Comprobaciones transversales y comparación de construcciones
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No se usarán los resultados de este apéndice para justificar retroactivamente las operaciones cuya construcción presuponen. Su papel es reunir las consecuencias ya demostradas, comprobar la coherencia entre métodos y exhibir con claridad las condiciones que no debemos omitir.
La legitimidad de las operaciones por recintos
Existencia de recintos racionales arbitrariamente estrechos
Para \(A\in D\), un intervalo admisible es \([a,b]\) con \(a\in A\) y \(b\notin A\). La descendencia prueba \(a<b\) y \(C_a\subseteq A\subseteq C_b\). La bisección racional preserva ambas pertenencias y reduce la anchura a \((b-a)/2^n\). Dado \(\varepsilon\in\mathbb Q_{>0}\), la desigualdad \(2^n\ge n+1\) y la arquimedianidad racional permiten elegir \(n\) con \((b-a)/2^n<\varepsilon\). No se ha supuesto ningún límite en \(D\), y mucho menos un supremo en \(\mathbb Q\).
Si sólo se tiene un recinto \(C_l\subseteq A\subseteq C_u\), es incorrecto presuponer \(l\in A\) o \(u\notin A\). El intervalo \([l-\eta,u+\eta]\), con \(\eta>0\) racional, sí es admisible: \(l-\eta\in C_l\subseteq A\) y \(u+\eta\notin C_u\supseteq A\). Esta conversión tiene un coste de anchura igual a \(2\eta\), que no puede ignorarse cuando se propagan aproximaciones.
Salidas de la construcción mediante recintos: existencia y control uniforme de los extremos
Las operaciones de la construcción por recintos asignan a intervalos admisibles recintos racionales de suma, opuesto, producto o recíproco; el resultado se define como la unión de los cortes principales de sus extremos inferiores. La unión es descendente y carece de máximo porque cada miembro es un \(C_L\). No vacuidad se obtiene de cualquier elección admisible. Para demostrar que la unión es propia se necesita probar que un mismo extremo superior racional domina todos los extremos inferiores \(L\) posibles.
La prueba no es una invocación de completitud: dos intervalos admisibles de una misma cortadura tienen interior común. En efecto, si \([a,b]\) y \([a',b']\) son admisibles, el mayor de \(a,a'\) está dentro de la cortadura y el menor de \(b,b'\) está fuera, luego \(\max(a,a')<\min(b,b')\). Para cada variable se elige una entrada racional común en esa intersección. En la suma, opuesto y producto, la imagen racional de las entradas comunes pertenece a ambos recintos de salida. En el recíproco se usa la misma comparación, con intervalos sin cero y del mismo signo, que existen para una cortadura distinta de \(C_0\). Por tanto todo extremo inferior de cualquier recinto de salida es menor o igual que el extremo superior de uno fijado previamente. Este último es cota racional del resultado y lo mantiene propio.
La misma comparación demuestra \(C_L\subseteq\operatorname{Op}(A,B)\subseteq C_U\) para cada recinto de salida \([L,U]\). El producto se controla con la desigualdad racional
\[|tv-t'v'|\le M(|t-t'|+|v-v'|),\]
cuando todos los argumentos pertenecen a un intervalo de módulo menor o igual que \(M\). El recíproco requiere adicionalmente \(|t|,|t'|\ge g>0\) y entonces
\[\left|\frac1t-\frac1{t'}\right|=\frac{|t-t'|}{|tt'|}\le\frac{|t-t'|}{g^2}.\]
Estas estimaciones explican por qué la separación racional de cero debe fijarse antes de permitir el recíproco.
Transferencia de identidades sin circularidad
Sean \(E_1,E_2\) expresiones racionales con las mismas variables, y supongamos que cada subexpresión a la que se aplica un recíproco evalúa en una cortadura distinta de \(C_0\). El lema de transferencia elige una sola entrada racional por variable, común a todas las apariciones y a ambos miembros. Primero, para los árboles finitos de subexpresiones se fijan cotas racionales uniformes \(M\); para cada operando de recíproco se fija una separación \(g>0\) de cero. Después se asignan tolerancias de raíces a hojas: suma, opuesto, producto y recíproco admiten las cotas de anchura \(4\delta\), \(2\delta\), \(4M\delta\) y \(2\delta/g^2\), respectivamente, después de convertir recintos hijos en intervalos admisibles de anchura menor que \(2\delta\).
Para un nodo de tolerancia \(\rho\), se pueden elegir, respectivamente, \(\delta\le\rho/8\), \(\delta\le\rho/4\), \(\delta\le\rho/(8M)\) y \(\delta\le\rho g^2/4\), además de las restricciones de signo. La inducción ascendente construye recintos de anchura menor que \(\rho\) que contienen la evaluación racional sobre esas entradas compartidas. Si \(E_1(t)=E_2(t)\) como identidad en los racionales donde ambos términos están definidos, los dos resultados cortadura quedan en un recinto común de anchura arbitrariamente pequeña. El criterio de igualdad de la definición de las cortaduras obliga a que sean la misma cortadura.
El lema de transferencia utiliza exclusivamente las definiciones de cortaduras y de las operaciones por recintos, identidades racionales y aproximaciones racionales finitas. No presupone axiomas de cuerpo para \(D\) que precisamente pretende derivar. El hecho de que cada variable repetida conserve su entrada racional evita la falacia de sustituir, por ejemplo, \(X-X\) por dos aproximaciones no coordinadas.
El orden se obtiene después de las identidades algebraicas
Supongamos \(A\subsetneq B\). Elegimos \(r\in B\setminus A\) y \(s\in B\) con \(r<s\); elegimos \(a\in A\) y \(b\notin B\). Los intervalos \([a,r]\) de \(A\) y \([s,b]\) de \(B\) son admisibles. El intervalo \([-r,-a]\) es sólo un recinto de \(-A\); no se puede usar sin más como argumento de una operación definida sobre admisibles.
Con \(\eta=(s-r)/2>0\), el intervalo \([-r-\eta,-a+\eta]\) sí es admisible para \(-A\). Al sumar con \([s,b]\) mediante la construcción mediante recintos, la cota inferior del recinto de \(B-A\) es
\[s-r-\eta=\frac{s-r}{2}>0.\]
Por tanto \(B-A>C_0\). Para la vuelta, la tricotomía descarta \(A=B\) por cancelación, y descarta \(B<A\) aplicando la dirección recién probada y el signo negativo del opuesto. Sólo después se establece
\[A<B\iff B-A>C_0\iff A+Z<B+Z.\]
La distributividad y la positividad de productos de dos cortaduras estrictamente positivas completan la compatibilidad multiplicativa. Esta secuencia impide que la regla de traslación, aún no legitimada en \(D\), se use para demostrarse a sí misma.
Las leyes del producto y el recíproco por testigos
Una misma suma, dos fórmulas
Para \(A,B\in D\),
\[A+_{\rm tes}B=\{q:\exists a\in A,\ b\in B,\ q<a+b\}=\{a+b:a\in A,b\in B\}.\]
La primera inclusión hacia sumas exactas reemplaza \(a\) por \(q-b<a\), que sigue en \(A\) por descenso. La inclusión contraria reemplaza un testigo \(a\) por uno estrictamente mayor dentro de \(A\). De aquí se obtienen asociatividad y conmutatividad mediante operaciones racionales. El opuesto definido con racionales exteriores requiere un recinto admisible de anchura arbitrariamente pequeña para obtener \(A+(-A)=C_0\); no puede resolverse sólo con una simetría gráfica.
Distributividad en el cono positivo
Para \(A,B,C\ge C_0\), la multiplicación por testigos positivos se define antes de extender los signos. Cuando los tres son estrictamente positivos, si \(q\ge0\) pertenece a \((A\odot B)+(A\odot C)\), hay \(u\in A\odot B\) y \(v\in A\odot C\) con \(q<u+v\). Incluso si \(u<0\) o \(v<0\), puede elegirse un testigo racional positivo cuyo producto sea mayor que ese elemento. Obtenemos entonces \(a_1,a_2\in A\) y \(b\in B,c\in C\), todos positivos, con
\[q<u+v<a_1b+a_2c\le a(b+c),\qquad a=\max(a_1,a_2)\in A.\]
Como \(b+c\in B+C\) por la forma exacta de la suma, se tiene \(q\in A\odot(B+C)\). La otra inclusión parte de \(q<ad\) con \(d\in B+C\) positivo; se escoge una representación \(d=b+c\) y, aumentando los testigos dentro de \(B,C\) si es necesario, pueden obtenerse \(b,c>0\) y \(q<a(b+c)=ab+ac\). Los productos racionales positivos \(ab\) y \(ac\) pertenecen a los cortes producto correspondientes (se aumenta ligeramente \(a\) para transformar \(ab\) en testigo estricto), de modo que \(q\) pertenece a su suma. Los casos con un factor cero se resuelven por las identidades ya demostradas. Ningún paso presupone distributividad general de cortaduras negativas.
Extensión del cono al cuerpo entero
Toda cortadura \(X\) puede expresarse como \(P-Q\) con \(P,Q\ge C_0\). Para \(T\ge C_0\) se define \(h_T(P-Q)=P\odot T-Q\odot T\). Si \(P-Q=P'-Q'\), el grupo aditivo ya probado da \(P+Q'=P'+Q\), y la distributividad positiva da
\[P\odot T+Q'\odot T=P'\odot T+Q\odot T.\]
Por cancelación, \(h_T\) no depende de la representación. Para \(Y=R-S\), también con \(R,S\ge C_0\), se define \(XY=h_R(X)-h_S(X)\). La identidad \(h_{T+U}=h_T+h_U\) hace independiente esa segunda representación. La fórmula expandida es
\[(P-Q)(R-S)=(P\odot R+Q\odot S)-(P\odot S+Q\odot R).\]
Así la multiplicación general queda bien definida antes de utilizar distributividad y asociatividad para elementos con signos arbitrarios. La expansión de tres diferencias tiene en ambos parentizados los mismos ocho monomios de productos del cono con sus respectivos signos; el resultado depende únicamente de las leyes ya probadas en el cono y del grupo aditivo.
El recíproco según el signo de la cortadura
Para \(A>C_0\), el conjunto
\[J_A=\{q\in\mathbb Q:\exists p\notin A,\ p>0,\ q<1/p\}\]
es una cortadura positiva. Para demostrar \(A\odot J_A=C_1\), la inclusión no trivial toma un \(q\) con \(0\le q<1\), fija \(a_0>0\) dentro de \(A\) y refina un par admisible hasta obtener \(a\in A\), \(p\notin A\) con \(a\ge a_0>0\) y
\[0<p-a<(1-q)a_0.\]
Entonces \(a/p=1-(p-a)/p>q\), de modo que existe un racional \(b\) con \(q/a<b<1/p\) y \(b>0\), lo que proporciona \(q<ab\). Los negativos ya pertenecen al corte producto. Para \(A<C_0\) se define \(A^{-1}=-J_{-A}\); el cero carece de inverso. Aplicar la fórmula positiva a \(C_{-1}\) daría todo \(\mathbb Q\), por permitir \(p>0\) exterior arbitrariamente pequeño. El dominio y el signo determinan la fórmula legítima del recíproco y forman parte de su buena definición.
Los dos puentes del producto de supremos
Sean \(F,G\) cuerpos ordenados completos supuestos, con copias racionales \(q_F,q_G\). La aplicación \(\varphi(x)=\sup_G\{q_G:q_F<x\}\) exige primero arquimedianidad y densidad de los racionales en cada cuerpo, obtenidas desde su propia completitud. No se invoca para esta construcción el cuerpo de cortaduras de la construcción por testigos.
Para \(x,y>0_F\), definimos
\[A_x^+=\{a\in\mathbb Q:0<a_F<x\},\quad A_y^+=\{b\in\mathbb Q:0<b_F<y\},\] \[U=\{q\in\mathbb Q:\exists a\in A_x^+,b\in A_y^+,\ q<ab\},\quad P=U\cap\mathbb Q_{>0},\] \[V=\{a_Gb_G:a\in A_x^+,b\in A_y^+\}.\]
Primer puente. \(U=A_{xy}\): cada testigo produce \(q_F<xy\) al multiplicar por positivos. Si \(0<q_F<xy\), se elige por densidad primero \(b_F\) entre \(q_F/x\) e \(y\), y luego \(a_F\) entre \(q_F/b_F\) y \(x\). Ambas divisiones tienen denominador positivo y \(q<ab\). Para \(q\le0\), cualquier producto positivo de dos testigos sirve. Como consecuencia, \(P=A_{xy}^+\), pero \(P\) no es cortadura en todo \(\mathbb Q\): falta su lado negativo.
Segundo puente. Los conjuntos \(V\) e \(\iota_G[P]\) son incluso idénticos. Si \(q\in P\) y \(0<q<ab\), entonces \(a'=q/b\) satisface \(0<a'<a\) y, por descenso, \(a'\in A_x^+\); por tanto \(q=a'b\). Recíprocamente, si \(ab\) es un producto exacto, la ausencia de máximo permite \(a'>a\) todavía en \(A_x^+\), y \(0<ab<a'b\), por lo que \(ab\in P\). Ambos pasos requieren \(b>0\). De aquí \(V=\iota_G[P]\).
Producto de supremos. Los conjuntos \(S_x=\iota_G[A_x^+]\) y \(S_y=\iota_G[A_y^+]\) son no vacíos, acotados y positivos; son cofinales respecto de las imágenes de los cortes completos. La regla \(\sup(cS)=c\sup S\) para \(c>0\) y el lema de aplanamiento de supremos dan
\[\varphi(x)\varphi(y)=\sup_G V=\sup_G\iota_G[P]=\varphi(xy).\]
En el último término se utiliza que \(P=A_{xy}^+\) es cofinal en \(A_{xy}\). Para signos no positivos sólo se usa después la aditividad ya demostrada: \(\varphi(0)=0\) y \(\varphi(-x)=-\varphi(x)\). La unidad procede de la idempotencia y de la positividad de \(\varphi(1)\); la sobreyectividad se prueba por el corte inverso \(B_y=\{q:q_G<y\}\) y un supremo en \(F\). Ninguna de estas etapas emplea el isomorfismo buscado como premisa.
De los cuadrados y las raíces a los espacios normados
Para \(a,b\) en cualquier cuerpo ordenado, \(|ab|=|a||b|\) y \(ab\le|ab|\). Por expansión,
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\le(|a|+|b|)^2.\]
Ambos números \(|a+b|\) y \(|a|+|b|\) son no negativos. La función \(t\mapsto t^2\) es estrictamente creciente sobre los no negativos, ya que si \(0\le u<v\) entonces \(v^2-u^2=(v-u)(v+u)>0\). Resulta \(|a+b|\le|a|+|b|\). La notación \(\sqrt{z^2}=|z|\) sólo recupera la raíz de un cuadrado ya existente; no presupone que cualquier positivo de un cuerpo ordenado tenga raíz. Así la demostración escalar no necesita completitud.
La existencia general de \(\sqrt c\) para \(c\ge0\) sí utiliza la propiedad del supremo: con \(c>0\) se toma \(S=\{t\ge0:t^2\le c\}\) y \(s=\sup S\); si \(s^2<c\) se aumenta racionalmente \(s\) dentro de \(S\) y si \(s^2>c\) se produce una cota menor que \(s\). Para ambos desplazamientos se escogen parámetros positivos que controlan denominadores y cuadrados. Con esto se obtiene una raíz no negativa única, sin invocar continuidad previa.
La desigualdad triangular euclídea para \(\mathbb R^2\) requiere otra demostración: la identidad de Lagrange
\[(u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2)-(u_1v_1+u_2v_2)^2=(u_1v_2-u_2v_1)^2\ge0\]
implica Cauchy–Schwarz; de éste y de la expansión de \(\|u+v\|_2^2\) se deduce la desigualdad vectorial. No se obtiene reemplazando letras escalares por vectores en el resultado anterior. Para la norma euclídea, la igualdad exige un vector cero o dos vectores no nulos en el mismo sentido. Esta caracterización no se extiende a normas arbitrarias; en \(\ell^1\), \((1,0)\) y \((0,1)\) son no paralelos y satisfacen igualdad triangular.
En el paso a sucesiones, la triangular controla el error de una suma, pero el cierre requiere escoger índices para tolerancias \(\varepsilon/2\) y luego su máximo. La convergencia de dos sucesiones de Cauchy no se deduce de estar en cualquier espacio normado: para la recíproca hace falta completitud del espacio, diferente de la completitud del cuerpo escalar.
Por qué coinciden las dos construcciones de cortaduras
Teorema de comparación posterior. Supongamos completadas independientemente dos construcciones de los reales: una que define las operaciones mediante recintos racionales, \((D,+_{\rm rec},\cdot_{\rm rec},\le)\), y otra que las define mediante testigos racionales, \((D,+_{\rm tes},\cdot_{\rm tes},\le)\). En ambas se han probado todas las leyes algebraicas, la compatibilidad con el orden y la completitud, sin utilizar este teorema de comparación. Ambas estructuras son cuerpos ordenados completos sobre el mismo conjunto de cortaduras, con el mismo orden por inclusión; la inclusión racional tiene en ambas la forma \(r\mapsto C_r\).
El teorema de unicidad demuestra, para dos cuerpos ordenados completos arbitrarios, la existencia de un isomorfismo ordenado \(\Phi:D_{\rm rec}\to D_{\rm tes}\). Por preservar unidad y operaciones, \(\Phi(C_r)=C_r\) para todo \(r\in\mathbb Q\). Además, en cualquier cortadura \(A\) se cumple
\[r\in A\iff C_r<A.\]
En la implicación directa, \(C_r\subseteq A\) por descenso y la inclusión es estricta porque el propio \(r\) pertenece a \(A\setminus C_r\). En la inversa, un testigo \(s\in A\setminus C_r\) satisface \(s\ge r\); por descenso, o por igualdad, \(r\in A\). La ausencia de máximo no es necesaria para esta equivalencia aislada, aunque sí lo sea en la definición de cortadura. Como \(\Phi\) preserva y refleja inclusión estricta y fija cada \(C_r\),
\[r\in A\iff C_r<A\iff C_r<\Phi(A)\iff r\in\Phi(A).\]
Se sigue \(\Phi(A)=A\) por extensionalidad para cada cortadura. Al aplicar la condición de homomorfismo a dos cortaduras cualesquiera \(A,B\),
\[A+_{\rm rec}B=A+_{\rm tes}B,\qquad A\cdot_{\rm rec}B=A\cdot_{\rm tes}B,\]
así como coincidencia de opuestos e inversos no nulos. Alcance lógico: este teorema compara dos construcciones después de completarlas y después de haber demostrado el teorema de unicidad. No se usa para justificar las pruebas de transferencia y orden de la construcción por recintos, la distributividad y los recíprocos de la construcción por testigos, ni la existencia previa del isomorfismo del teorema de unicidad. Reutilizarlo como premisa en esas pruebas sería circular. El resultado compara dos estructuras ya construidas: no puede emplearse como justificación previa de alguna de ellas.
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