Prefacio
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Quien llega a un problema de matemáticas suele traer consigo una experiencia larga de cuentas, figuras y fórmulas. Ha aprendido a sumar fracciones, a despejar una incógnita o a calcular el área de un triángulo; quizá reconoce un ejercicio y recuerda el procedimiento que le permitió resolver otro parecido. La dificultad aparece cuando cambia una condición, cuando el dibujo admite varias interpretaciones o cuando una respuesta numérica deja sin explicar algo que el enunciado pedía. Este libro quiere acompañar ese momento en que los conocimientos escolares necesitan organizarse para poder usarlos con mayor libertad.
He querido que la explicación conserve algo de una clase en la que hay tiempo para pensar. Un profesor escribe un problema, escucha una respuesta y vuelve sobre ella para averiguar de dónde salió; al hacerlo puede descubrir que hace falta precisar una palabra, recuperar una propiedad o ensayar otra representación. El camino se va construyendo alrededor de lo que se busca. En estas páginas, los cálculos y las definiciones aparecen ligados a preguntas que permiten entender su utilidad, y las soluciones se detienen en las decisiones que un lector que estudia solo necesita poder reconstruir.
La palabra preuniversitaria describe aquí un lugar de encuentro. El libro retoma la aritmética y la geometría escolar mientras prepara el lenguaje de las funciones, de la probabilidad y del cálculo. La continuidad entre esos temas se construye al volver sobre ciertos problemas con herramientas nuevas: una proporción reaparece como pendiente, una ecuación se reconoce en una intersección de gráficas y una suma finita prepara el estudio de una acumulación. El lector podrá reconocer objetos conocidos y descubrir en ellos relaciones que antes no necesitaba formular.
Los problemas resueltos forman parte de ese recorrido. Su lectura puede comenzar con un intento propio, aunque sea breve: un dibujo, unos valores de prueba o una expresión que todavía no sabemos transformar. Tener algo escrito ayuda a reconocer qué decisión aporta la solución y dónde cambió la dirección del razonamiento. Los ejercicios ofrecen después un espacio más amplio para trabajar; sus soluciones desarrolladas permiten revisar tanto el resultado como los pasos que lo sostienen. En ambos casos, volver al enunciado original será una parte habitual del trabajo.
Las tablas de propiedades se sitúan después de las explicaciones que les dan sentido. Servirán para consultar una fórmula o recuperar sus condiciones cuando el argumento ya se haya comprendido. El apéndice reúne fundamentos y demostraciones a los que el texto remite expresamente, de modo que el lector pueda seguir una justificación con más detalle y reconocer qué propiedades se han adoptado como punto de partida. Esta organización permite avanzar por el problema que se está estudiando sin perder la posibilidad de preguntar por sus razones.
Puede ocurrir que una página requiera varios intentos. Una cuenta hecha a mano, una figura que se modifica o una hipótesis que resulta insuficiente dan información para la siguiente lectura. He procurado dejar visibles los lugares donde una elección merece explicación, con la esperanza de que el lector vaya encontrando sus propias maneras de explorar y justificar. El recorrido empieza con una pregunta que admite una comprobación inmediata y que, al examinarla con cuidado, nos invita a seguir pensando.
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