Tratado moderno de Álgebra — Capítulo 5: Conmutatividad y grupos abelianos
5.0. Propósito
La definición de grupo controla cierre, asociatividad, neutro e inversos, pero no impone ninguna simetría al intercambiar los argumentos de la operación. La conmutatividad es una ley independiente y debe introducirse como tal.
La cadena es:
\[ \text{operación binaria} \longrightarrow \text{conmutatividad} \longrightarrow \text{grupo abeliano}. \]
5.1. Conmutatividad
Definición 5.1.1 — Operación conmutativa
Sea
\[ \star:A\times A\to A \]
una operación binaria. Decimos que \(\star\) es conmutativa si
\[ \forall a,b\in A, \qquad a\star b=b\star a. \]
La conmutatividad compara los resultados obtenidos al intercambiar los dos argumentos. No debe confundirse con asociatividad: ésta modifica la agrupación de tres elementos, mientras que la conmutatividad modifica su orden.
5.2. Grupos abelianos
Definición 5.2.1 — Grupo abeliano
Un grupo abeliano es un grupo
\[ \mathcal G=\langle G,\star\rangle \]
cuya operación \(\star\) es conmutativa. Por tanto, además de los axiomas de grupo, se satisface
\[ \forall a,b\in G, \qquad a\star b=b\star a. \]
El adjetivo abeliano añade exactamente esta ley; no modifica la noción de neutro ni la de inverso.
5.3. Cierre de la primera jerarquía estructural
Con este nodo queda cerrada la primera cadena de estructuras con una operación:
\[ \text{magma} \Longleftarrow \text{semigrupo} \Longleftarrow \text{monoide} \Longleftarrow \text{grupo} \Longleftarrow \text{grupo abeliano}, \]
entendiendo cada flecha como «la estructura situada a la derecha satisface todas las condiciones de la situada a la izquierda y añade nuevas leyes».
En sentido de construcción estructural, la progresión puede leerse como
\[ \text{magma} +\text{asociatividad} \to\text{semigrupo} +\text{neutro} \to\text{monoide} +\text{inversos} \to\text{grupo} +\text{conmutatividad} \to\text{grupo abeliano}. \]
Esta jerarquía será reutilizada posteriormente para grupos aditivos de anillos, cuerpos y espacios vectoriales.
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