Prefacio

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Quiero reconocer desde la primera página mi deuda intelectual y mi admiración por Elements of Mathematics: A Problem-Centered Approach to History and Foundations (Springer, 2021), de Gabor Toth, cuya lectura está en el origen de este libro. Hay en su manera de enseñar una atención poco común al problema que precede a una definición: Toth permite seguir las dificultades, examinar los ejemplos que las iluminan y comprender cómo adquiere forma una idea antes de encontrarse con su formulación precisa, mientras la historia participa en la explicación y devuelve a los conceptos el contexto de las preguntas que los hicieron necesarios. Esa forma de escribir matemáticas me animó a intentar, por cuenta propia, un recorrido semejante en el territorio del cálculo, donde algunas de las preguntas más fértiles proceden de experiencias tan familiares como el movimiento y la medida de las figuras.

Cuando conocemos la posición de un móvil en dos instantes, obtener su velocidad media es sencillo: calculamos el desplazamiento y lo dividimos por el tiempo transcurrido. La dificultad aparece al pedir la velocidad que tiene en un instante preciso, porque la operación que nos servía para comparar dos momentos deja de estar definida cuando hacemos coincidir esos momentos. En geometría ocurre algo parecido: dos puntos de una curva determinan una recta secante, pero si buscamos la inclinación de la tangente en uno de ellos, ya no tenemos dos puntos distintos con los cuales calcularla. Estas preguntas, tan cercanas a nuestra experiencia con el movimiento y las figuras, obligan a encontrar una forma de hablar de lo que ocurre en un punto mediante cantidades que sólo podemos calcular entre puntos distintos. La derivada surgirá de ese intento y de la necesidad de precisar qué queremos decir cuando un cociente se aproxima a un valor, aunque la división deje de tener sentido para un incremento igual a cero.

El problema del área bajo una curva nos lleva por otro camino. Podemos aproximarla sumando las áreas de rectángulos, afinar la aproximación aumentando su número y reduciendo sus anchuras, y observar que las sumas parecen acercarse cada vez más a un valor; queda todavía por averiguar cuándo existe ese valor y qué razones tenemos para identificarlo con la magnitud que buscamos. A primera vista, calcular una velocidad instantánea y medir una región de borde curvo pertenecen a oficios matemáticos diferentes. Sin embargo, cuando estudiamos cómo se acumulan los cambios de una magnitud, aparece una relación inesperada con su variación local: bajo condiciones que habrá que establecer con cuidado, la integral permite recuperar el cambio total a partir de una tasa de variación. El Teorema Fundamental del Cálculo dará una formulación precisa de esa relación, y buena parte del recorrido de este libro estará dedicado a comprender por qué es verdadera.

Al escribir Elementos del cálculo me interesaba seguir cada problema el tiempo suficiente para que una definición apareciera como respuesta a una dificultad comprensible y para que las demostraciones dejaran ver la idea que permite avanzar; al estudiar una regla de derivación, por ejemplo, quiero que el lector entienda qué ocurre cuando varían los factores de un producto y por qué el argumento conduce a la fórmula que utilizamos. Las técnicas del cálculo tienen una eficacia admirable, y aprender a manejarlas es parte de nuestro propósito, aunque su verdadero alcance se aprecia mejor cuando comprendemos cómo se justifican.

Recomiendo vivamente la lectura del libro de Toth, antes de estas páginas o en paralelo con ellas, porque su modo de reunir problemas, historia y fundamentos ofrece una experiencia de aprendizaje que merece acompañar el estudio del cálculo. La recomendación expresa una deuda intelectual, sin imponer un requisito de lectura: Elementos del cálculo es una obra autónoma, sin carácter de continuación oficial, traducción, adaptación o reproducción de la obra de Toth, y reconstruye dentro de sus propios capítulos los resultados previos necesarios para sostener sus argumentos.

La historia forma parte de esta manera de aprender, aunque obliga a escuchar con atención el lenguaje de quienes trabajaron antes que nosotros. Los procedimientos de cuadratura de Arquímedes tenían sus propias formas de razonamiento, muy distintas de la definición moderna de integral; también los métodos de tangentes elaborados durante la primera modernidad respondían a problemas y supuestos que no coinciden exactamente con los nuestros. Es más interesante comprender cómo funcionaban esos procedimientos en sus contextos que atribuir a sus autores, retrospectivamente, una teoría que todavía no estaba disponible. La síntesis asociada a Newton y Leibniz ocupa un lugar decisivo, dentro de una historia en la que intervinieron asimismo numerosas investigaciones, prácticas y tradiciones. Cuando reconstruyamos con notación actual un razonamiento antiguo, indicaremos ese cambio de perspectiva, y las atribuciones históricas se apoyarán en testimonios y estudios que permitan distinguir lo documentado de nuestras interpretaciones.

El desarrollo matemático comenzará con los límites y la continuidad, porque necesitamos comprender qué sucede cuando aproximamos un punto, un instante o una magnitud mediante otros que permanecen distintos. Sobre esa base estudiaremos las tangentes y las velocidades instantáneas, hasta formular la derivada y justificar las reglas que permiten calcularla; una vez establecidas, esas reglas nos darán acceso a problemas de variación y a resultados que relacionan las propiedades locales de una función con su comportamiento en un intervalo. Regresaremos luego a las áreas y a las sumas que las aproximan, cuidando que el paso al límite tenga un significado preciso, para llegar finalmente a la relación entre derivación e integración. El encuentro de estos dos caminos resulta tanto más esclarecedor cuanto mejor conocemos las dificultades que cada uno tuvo que resolver por separado.

El cálculo tiene todavía otros recursos para estudiar cómo cambian las cantidades y cómo pueden aproximarse. Las series nos permitirán examinar sumas infinitas cuya convergencia habrá que justificar; los polinomios de Taylor mostrarán cómo las derivadas sucesivas aportan información acerca de una función cerca de un punto, siempre que sepamos controlar el error de la aproximación. Las ecuaciones diferenciales abrirán una dirección distinta del mismo problema: en lugar de partir de una función para averiguar cómo cambia, conoceremos una ley de variación e intentaremos determinar qué funciones pueden satisfacerla. El crecimiento, el enfriamiento o la oscilación ofrecen ejemplos accesibles de esta inversión de la pregunta, que pronto nos llevará a distinguir entre comprobar una solución, demostrar que existe y establecer cuándo está determinada por sus condiciones iniciales.

A lo largo de estas páginas procuraremos que los ejemplos y las figuras ayuden a pensar, y que las demostraciones expliquen lo que verdaderamente está en juego. La gráfica de una función puede sugerir que posee una tangente en cierto punto, aunque sólo la definición y un argumento permiten decidirlo; la función que asigna a cada número su valor absoluto, por ejemplo, es continua en el origen y, aun así, carece allí de derivada. Algo parecido ocurre con las sumas infinitas: que una serie de funciones converja no nos concede, sin más, permiso para derivarla término a término. Son dificultades que merecen detenerse a estudiar porque muestran para qué sirven las hipótesis de los teoremas y hasta dónde llegan sus conclusiones. El rigor interesa aquí por esa capacidad de aclarar una idea que, antes de ser examinada, podía parecer evidente.

He pensado en un lector que conoce el álgebra elemental, la geometría y las funciones, y que está dispuesto a seguir una argumentación con paciencia, aunque todavía no haya cursado cálculo o análisis real de manera formal. Los hechos sobre límites y continuidad que necesitamos se desarrollarán desde el comienzo, de modo que ninguna prueba esencial dependa de un resultado que el propio libro haya dejado sin justificar; los ejercicios, acompañados de soluciones razonadas, ofrecerán oportunidades de ensayar las ideas, poner a prueba las hipótesis y volver sobre un argumento desde otra perspectiva. Quien ya sabe derivar e integrar puede encontrar también un motivo para leer: comprender las condiciones bajo las cuales esos procedimientos son válidos suele revelar más acerca de ellos que el dominio de una lista de fórmulas.

El campo de este volumen es el cálculo de una variable, con las herramientas necesarias para fundamentarlo. Una teoría sistemática de los espacios métricos, la integración de Lebesgue y el análisis funcional encontrarán mejor lugar en estudios posteriores, cuando podamos dedicarles el cuidado que requieren; aquí me importa que cada tema disponga de espacio suficiente para mostrar cómo se plantea el problema, qué podemos demostrar con los recursos disponibles y dónde termina el alcance de nuestras conclusiones. Quisiera que, ante una recta tangente o una suma que aproxima un área, el lector reconociera tanto la operación que está realizando como las razones que le dan sentido, y que conservara esa costumbre de preguntar incluso cuando las fórmulas ya le resulten familiares.