Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 5: Conmutatividad y grupos abelianos
Capítulo 5 — Conmutatividad y grupos abelianos
Coordenada deductiva: TALG-0008
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5.0. Propósito y posición deductiva
La definición de grupo controla cierre, asociatividad, neutro e inversos, pero no impone ninguna simetría al intercambiar los argumentos de la operación. La conmutatividad es una ley independiente y debe introducirse como tal.
La cadena de este capítulo es:
\[ \text{operación binaria} \longrightarrow \text{conmutatividad} \longrightarrow \text{grupo abeliano}. \]
Es importante el orden deductivo: la conmutatividad no se define primero para grupos, sino para una operación binaria cualquiera. Sólo después se combina con la estructura de grupo.
5.1. Conmutatividad
Definición 5.1.1 — Operación conmutativa
Coordenada: TALG-DEF-00009
Dependencias deductivas: TALG-DEF-00001 — operación binaria; TALG-NOT-00001 — notación infija.
Sea
\[ \star:A\times A\to A \]
una operación binaria. Decimos que \(\star\) es conmutativa si
\[ \forall a,b\in A, \qquad a\star b=b\star a. \]
La conmutatividad compara los resultados obtenidos al intercambiar los dos argumentos.
No debe confundirse con la asociatividad: la asociatividad modifica la agrupación de tres elementos,
\[ (a\star b)\star c=a\star(b\star c), \]
mientras que la conmutatividad modifica el orden de dos argumentos,
\[ a\star b=b\star a. \]
Ninguna de estas leyes contiene a la otra en su definición.
5.2. Grupos abelianos
Definición 5.2.1 — Grupo abeliano
Coordenada: TALG-DEF-00010
Dependencias deductivas: TALG-DEF-00008 — grupo; TALG-DEF-00009 — operación conmutativa.
Un grupo abeliano es un grupo
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
cuya operación \(\star\) es conmutativa. Por tanto, además de los axiomas de grupo, se satisface
\[ \forall a,b\in G, \qquad a\star b=b\star a. \]
El adjetivo abeliano añade exactamente esta ley. No modifica la noción de neutro ni la de inverso, que continúan siendo las ya establecidas para grupos.
5.3. Cierre de la primera jerarquía estructural
Con este nodo queda cerrada la primera cadena de estructuras con una operación:
\[ \text{magma} \Longleftarrow \text{semigrupo} \Longleftarrow \text{monoide} \Longleftarrow \text{grupo} \Longleftarrow \text{grupo abeliano}, \]
entendiendo cada flecha como «la estructura situada a la derecha satisface todas las condiciones de la situada a la izquierda y añade nuevas leyes».
En sentido constructivo, la progresión puede leerse como
\[ \text{magma} +\text{asociatividad} \to\text{semigrupo} +\text{neutro} \to\text{monoide} +\text{inversos} \to\text{grupo} +\text{conmutatividad} \to\text{grupo abeliano}. \]
La red deductiva permite recorrer cada uno de estos escalones hasta su definición exacta:
Esta jerarquía será reutilizada posteriormente para los grupos aditivos de anillos, cuerpos y espacios vectoriales.
Cierre deductivo
- Fundamento: ZF + lógica clásica.
- Axioma de elección: no utilizado.
- Operación conmutativa:
TALG-DEF-00009. - Grupo abeliano:
TALG-DEF-00010. - Dependencias externas al capítulo:
TALG-DEF-00001— operación binaria;TALG-NOT-00001— notación infija;TALG-DEF-00008— grupo. - Conmutatividad distinguida de asociatividad: sí.
- Circularidad: ninguna.
- Siguiente bloque: subestructuras de grupos y criterio de subgrupo.
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