Otra identificación de un cuerpo completo con las cortaduras
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La unicidad se puede justificar también mediante una correspondencia que a cada elemento le asocia el conjunto de racionales estrictamente inferiores. Presentamos íntegramente esta segunda prueba porque permite ver desde otro ángulo la relación entre orden, operaciones y supremos.
Identificación de cuerpos completos mediante cortaduras
Este apartado no forma parte de la demostración desarrollada en la construcción por testigos. Completa la dependencia implícita en la conclusión escrita \(D\cong\mathbb R\) sin presuponer unicidad. No reconstruye los documentos de la construcción por recintos: presenta aquí un argumento autónomo mediante la identificación de los cortes de un cuerpo completo cualquiera.
Sea \(F\) un cuerpo ordenado completo. Sus naturales son las sumas finitas de \(1_F\). Son positivos, y por ello \(F\) tiene característica cero y una inclusión racional canónica \(r\mapsto r_F\): la fracción \(m/n\) se envía a \(m_F(n_F)^{-1}\), con \(n\ne0\). Dos fracciones equivalentes dan el mismo valor por multiplicación cruzada; el orden y las operaciones se conservan por los axiomas de cuerpo ordenado.
Propiedad arquimediana. Si los naturales de \(F\) estuvieran acotados superiormente, tendrían un supremo \(u\). El elemento \(u-1_F\) no sería cota superior, así que algún natural \(n_F\) cumpliría \(u-1_F<n_F\). Entonces \(u<(n+1)_F\), contradicción. En consecuencia los naturales superan cualquier elemento de \(F\).
Densidad racional en F. Dados \(x<y\), elegimos \(n\in\mathbb N_{>0}\) con \(1_F<n_F(y-x)\). Hay un entero mínimo \(m\) con \(n_Fx<m_F\): el conjunto de tales enteros es no vacío y está acotado inferiormente por la propiedad arquimediana; trasladarlo por un entero lo convierte en un subconjunto de naturales al que se aplica buen orden. La minimalidad da \((m-1)_F\le n_Fx<m_F\). Por tanto
\[x<(m/n)_F\le x+1_F/n_F<y.\]
Para \(x\in F\), definimos
\[A_x=\{r\in\mathbb Q:r_F<x\}.\]
Las cotas racionales arquimedianas aseguran que es no vacío y propio. El orden racional asegura descenso, y la densidad en \(F\) asegura ausencia de máximo. Por tanto \(A_x\in D\). Si \(x<y\), hay un racional entre ambos, que pertenece a \(A_y\setminus A_x\); además \(A_x\subseteq A_y\). Así \(x\mapsto A_x\) preserva y refleja estrictamente el orden y es inyectiva.
Es sobreyectiva. Dada \(A\in D\), el conjunto \(\{r_F:r\in A\}\) es no vacío y tiene una cota superior \(p_F\), con \(p\in\mathbb Q\setminus A\). Sea \(x\) su supremo en \(F\). Si \(r\in A\), hay \(s\in A\) con \(r<s\), de modo que \(r_F<s_F\le x\) y \(r\in A_x\). Si \(r\in A_x\), entonces \(r_F<x\) no es cota superior del conjunto; existe \(s\in A\) con \(r_F<s_F\), y el descenso de \(A\) implica \(r\in A\). Luego \(A=A_x\).
También preserva la suma. Un testigo racional \(q<a+b\) con \(a_F<x\), \(b_F<y\) implica \(q_F<x+y\). Si \(q_F<x+y\), ponemos \(\delta=(x+y-q_F)/3>0\) en \(F\). Elegimos racionales \(a,b\) con \(x-\delta<a_F<x\), \(y-\delta<b_F<y\); entonces \(q_F<a_F+b_F\) y obtenemos los testigos de \(q\in A_x+A_y\). Así \(A_{x+y}=A_x+A_y\). En particular preserva cero y, por unicidad del opuesto, signos aditivos.
Para \(x,y>0\), la pertenencia por testigos positivos a \(A_x\odot A_y\) implica \(q_F<xy\). Para la inclusión contraria, si \(0\le q_F<xy\), elegimos en \(F\)
\[0<e\le\min\left(x/2,y/2,1_F,\frac{xy-q_F}{2(x+y+1_F)}\right).\]
Por densidad hay racionales positivos \(a,b\) con \(x-e<a_F<x\), \(y-e<b_F<y\). Se cumple
\[xy-a_Fb_F=x(y-b_F)+b_F(x-a_F)<e(x+y)<xy-q_F,\]
por lo que \(q<ab\) y sirve como testigo del producto de cortaduras. Los racionales negativos pertenecen a ambas partes. Los casos cero se reducen a la identidad de cero; los negativos se reducen por el opuesto y la definición por signos. Luego \(A_{xy}=A_xA_y\) en todos los casos. Se preserva \(1_F\) porque \(A_{1_F}=C_1\).
Así \(F\to D\) es un isomorfismo de cuerpos ordenados, y su inversa muestra que todo cuerpo ordenado completo es isomorfo al construido. También es único: cualquier isomorfismo de cuerpos ordenados \(f:D\to F\) fija las cortaduras racionales \(C_r\) y sus imágenes \(r_F\). Para toda cortadura \(A\),
\[r\in A\iff C_r<A.\]
La dirección directa requiere sólo descenso: si \(r\in A\), entonces \(C_r\subseteq A\), y la inclusión es estricta porque el propio \(r\) pertenece a \(A\setminus C_r\). Para la inversa, \(C_r\subsetneq A\) proporciona \(s\in A\setminus C_r\), es decir, \(s\ge r\); por igualdad o descenso resulta \(r\in A\). La ausencia de máximo no se necesita en esta equivalencia puntual, aunque siga siendo imprescindible para que \(A\) sea una cortadura y para otras etapas de esta construcción. Por tanto \(r\in A\iff r_F<f(A)\), es decir, \(A_{f(A)}=A\). La inyectividad del mapa \(x\mapsto A_x\) determina \(f(A)\) de manera única.
La completitud de \(F\) se utilizó para propiedad arquimediana y para el supremo que representa una cortadura. La completitud de \(D\) ya se probó en la completitud mediante unión. Ninguna de las dos se invocó para construir las operaciones de D, ni se utilizó previamente este isomorfismo para justificar la unión o las leyes de cuerpo.
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