Símbolos y convenciones
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\(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) y \(\mathbb Q\) designan, respectivamente, los naturales, los enteros y los racionales. Adoptamos la convención de que cero pertenece al conjunto de los naturales. Los denominadores se toman siempre no nulos; cuando se escriben como naturales, son estrictamente positivos.
Un cuerpo ordenado es un cuerpo con un orden total compatible con las dos operaciones. La palabra completo añade que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo en el propio cuerpo.
\(D\) es el conjunto de cortaduras inferiores de \(\mathbb Q\). La cortadura principal asociada a \(r\in\mathbb Q\) se escribe \(C_r=\{q\in\mathbb Q:q<r\}\). Cuando el cuerpo sea abstracto, \(q_H\) denotará la imagen de un racional \(q\) en ese cuerpo. Los símbolos \(q\), \(q_F\) y \(q_G\) pertenecen, en general, a conjuntos diferentes.
Para \(x\in F\), el conjunto \(A_x=\{q\in\mathbb Q:q_F<x\}\) es el perfil racional inferior de \(x\); su parte positiva es \(A_x^+=A_x\cap\mathbb Q_{>0}\). La parte positiva no constituye por sí sola una cortadura descendente de todos los racionales.
El símbolo \(\sup_H S\) designa un supremo calculado en \(H\), no en un conjunto ambiente implícito. Para los resultados de continuidad y límites, \(\varepsilon>0\) será una tolerancia elegida antes de los índices \(N\).
Finalmente, \(|x|\) designa el valor absoluto de un escalar y \(\|v\|\) una norma en un espacio vectorial. Un cuerpo ordenado completo y un espacio normado completo satisfacen propiedades de completitud distintas: la primera se refiere a supremos de conjuntos ordenados y la segunda a convergencia de sucesiones de Cauchy.
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