el testigo de soporte. La disyunción de pertenencia usada aquí es clásica y explícita. Extensionalidad funcional prueba la fórmula y por tanto generación.
En una relación sobre índices distintos \(i_0,\ldots,i_{n-1}\), \[ \sum_{k<n}b_k\delta_{i_k}=0, \] evaluar en \(i_j\) deja sólo el término \(b_j\), luego \(b_j=0_F\). Esto prueba independencia. La familia canónica es base. Si \(I\) es vacío, el conjunto de funciones tiene un solo elemento, la función vacía, y las afirmaciones se reducen al caso cero.
La base se construyó con funciones delta definidas por igualdad; no se eligió una base de un espacio arbitrario ni se aplicó Zorn. La existencia de esta base específica no implica que pertenencia o igualdad en \(I\) sean decidibles efectivamente. \(\square\)
36.4. Determinación de una aplicación lineal por una base dada
Teorema 36.4.1 — Determinación de una aplicación lineal por una base dada
Si \(B\) es una base dada de \(V\) y \(h:B\to W\) una función dada, existe una única aplicación lineal \(T:V\to W\) con \(T(b)=h(b)\) para \(b\in B\). Está determinada por \[ T(v)=\sum_{b\in B}a_v(b)h(b), \] donde \(a_v\) es la función única de coordenadas de \(v\) sobre \(B\).
Para cualquier conjunto \(I\) y función \(h:I\to W\), existe asimismo una única aplicación lineal \(T:F^{(I)}\to W\) con \(T(\delta_i)=h(i)\), dada por \(T(a)=\sum_{i\in I}a(i)h(i)\). La hipótesis es una función dada, no una selección de valores desde una familia de conjuntos no vacíos.
Demostración
La evaluación \(E_B:F^{(B)}\to V\) del Lema 34.2.1 es biyectiva cuando \(B\) es base. Es también lineal: para funciones de soporte finito \(a,c\), se toma localmente la unión de sus soportes y se aplica distributividad finita para obtener \(E_B(a+c)=E_B(a)+E_B(c)\); la misma ley da \(E_B(\lambda a)=\lambda E_B(a)\). El espacio de soporte finito está certificado en la proposición anterior. Por la linealidad de inversas, \(v\mapsto a_v=E_B^{-1}(v)\) es lineal.
Definamos \(E_h:F^{(B)}\to W\) por \(E_h(a)=\sum_b a(b)h(b)\). La independencia del soporte y la existencia del grafo se prueban como en el lema de evaluación: añadir términos fuera de un soporte añade términos cero, y el valor es único. Para dos entradas, en la unión de soportes, \[ E_h(a+c)=\sum_b(a(b)+c(b))h(b)=E_h(a)+E_h(c), \] y \[ E_h(\lambda a)=\sum_b\lambda a(b)h(b)=\lambda E_h(a). \] Así \(E_h\) es lineal. La composición \(T=E_h\circ E_B^{-1}\) existe y es lineal. Para \(b\in B\), la función delta de índice \(b\) evalúa a \(b\); por unicidad es \(a_b\), y \(T(b)=h(b)\).
Si \(S\) es otra aplicación lineal con esos valores, para cualquier vector y su representación finita, \[ S(v)=S\left(\sum_ba_v(b)b\right) =\sum_ba_v(b)S(b)=\sum_ba_v(b)h(b)=T(v). \] Extensionalidad funcional da \(S=T\).
En el espacio libre sobre \(I\), la fórmula directa \(E_h(a)=\sum_i a(i)h(i)\) está bien definida y es lineal por las dos verificaciones sobre soportes anteriores, ahora con índices en \(I\). Su valor en \(\delta_i\) es \(h(i)\). Cada entrada posee la expresión canónica \(a=\sum_i a(i)\delta_i\), por lo que cualquier aplicación lineal con los valores indicados debe coincidir con esa fórmula. Esto prueba existencia y unicidad también en el caso libre. No se invoca la existencia de una base arbitraria: \(B\) es dato o la base delta es canónica. \(\square\)
36.5. Rango y nulidad en dimensión finita
Teorema 36.5.1 — Rango y nulidad en dimensión finita
Si \(V\) es de dimensión finita y \(T:V\to W\) lineal, el núcleo y la imagen son de dimensión finita aunque \(W\) no lo sea. Definimos \(\operatorname{nul}T=\dim\ker T\) y \(\operatorname{rg}T=\dim\operatorname{im}T\). Entonces \[ \operatorname{nul}T+\operatorname{rg}T=\dim V. \] Si además \(\dim W=\dim V\), la inyectividad de \(T\) equivale a su sobreyectividad, y cualquiera de ambas implica que \(T\) es un isomorfismo.
Demostración
El núcleo es subespacio de \(V\), luego es finito. Tomemos localmente una lista base \((u_i)_{i<r}\) del núcleo y extendámosla a una lista base de \(V\), \[ (u_0,\ldots,u_{r-1},v_0,\ldots,v_{s-1}). \] Las imágenes de esa base generan \(\operatorname{im}T\): para \(x=\sum_i a_iu_i+\sum_jb_jv_j\), \[ T(x)=\sum_i a_iT(u_i)+\sum_jb_jT(v_j) =\sum_jb_jT(v_j). \] Así la lista \((T(v_j))_{j<s}\) genera la imagen.
Para independencia, si \(\sum_jc_jT(v_j)=0\), entonces \(y=\sum_jc_jv_j\) está en el núcleo. Existe una expresión \(y=\sum_i d_iu_i\) en su base. La relación \[ \sum_jc_jv_j-\sum_i d_iu_i=0 \] en la base completa de \(V\) obliga a que todos los \(c_j\) y \(d_i\) sean cero. Por tanto las imágenes \(T(v_j)\) constituyen una lista base de la imagen. Ésta es finita, su dimensión es \(s\), y \(\dim V=r+s\). Esto prueba la fórmula de rango-nulidad con independencia del tamaño de \(W\).
Supongamos ahora \(\dim W=\dim V=n\). Si \(T\) es inyectiva, su núcleo es cero, de dimensión cero, luego la imagen tiene dimensión \(n\). Como es subespacio de \(W\), el criterio de igualdad de dimensión bajo inclusión da \(\operatorname{im}T=W\) y sobreyectividad.
Si \(T\) es sobreyectiva, \(s=\dim W=n\) y \(r+n=n\). Esto fuerza \(r=0\): una concatenación con \(r\) términos iniciales adicionales tiene longitud \(r+n\), y si \(r\) fuese un sucesor, esa longitud sería estrictamente mayor que \(n\) por la recursión del orden natural; inducción en \(r\) prueba esa propiedad. La base del núcleo es vacía, luego el núcleo es el espacio cero y \(T\) es inyectiva. Ambas condiciones juntas hacen a \(T\) un isomorfismo. En el caso \(V=0\), \(r=s=0\) y todas las afirmaciones mantienen sus hipótesis exactas. \(\square\)
36.99. Síntesis
La linealidad preserva combinaciones finitas y convierte núcleo e imagen en subespacios. El espacio libre posee una base canónica sin elección, y una base dada determina mapas por sus valores. Rango-nulidad se obtuvo extendiendo una base finita del núcleo; no se presupuso finitud del codominio. El capítulo siguiente añadirá la acción escalar a los cocientes aditivos y construirá el dual algebraico.
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