Otra construcción de las operaciones mediante recintos racionales
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En el capítulo II definimos las operaciones a partir de testigos racionales. Este apéndice vuelve al mismo problema con una información más simétrica: un intervalo racional que rodea la cortadura. Calcular con sus extremos produce recintos para la suma, el producto o el recíproco. Para obtener operaciones exactas tendremos que controlar la admisibilidad de esos extremos y demostrar que recintos arbitrariamente estrechos determinan una misma cortadura.
Consecuencias del axioma del supremo
Los lemas de esta primera parte se aplican a cualquier cuerpo ordenado completo. No se utilizan como premisas para fabricar el cuerpo de cortaduras: allí sólo tendremos racionales y conjuntos de racionales. La distinción entre estudiar las consecuencias de una estructura y demostrar que dicha estructura existe será especialmente importante al comparar posteriormente los modelos.
Propiedad arquimediana
Sea \(F\) un cuerpo ordenado completo. Los elementos \(n1_F\), \(n\in\mathbb N\), están estrictamente ordenados: \((n+1)1_F=n1_F+1_F>n1_F\). Si el conjunto de estos elementos estuviese acotado superiormente, tendría supremo \(s\). Como \(s-1<s\), existe un natural \(n\) tal que \(s-1<n1_F\). Entonces \(s<(n+1)1_F\), contradicción. Por tanto, para cada \(x\in F\) hay \(n\in\mathbb N\) con \(x<n1_F\).
Lectura del argumento. La propiedad arquimediana afirma que los naturales insertados en \(F\) no pueden quedar todos por debajo de una cota. El movimiento decisivo de la prueba es tomar una supuesta cota mínima \(s\) y observar que \(s-1<s\); la caracterización del supremo proporciona un natural mayor que \(s-1\). Al sumarle \(1\) se produce otro natural mayor que \(s\), lo que contradice la elección de \(s\). Esta estrategia —desplazar una cota y usar el carácter mínimo del supremo— es distinta de probar directamente que cada elemento de \(F\) está acotado por un entero.
Copia canónica de los racionales
La función \(n\mapsto n1_F\) respeta la suma y el producto de naturales, por asociatividad y distributividad. Se extiende a enteros por inversos aditivos. Es inyectiva: si \(m<n\), entonces \((n-m)1_F>0\). Definimos
\[\iota_F(p/q)=(p1_F)(q1_F)^{-1},\qquad q\ne0.\]
Si \(p/q=p'/q'\), entonces \(pq'=p'q\) en \(\mathbb Z\); la misma identidad vale en \(F\), y multiplicar por los inversos de los denominadores prueba que las imágenes coinciden. Las fórmulas de suma y producto de fracciones muestran que \(\iota_F\) es homomorfismo; su inyectividad se deduce de la de los enteros. Usando denominadores positivos, la positividad de los inversos muestra que preserva y refleja el orden. Identificaremos cada racional con su imagen cuando el cuerpo esté claro.
Verificación de buena definición. La fórmula para \(\iota_F(p/q)\) no debe depender de la fracción elegida para representar un racional. Si \(p/q=r/s\), con \(q,s\ne0\), entonces \(ps=rq\). Después de pasar a \(F\) y multiplicar por \((q_Fs_F)^{-1}\), se obtiene \(p_Fq_F^{-1}=r_Fs_F^{-1}\). Los denominadores son no nulos porque la aplicación de los enteros es inyectiva. También se verifican explícitamente, por distributividad y conmutatividad,
\[\iota_F\left(\frac pq+\frac rs\right) =\frac{p_Fs_F+r_Fq_F}{q_Fs_F} =\iota_F(p/q)+\iota_F(r/s),\]
\[\iota_F\left(\frac pq\frac rs\right)=\frac{p_Fr_F}{q_Fs_F} =\iota_F(p/q)\,\iota_F(r/s).\]
Estas igualdades, junto con \(\iota_F(1)=1_F\), fundamentan por qué hablamos de una copia racional canónica, y no de una selección arbitraria de fracciones. No se recurre a la completitud para definir la copia.
Localización entre enteros
Para \(t\in F\), tomemos \(N\in\mathbb N\) con \(N>|t|\), donde \(|t|=t\) si \(t\ge0\), y \(|t|=-t\) si \(t<0\). Hay naturales \(k\) con \(k-N>t\), por la prueba arquimediana. Sea \(k\) el menor. Como \(-N<t\), se tiene \(k\ge1\), y la minimalidad implica \((k-1)-N\le t\). Con \(m=k-N\in\mathbb Z\),
\[m-1\le t<m.\]
Densidad racional
Sean \(x<y\) en \(F\). Por la prueba arquimediana hay \(n\in\mathbb N\), \(n>0\), tal que \(n>(y-x)^{-1}\). Así \(n(y-x)>1\). Por la localización de enteros existe \(m\in\mathbb Z\) tal que \(m-1\le nx<m\). Entonces
\[nx<m\le nx+1<ny.\]
Dividir por \(n>0\) da \(x<m/n<y\). La densidad no se ha supuesto: se ha deducido de la completitud.
De la localización entera a la densidad racional
El procedimiento de localización entre enteros no presupone una función piso: ésta sería otra forma de expresar el resultado que se acaba de demostrar. La buena ordenación de los naturales selecciona el primer entero que supera \(t\) después de trasladarlo por un entero \(N\); la minimalidad de ese índice proporciona el extremo inferior.
En la densidad racional se amplía primero la diferencia \(y-x>0\) mediante un entero positivo \(n\) hasta que \(n(y-x)>1\). Se localiza entonces un entero \(m\) estrictamente entre \(nx\) y \(ny\), y se divide por \(n>0\). El racional \(m/n\) no se supuso denso de antemano: se construyó usando la propiedad arquimediana y la localización anterior. El orden lógico de estas dos pruebas es esencial para evitar circularidad.
Operaciones por recintos mediante cortaduras racionales
Cortaduras y orden por inclusión
Una cortadura es un subconjunto \(A\subset\mathbb Q\) con un elemento interior y otro exterior, cerrado hacia abajo y con un elemento mayor dentro del conjunto para cada elemento suyo. Es decir, \(a\in A\), \(r<a\) implican \(r\in A\), y para cada \(a\in A\) existe \(a'\in A\) con \(a<a'\). Denotamos por \(D\) el conjunto de todas las cortaduras. Es un conjunto, pues es un subconjunto del conjunto potencia de \(\mathbb Q\).
Para \(r\in\mathbb Q\), sea \(C_r=\{q\in\mathbb Q:q<r\}\). Es cortadura: contiene \(r-1\), excluye \(r\), está cerrada hacia abajo y, dado \(q<r\), contiene \((q+r)/2>q\). Se tiene \(C_r\subsetneq C_s\iff r<s\): una implicación se obtiene de la inclusión de intervalos; para la estricta, \(r\in C_s\setminus C_r\). La recíproca sigue por tricotomía.
Ordenamos \(D\) por inclusión estricta. Es un orden total: si \(A\not\subseteq B\), elijamos \(a\in A\setminus B\). Todo \(b\in B\) satisface \(b<a\), pues de \(a\le b\) y el cierre hacia abajo se seguiría \(a\in B\). Luego \(B\subseteq A\). Transitividad y tricotomía se deducen de la inclusión y la igualdad de conjuntos.
Un intervalo racional admisible para \(A\) es un par \([a,b]\) con \(a\in A\) y \(b\notin A\). Siempre \(a<b\), y
\[C_a\subseteq A\subseteq C_b.\]
Para la segunda inclusión, un elemento de \(A\) no puede ser mayor que \(b\) por cierre hacia abajo, ni igual por la elección de \(b\).
Existen intervalos admisibles de anchura menor que cualquier \(\varepsilon\in\mathbb Q\), \(\varepsilon>0\). Partimos de cualquiera y bisecamos: si el punto medio pertenece a \(A\), sustituimos el extremo inferior; si no, el superior. La anchura después de \(n\) pasos es \((b-a)/2^n\). Como \(2^n\ge n+1\), la arquimedianidad racional permite hacerla menor que \(\varepsilon\). Esto es un procedimiento finito; no se usa un límite real.
Criterio de igualdad. Si dos cortaduras admiten un mismo recinto \(C_l\subseteq A,B\subseteq C_u\) de anchura \(u-l\) arbitrariamente pequeña, son iguales. En efecto, si \(A\subsetneq B\), escojamos \(r\in B\setminus A\) y \(s\in B\), \(r<s\). De \(C_l\subseteq A\) resulta \(l\le r\), y de \(B\subseteq C_u\), \(s<u\). Por tanto, \(u-l>s-r>0\), imposible para anchuras arbitrariamente pequeñas. El otro orden se trata intercambiando las cortaduras.
Distinción fundamental: recinto frente a intervalo admisible. Un recinto de \(H\) es un par racional \(l<u\) que satisface \(C_l\subseteq H\subseteq C_u\). En cambio, el intervalo \([a,b]\) es admisible cuando \(a\in H\) y \(b\notin H\). Todo intervalo admisible proporciona un recinto, pero la recíproca puede fallar: para \(H=C_0\), el par \([0,1]\) satisface \(C_0\subseteq H\subseteq C_1\), aunque \(0\notin H\), de modo que no es admisible.
Esta diferencia determina qué extremos se pueden introducir en las operaciones definidas en la construcción mediante recintos. Si sólo se conoce un recinto \([l,u]\) de \(H\), se obtiene un intervalo admisible ensanchándolo a \([l-\eta,u+\eta]\), donde \(\eta>0\). Se tiene \(l-\eta\in C_l\subseteq H\) y \(u+\eta\notin C_u\supseteq H\). El precio es aumentar la anchura en \(2\eta\), un efecto que debe entrar en todas las estimaciones posteriores.
Operaciones mediante intervalos racionales
Para intervalos admisibles \([a,b]\) de \(A\) y \([c,d]\) de \(B\), asociamos los recintos:
\[[a+c,b+d],\qquad [-b,-a],\] \[[L,U],\quad L=\min(ac,ad,bc,bd),\quad U=\max(ac,ad,bc,bd).\]
Para \(A\ne C_0\), usamos también intervalos admisibles que no contienen cero y el recinto \([1/b,1/a]\). Existen: si \(C_0\subsetneq A\), hay un racional positivo en \(A\) (si el primer testigo fuera cero, la ausencia de máximo proporciona uno positivo). Si \(A\subsetneq C_0\), hay un racional negativo fuera de \(A\): un testigo de \(C_0\setminus A\). Se escogen ambos extremos del mismo signo.
Definimos cada resultado como
\[\bigcup_{[L,U]}C_L,\]
donde se recorren los intervalos admisibles correspondientes. Así se definen \(A+B\), \(-A\), \(AB\) y \(A^{-1}\) para \(A\ne C_0\). Los neutros propuestos son \(C_0\) y \(C_1\).
Justificación de que son cortaduras. Dos intervalos admisibles de una misma cortadura tienen interior común: su mayor extremo inferior pertenece a la cortadura y su menor extremo superior no pertenece, por lo que el primero es estrictamente menor que el segundo. Escogiendo una entrada racional en ese interior para cada variable, su suma, opuesto, producto o recíproco pertenece a los dos recintos de salida. En el recíproco las entradas permanecen del mismo signo; intervalos positivos y negativos de una misma cortadura no pueden coexistir. Se sigue que cualquier extremo inferior de salida es menor o igual que cualquier extremo superior de salida, aun cuando procedan de elecciones diferentes.
La unión de los \(C_L\) es no vacía (contiene un racional menor que un \(L\) elegido), está cerrada hacia abajo y no tiene máximo, porque cada miembro de la unión pertenece a algún \(C_L\) sin máximo. Es propia: un extremo superior \(U_0\) elegido no está en ningún \(C_L\), ya que \(L\le U_0\). Además, para cada recinto de salida,
\[C_L\subseteq\text{resultado}\subseteq C_U.\]
Justificación de los recintos y sus anchuras. Para suma y opuesto es inmediata. Para producto, si \(a\le t\le b\), \(c\le v\le d\), escribimos \(t=(1-\lambda)a+\lambda b\), \(v=(1-\mu)c+\mu d\), con \(\lambda,\mu\in[0,1]\). La expansión de \(tv\) es una combinación de \(ac,ad,bc,bd\) con coeficientes no negativos que suman uno. Por tanto, pertenece a \([L,U]\). Este razonamiento es puramente racional.
Si los cuatro extremos tienen valor absoluto menor o igual que \(M\), cualesquiera dos productos de extremos difieren en valor absoluto a lo sumo
\[M((b-a)+(d-c)),\]
usando \(tv-t'v'=t(v-v')+v'(t-t')\). Así la anchura del recinto del producto obedece la misma cota. La del recinto de la suma es \((b-a)+(d-c)\); la del opuesto es \(b-a\). Para el recíproco, si los extremos tienen módulo al menos \(h>0\),
\[\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}\le\frac{b-a}{h^2}.\]
Podemos refinar dentro de intervalos iniciales fijos; los módulos quedan acotados, y para el recíproco quedan además separados de cero. En consecuencia, las anchuras de salida pueden hacerse arbitrariamente pequeñas.
Ejemplo orientador. Para las cortaduras principales \(C_1\) y \(C_2\) se pueden escoger intervalos admisibles \([1-\delta,1+\delta]\) y \([2-\delta,2+\delta]\), con \(\delta>0\) racional. El recinto de su suma es \([3-2\delta,3+2\delta]\). Como \(\delta\) puede hacerse arbitrariamente pequeño, estos recintos permiten identificar el resultado con \(C_3\) mediante el criterio de igualdad de la definición de las cortaduras. La igualdad algebraica exacta \(C_1+C_2=C_3\) se fundamenta en el lema de transferencia, no en una intuición de aproximación decimal.
En las definiciones anteriores aparecen uniones de conjuntos, pero cada unión se forma a partir de extremos racionales inferiores de recintos producidos por operaciones racionales finitas. La cuestión crucial no es sólo que el resultado sea una cortadura, sino que distintos cálculos con las mismas entradas produzcan exactamente la misma cortadura. Para pasar de fórmulas racionales a identidades de \(D\) necesitamos el lema siguiente.
Transferencia de identidades racionales
El siguiente lema coordina las aproximaciones de todas las variables de una identidad; asigna tolerancias a cada operación y controla especialmente los denominadores antes de tomar recíprocos. Es necesario porque utilizar aproximaciones independientes de una misma variable podría invalidar la transferencia de identidades.
Demostramos el paso que permite verificar todos los axiomas, sin asumir previamente que \(D\) sea un cuerpo.
Lema de aproximación simultánea. Sean \(E_1,\ldots,E_k\) expresiones finitas construidas con variables \(X_1,\ldots,X_n\), constantes racionales, suma, opuesto, producto y recíproco. Sean \(A_1,\ldots,A_n\in D\). Evaluamos las expresiones usando las operaciones definidas en la construcción mediante recintos y las constantes \(C_r\). Suponemos que, en cada aparición de un recíproco, la cortadura que constituye su operando es distinta de \(C_0\).
Para todo \(\varepsilon\in\mathbb Q_{>0}\) podemos elegir para cada variable \(A_i\) un intervalo admisible \(I_i=[a_i,b_i]\) y una entrada racional \(t_i\in(a_i,b_i)\), ambos comunes a todas sus apariciones, tales que cada expresión \(E_j\) admite un recinto \([l_j,u_j]\) con
\[C_{l_j}\subseteq E_j(A_1,\ldots,A_n)\subseteq C_{u_j},\qquad u_j-l_j<\varepsilon,\] \[l_j\le E_j(t_1,\ldots,t_n)\le u_j.\]
Las evaluaciones racionales están bien definidas: en cada recíproco su operando racional es no nulo. Para cada una de esas apariciones se puede fijar previamente una separación racional positiva respecto de cero que todas las elecciones finales respetarán.
Prueba. Se consideran simultáneamente los árboles finitos de las expresiones. Las apariciones repetidas de una variable son hojas distintas, pero todas tendrán el mismo intervalo y el mismo valor racional. Para cada nodo \(v\), denotamos por \(H_v\) su cortadura evaluada mediante la construcción mediante recintos. Esta evaluación existe por inducción sobre los árboles y por la hipótesis sobre los recíprocos; no requiere que \(D\) sea ya un cuerpo.
1. Cotas fijas. Para cada \(H_v\), escogemos un intervalo admisible fijo \([\alpha_v,\beta_v]\), disponible por la definición de las cortaduras. Sea \([l,u]\) cualquier recinto de \(H_v\), es decir, \(C_l\subseteq H_v\subseteq C_u\). Como \(\alpha_v\in H_v\), tenemos \(\alpha_v<u\). Como \(\beta_v\notin H_v\), tenemos \(l\le\beta_v\): si \(\beta_v<l\), entonces \(\beta_v\in C_l\subseteq H_v\), contradicción. Por tanto, si \(u-l<1\),
\[\alpha_v-1<l\le u<\beta_v+1.\]
Un ensanchamiento de cada extremo menor que 1 queda dentro de \([\alpha_v-2,\beta_v+2]\). Al haber finitos nodos, elegimos un racional
\[M=2+\max_v\bigl\{|\alpha_v|,|\beta_v|\bigr\}.\]
Esta cota sirve para los módulos de todos los extremos ensanchados que usaremos. Depende de las cortaduras fijas y de los árboles, no de la precisión final. Se evita así utilizar una cota del producto que pudiera crecer al refinar.
2. Separación de los operandos de recíprocos. Para cada nodo cuyo operando es \(H\ne C_0\), la definición de las cortaduras da exactamente uno de los casos \(H>C_0\) o \(H<C_0\), donde estos símbolos significan inclusión estricta.
Si \(H>C_0\), escogemos \(r\in H\) con \(r>0\): si un primer testigo de \(H\setminus C_0\) es cero, la ausencia de máximo proporciona uno positivo. Cualquier recinto \([l,u]\) de \(H\) satisface \(u>r\). Si \(u-l<r/2\), entonces \(l>r/2\). Al ensanchar menos que \(r/4\) por cada lado, todo el intervalo permanece por encima de \(r/4\).
Si \(H<C_0\), escogemos \(r\in C_0\setminus H\), de modo que \(r<0\). Todo recinto tiene \(l\le r\). Si \(u-l<|r|/2\), entonces \(u<r/2<0\). Al ensanchar menos que \(|r|/4\), todo el intervalo permanece por debajo de \(r/4<0\).
En ambos casos fijamos \(g=|r|/4>0\). Los intervalos finales del operando del recíproco tendrán un solo signo y todos sus elementos módulo al menos \(g\). Estas elecciones se hacen para cada aparición; si un mismo operando se repite, las restricciones finitas se satisfacen conjuntamente tomando las precisiones menores correspondientes.
3. Asignación explícita de precisiones. Asignamos a cada raíz una tolerancia racional \(\rho=\min(\varepsilon,1/2)\). Propagamos tolerancias desde las raíces hacia las hojas. Si un nodo tiene tolerancia \(\rho\), las tolerancias \(\delta\) de sus hijos se escogen como sigue:
- Suma: ambos hijos reciben \(\delta=\min(1/2,\rho/8)\).
- Opuesto: el hijo recibe \(\delta=\min(1/2,\rho/4)\).
- Producto: ambos hijos reciben \(\delta=\min(1/2,\rho/(8M))\).
- Recíproco: el hijo recibe \(\delta=\min(1/2,|r|/2,\rho g^2/4)\), con el testigo \(r\) y la separación \(g\) del paso 2.
Todas estas cantidades son racionales positivas. El proceso termina porque los árboles son finitos. Las restricciones se asignan desde las raíces hasta las hojas y se reúnen por mínimos cuando una variable aparece repetida: así, una sola elección de intervalo satisface simultáneamente las exigencias de todas sus apariciones. Ninguna tolerancia depende de un límite ni de un resultado de completitud de \(D\).
4. Una elección por variable. Para cada \(A_i\) que aparezca en los árboles, tomamos el mínimo de las tolerancias de todas sus hojas. Para una variable que no aparezca, basta cualquier intervalo admisible de anchura menor que \(\min(\varepsilon,1/2)\). Elegimos por la definición de las cortaduras un intervalo admisible \(I_i=[a_i,b_i]\) de anchura menor que ese mínimo. Si se han fijado intervalos iniciales distintos para apariciones de la misma variable, podemos escogerlo dentro de su intersección: el máximo de sus extremos inferiores pertenece a \(A_i\) y el mínimo de sus extremos superiores no pertenece, por lo que forman un intervalo admisible. La bisección finita de la definición de las cortaduras refina dentro de él.
Fijamos una sola vez \(t_i=(a_i+b_i)/2\in\mathbb Q\). Este mismo \(t_i\) se usa en todas las apariciones de \(X_i\), tanto en expresiones diferentes como en lados distintos de una identidad. No se exige \(t_i\in A_i\): se exige que esté dentro del intervalo racional admisible elegido. Para una hoja constante \(C_r\) con tolerancia \(\rho\), elegimos \(0<\gamma<\rho/2\) y usamos \([r-\gamma,r+\gamma]\), con valor racional exactamente \(r\).
5. Evaluación desde las hojas. Por inducción, cada hijo de un nodo tiene un recinto \([l,u]\) de anchura menor que su tolerancia \(\delta\), y su valor racional pertenece a ese recinto. Para aplicar la construcción mediante recintos al padre, escogemos racional \(0<\eta<\delta/2\) y reemplazamos el recinto por
\[[a,b]=[l-\eta,u+\eta].\]
Este intervalo es admisible para \(H\): \(a\in C_l\subseteq H\) y \(b\notin C_u\supseteq H\). Conserva dentro el valor racional del hijo y tiene anchura menor que \(2\delta\). Como \(\delta\le1/2\) y \(\eta<1\), todos sus extremos tienen módulo a lo sumo \(M\), por el paso 1.
En una suma, la construcción mediante recintos da anchura de salida menor que \(4\delta\le\rho/2<\rho\). En un opuesto, la anchura es menor que \(2\delta\le\rho/2<\rho\). En un producto, la construcción mediante recintos da anchura menor que \(4M\delta\le\rho/2<\rho\). En cada caso, el valor racional del padre está en el recinto de salida por las propiedades racionales de los recintos demostradas en la construcción mediante recintos.
En un recíproco, la elección \(\delta\le|r|/2\) y \(\eta<\delta/2\le|r|/4\) activa el paso 2. Los extremos \(a,b\) y el valor racional del hijo son del mismo signo y tienen módulo al menos \(g>0\). Por tanto \(ab\ge g^2>0\), el denominador racional del recíproco es no nulo y la construcción mediante recintos permite el recinto \([1/b,1/a]\). Su anchura cumple
\[\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}<\frac{2\delta}{g^2}\le\frac\rho2<\rho.\]
El valor racional del recíproco queda en ese recinto por la monotonía racional de \(t\mapsto1/t\) en cada semieje. No se divide por una cortadura ni se emplean reglas de orden de \(D\) todavía no demostradas.
La inducción llega a todas las raíces con anchuras menores que \(\varepsilon\). Los valores racionales usan las entradas compartidas del paso 4; todos los denominadores se han controlado en sus propios nodos. Esto prueba el lema. \(\square\)
Si dos expresiones racionalmente idénticas satisfacen las condiciones del lema, sus resultados en cortaduras son iguales. En efecto, sus recintos contienen un mismo valor racional \(v\) y tienen anchuras menores que \(\varepsilon\). Ambos recintos están dentro de \([v-\varepsilon,v+\varepsilon]\). Las dos cortaduras tienen, pues, un recinto común de anchura \(2\varepsilon\). El criterio de igualdad de cortaduras demuestra su coincidencia.
Aplicamos esto a las identidades racionales
\[A+B=B+A,\quad (A+B)+C=A+(B+C),\quad A+C_0=A,\] \[A+(-A)=C_0,\] \[AB=BA,\quad (AB)C=A(BC),\quad AC_1=A,\] \[A(B+C)=AB+AC.\]
También \(AA^{-1}=C_1\) para \(A\ne C_0\): el lema asegura entradas racionales no nulas y utiliza \(t(1/t)=1\). No hay que asumir invertibilidad de la cortadura para construir el recíproco: se definió en la construcción por recintos mediante intervalos admisibles. Las mismas identidades muestran que \(C_r+C_s=C_{r+s}\), \(C_rC_s=C_{rs}\), \(-C_r=C_{-r}\) y \(C_r^{-1}=C_{1/r}\) si \(r\ne0\). Finalmente, \(C_0\ne C_1\), pues \(0\in C_1\setminus C_0\). Por tanto, \(D\) es un cuerpo.
Cómo leer el lema de transferencia. Una identidad como \(X-X=0\) sólo puede transferirse si cada aparición de \(X\) se evalúa usando el mismo racional de entrada. El lema garantiza simultáneamente esa elección y recintos arbitrariamente estrechos para todas las expresiones que se comparan.
La construcción tiene dos direcciones complementarias. Primero se asignan tolerancias desde las raíces hacia las hojas de los árboles finitos, en función de la precisión deseada y de las cotas para las operaciones. Después se evalúan las expresiones desde las hojas hacia las raíces. Al encontrar un recíproco, la precisión de su argumento debe asegurar que los valores racionales permanezcan separados de cero. En ningún momento se invoca una continuidad real que todavía no hemos construido.
La conclusión es una regla de igualdad exacta: si dos expresiones coinciden como identidades racionales para las entradas permitidas, sus cortaduras quedan atrapadas en recintos comunes de anchura arbitrariamente pequeña y, por la definición de las cortaduras, son iguales. El paso de «aproximaciones pequeñas» a «igualdad» usa un criterio ya demostrado, no una mera semejanza numérica.
Compatibilidad del orden
La primera implicación exige convertir un recinto de \(-A\) en intervalo admisible antes de utilizar la operación de suma; un extremo del recinto no pertenece necesariamente a la cortadura. Por esa razón se introduce un ensanchamiento racional que preserva positividad.
Escribimos \(A<B\) cuando \(A\subsetneq B\), y \(B-A=B+(-A)\) con las operaciones de la construcción mediante recintos. Las identidades de cuerpo ya demostradas en el lema de transferencia pueden usarse aquí; aún no suponemos que el orden sea compatible con ellas.
Primera dirección. Supongamos \(A<B\). Elegimos \(r\in B\setminus A\) y, por ausencia de máximo de \(B\), un \(s\in B\) con \(r<s\). Elegimos también \(a\in A\) y \(b\notin B\). Entonces \([a,r]\) es admisible para \(A\) y \([s,b]\) para \(B\).
La operación de opuesto de la construcción mediante recintos da el recinto \([-r,-a]\) de \(-A\), es decir,
\[C_{-r}\subseteq -A\subseteq C_{-a}.\]
No se presupone que \(-r\in-A\). Ponemos \(\eta=(s-r)/2>0\) y usamos el intervalo
\[[-r-\eta,-a+\eta].\]
Es admisible para \(-A\): el extremo inferior pertenece a \(C_{-r}\) y el superior queda fuera de \(C_{-a}\). La mitad elegida para el ensanchamiento cumple dos tareas simultáneas: garantiza pertenencia de los nuevos extremos y deja una holgura positiva después de sumar. Si consumiéramos toda la separación entre los dos testigos, la cota inferior podría convertirse en cero y esta dirección de la prueba no produciría el signo estricto buscado. Al sumarlo mediante la construcción por recintos con el intervalo admisible \([s,b]\) de \(B\), obtenemos un recinto de \(B-A\) con extremo inferior
\[s-r-\eta=\frac{s-r}{2}>0.\]
En consecuencia,
\[C_{(s-r)/2}\subseteq B-A.\]
Como \(C_0\subsetneq C_{(s-r)/2}\) por la correspondencia entre el orden racional y la inclusión de cortaduras principales, resulta \(B-A>C_0\). Esto demuestra \(A<B\Rightarrow B-A>C_0\) sin utilizar previamente invariancia por traslación.
Signo del opuesto. Si \(H>C_0\), escogemos un racional \(h>0\) en \(H\) y un \(d\notin H\). El intervalo \([h,d]\) es admisible; la construcción mediante recintos da para \(-H\) el recinto \([-d,-h]\). Así
\[-H\subseteq C_{-h}\subsetneq C_0,\]
por lo que \(-H<C_0\). La prueba usa inclusión y el opuesto definido en la construcción mediante recintos, no una regla de signos de un cuerpo ordenado aún no establecido.
Segunda dirección. Supongamos \(B-A>C_0\). Por tricotomía de las cortaduras, exactamente uno de los casos \(A<B\), \(A=B\) y \(B<A\) ocurre.
Si \(A=B\), las identidades del lema de transferencia dan \(B-A=A+(-A)=C_0\), contradicción. Si \(B<A\), la primera dirección ya demostrada da \(A-B>C_0\). Aplicar el resultado del signo del opuesto y la identidad algebraica \(-(A-B)=B-A\) del lema de transferencia produce \(B-A<C_0\), también contradicción. Queda necesariamente \(A<B\). Por tanto,
\[A<B\iff B-A>C_0.\]
Compatibilidad con la suma. Para cualquier \(Z\in D\), el lema de transferencia da
\[ (B+Z)-(A+Z)=B-A.\]
La equivalencia recién demostrada implica
\[A<B\iff A+Z<B+Z.\]
No se utilizó esta compatibilidad para demostrar la equivalencia; se obtiene después de ella.
Compatibilidad con el producto positivo. Si \(H,K>C_0\), escogemos racionales positivos \(h\in H\), \(k\in K\) y extremos superiores \(d\notin H\), \(e\notin K\). Son positivos porque \(d>h>0\) y \(e>k>0\). En los intervalos admisibles \([h,d]\) y \([k,e]\), el menor de los cuatro productos extremos es \(hk>0\). La construcción mediante recintos da
\[C_{hk}\subseteq HK,\]
y la definición de las cortaduras da \(C_0\subsetneq C_{hk}\), luego \(HK>C_0\). Finalmente, si \(A<B\) y \(Z>C_0\), tenemos \(B-A>C_0\) y \((B-A)Z>C_0\). Por distributividad e identidades algebraicas del lema de transferencia,
\[BZ-AZ=(B-A)Z>C_0.\]
Aplicar la equivalencia a \(AZ,BZ\) da \(AZ<BZ\). El orden total de la definición de las cortaduras es, pues, compatible con suma y multiplicación por positivos; \(D\) es un cuerpo ordenado.
Por qué el ensanchamiento de la compatibilidad del orden es necesario. Del recinto \([-r,-a]\) para \(-A\) no se puede inferir que \(-r\in-A\). En realidad, un recinto sólo asegura que los elementos menores que \(-r\) están en \(-A\). La elección de \(\eta>0\) convierte \([-r-\eta,-a+\eta]\) en un intervalo admisible; además, \(\eta=(s-r)/2\) conserva un extremo inferior positivo después de sumar con \([s,b]\). Por eso la corrección no es tipográfica: sin ella, una aplicación de la construcción mediante recintos carecería de la hipótesis que define sus entradas.
Completitud por unión de cortaduras
Sea \(\mathcal A\subseteq D\) una familia no vacía y acotada superiormente por una cortadura \(U\). Definimos
\[S=\bigcup_{A\in\mathcal A}A.\]
Es no vacía porque contiene una cortadura de la familia. Es propia porque \(S\subseteq U\ne\mathbb Q\). Es cerrada hacia abajo porque cada miembro de la familia lo es. No tiene máximo: si \(q\in S\), pertenece a alguna \(A\in\mathcal A\), que contiene un \(q'>q\). Así \(S\in D\).
Cada \(A\in\mathcal A\) está incluida en \(S\), luego \(S\) es cota superior. Si \(T\in D\) es otra cota superior, contiene a todas esas cortaduras y, por tanto, su unión \(S\). Luego \(S\le T\). Se ha demostrado \(S=\sup_D\mathcal A\).
Con la construcción alternativa completa existe un cuerpo ordenado completo. La demostración utiliza solamente racionales y conjuntos de racionales. No usa \(\pi\), densidad racional dentro de un cuerpo real previo ni la existencia de límites reales.
Un ejemplo del mecanismo del supremo de cortaduras. Consideremos la familia \(\mathcal A=\{C_r:r\in\mathbb Q,\ r<1\}\). Su unión es \(C_1\). En efecto, si \(t<1\), el racional \(r=(t+1)/2\) cumple \(t<r<1\), de modo que \(t\in C_r\). Recíprocamente, si \(t\in C_r\) para algún \(r<1\), entonces \(t<r<1\) y \(t\in C_1\). La unión de la familia es por tanto una cortadura y funciona como supremo.
El ejemplo no prueba por sí solo la completitud de \(D\): la demostración de la completitud por unión necesita cualquier familia no vacía de cortaduras con cota superior, y ahí el argumento de la unión proporciona una solución uniforme.
Unicidad por aproximaciones del cuerpo ordenado completo
Sean \(F,G\) cuerpos ordenados completos. Utilizamos las copias racionales ya construidas; escribimos \(q_F,q_G\) cuando sea necesario.
Construcción de la correspondencia
Para \(x\in F\), sea
\[S_x=\{q\in\mathbb Q:q_F<x\},\qquad \varphi(x)=\sup_G\{q_G:q\in S_x\}.\]
La propiedad arquimediana, demostrada antes, proporciona enteros inferiores y superiores a \(x\). Por ello, el conjunto cuyo supremo se toma es no vacío y está acotado superiormente en \(G\). \(\varphi\) está bien definida.
La propiedad clave es
\[q_G<\varphi(x)\iff q_F<x.\tag{*}\]
Si \(q_F<x\), la densidad racional produce \(r\in\mathbb Q\) con \(q_F<r_F<x\). Entonces \(q_G<r_G\le\varphi(x)\). Si \(q_F\ge x\), para cada \(r_F<x\) se tiene \(r<q\), de modo que \(q_G\) es cota superior y \(\varphi(x)\le q_G\). Esto prueba ambas direcciones.
Dos elementos de un mismo cuerpo ordenado completo con los mismos racionales estrictamente inferiores son iguales: si uno fuera menor que el otro, la densidad racional daría un racional entre ellos que distinguiría sus conjuntos inferiores.
Construimos \(\psi:G\to F\) del mismo modo. Por () para ambas funciones, \(\psi(\varphi(x))\) y \(x\) tienen los mismos racionales inferiores, y lo mismo ocurre con \(\varphi(\psi(y))\) y \(y\). Son iguales. Por tanto, \(\varphi\) es biyectiva. Además, () y el criterio anterior muestran que \(\varphi(q_F)=q_G\) para cada racional.
Si \(x<y\), tomamos \(q\in\mathbb Q\) con \(x<q_F<y\). Como \(q_F\ge x\), la prueba de (*) da \(\varphi(x)\le q_G\); como \(q_F<y\), da \(q_G<\varphi(y)\). Así \(\varphi(x)<\varphi(y)\). La inversa también preserva el orden por el mismo argumento.
Qué significa construir \(\varphi\) a partir de racionales. El conjunto \(S_x\) registra exactamente los racionales situados por debajo de \(x\) en \(F\). La fórmula (*) expresa que \(\varphi(x)\) tiene el mismo perfil racional inferior en \(G\). Dos elementos distintos de un cuerpo ordenado completo no pueden compartir ese perfil, porque entre ellos existe un racional (la densidad racional). Por eso los perfiles bastan para demostrar que \(\varphi\) es inyectiva y que su construcción simétrica es una inversa.
La preservación de suma y producto requiere todavía otra demostración. No se debe inferir de la sola conservación del orden o de la fijación de los racionales sin exhibir el argumento que sigue.
Conservación de las operaciones
En un cuerpo arquimediano, dos elementos que pertenecen a intervalos comunes de anchura racional arbitrariamente pequeña son iguales. Si \(u<v\), se elige \(n\) con \(n>(v-u)^{-1}\), de modo que \(1/n<v-u\); ningún intervalo de anchura menor que \(1/n\) puede contener a ambos.
Por densidad podemos acotar cada \(x\in F\) entre racionales \(a<x<b\) con \(b-a\) arbitrariamente pequeño. Para justificar explícitamente la anchura, dada \(h\in\mathbb Q_{>0}\), escogemos \(a\) entre \(x-h/2\) y \(x\), y \(b\) entre \(x\) y \(x+h/2\). Entonces \(b-a<h\).
Sean \(a<x<b\), \(c<y<d\), con ambas anchuras menores que \(h\). En \(F\), \(a+c<x+y<b+d\). Como \(\varphi\) conserva orden y racionales, \(\varphi(x+y)\) está entre \((a+c)_G\) y \((b+d)_G\). También \(\varphi(x)+\varphi(y)\) está entre esos extremos, por las desigualdades respectivas para cada sumando. La anchura es menor que \(2h\), arbitrariamente pequeña; luego
\[\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y).\]
Para el producto, fijamos primero una cota racional \(M>0\) para los módulos de los extremos de los intervalos, posible por arquimedianidad. Refinamos sin salir de esos intervalos. Definimos
\[l=\min(ac,ad,bc,bd),\qquad u=\max(ac,ad,bc,bd).\]
El argumento de combinación con coeficientes no negativos de la construcción mediante recintos vale en cualquier cuerpo ordenado: usa únicamente división por cantidades positivas y distributividad. Por ello \(l_F\le xy\le u_F\). Conservar el orden da \(l_G\le\varphi(xy)\le u_G\). La misma estimación aplicada a \(\varphi(x),\varphi(y)\) da \(l_G\le\varphi(x)\varphi(y)\le u_G\). Por la cota de la construcción mediante recintos,
\[u-l\le M((b-a)+(d-c))<2Mh.\]
Al ser arbitrariamente pequeña esta anchura, concluimos
\[\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y).\]
Ya se sabe que \(\varphi(0)=0\), \(\varphi(1)=1\). La conservación de suma y producto, junto con la unicidad de inversos, implica \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\) y \(\varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}\) si \(x\ne0\). Así \(\varphi\) es un isomorfismo de cuerpos ordenados.
Lectura de las estimaciones de la conservación de las operaciones. Se eligen intervalos racionales estrechos alrededor de \(x\) e \(y\). La conservación del orden garantiza que tanto \(\varphi(x+y)\) como \(\varphi(x)+\varphi(y)\) quedan entre los mismos extremos racionales. Como la anchura puede ser tan pequeña como se quiera, ambos valores son iguales. En el caso del producto se necesita, además, una cota racional fija \(M\) que controle los productos de extremos; la anchura resultante es a lo sumo \(M((b-a)+(d-c))\). El argumento no presupone que \(\varphi\) preserve operaciones: eso es precisamente lo que se establece por encerramiento racional.
Unicidad del isomorfismo
Sea \(\theta:F\to G\) otro isomorfismo de cuerpos ordenados. Preserva \(1\), sumas, opuestos e inversos, de modo que fija las copias de naturales, enteros y racionales. Para todo racional \(q\),
\[q_G<\theta(x)\iff q_F<x\iff q_G<\varphi(x).\]
El criterio de igualdad por racionales inferiores implica \(\theta(x)=\varphi(x)\) para todo \(x\). El isomorfismo es único.
La afirmación demostrada es unicidad como cuerpo ordenado, hasta isomorfismo. No identifica literalmente los elementos de distintas realizaciones conjuntistas ni convierte una descripción axiomática en una elección única de conjunto subyacente.
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