Introducción. Un problema que vuelve a aparecer
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Un terreno rectangular tiene veinte metros de perímetro. Si queremos averiguar su área, podemos comenzar dibujando un rectángulo de cuatro metros por seis: su perímetro es veinte y su área, veinticuatro metros cuadrados. El cuadrado de cinco metros de lado cumple la misma condición y ocupa veinticinco metros cuadrados. Las dos construcciones responden al dato disponible; para escoger una necesitamos saber algo más sobre el terreno o formular otra pregunta.
Supongamos que nos interesa obtener el área mayor. La condición del perímetro dice que los dos lados deben sumar diez, de modo que elegir uno de ellos determina el otro. Una elección cercana a cero deja un rectángulo muy estrecho; al acercarnos a cinco obtenemos figuras más equilibradas, y al pasar de cinco volvemos a encontrar las mismas dimensiones intercambiadas. El dibujo sugiere que el cuadrado proporciona el área máxima. Habrá que explicar por qué ningún rectángulo permitido puede superarla.
Este problema podrá acompañarnos en distintos momentos del libro. El álgebra permitirá escribir el área en función de una longitud y transformar su expresión hasta reconocer el máximo. La gráfica mostrará cómo varía el área a medida que cambia el lado elegido. La geometría ayudará a interpretar la simetría de las dimensiones y, cuando lleguemos al umbral del cálculo, podremos estudiar el cambio de esa misma área mediante tasas. Cada regreso hará una pregunta nueva sobre un objeto que ya conocemos.
El capítulo cero prepara la forma de leer esas preguntas. Trabajaremos con ejemplos pequeños para distinguir una solución de una lista completa de soluciones, reconocer el alcance de una afirmación y justificar los pasos de una transformación. Se usarán algunas herramientas escolares que después retomaremos con más amplitud. Cuando una propiedad geométrica se adopte como base, el texto lo indicará y remitirá a los capítulos donde se desarrolla su justificación.
Al estudiar un capítulo puede ayudar llevar un cuaderno junto al libro. Antes de continuar una solución, conviene intentar el paso que se anuncia y conservar lo escrito para compararlo después. Si dos procedimientos dan resultados diferentes, la comparación empieza por las condiciones de uso de cada uno: el signo de una cantidad, un denominador que podría anularse, una unidad o el conjunto al que debe pertenecer la respuesta. Si dan el mismo resultado, todavía podemos preguntar por qué funcionan ambos y cuál hace más visible la estructura del problema.
En el terreno rectangular, la primera decisión fue detener la búsqueda de una cifra única al reconocer que el perímetro admitía varias figuras. Esa observación permitió cambiar la pregunta y buscar un máximo. El trabajo del libro seguirá muchas veces un movimiento semejante: examinar los datos, dar una forma precisa a lo que queremos saber y construir los recursos que permitan responderlo. Para empezar, bastará una igualdad mucho más pequeña.
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