Capítulo 6. Funciones parciales, dominios y extensiones
¿Qué es una función que sólo está definida en una parte de su dominio declarado? ¿Cómo se compone y cuándo admite extensión total? Separaremos la existencia estructural de una aplicación, la elección, la continuidad, la computabilidad y la representabilidad de la indefinición.
Contrato y fuentes. Trabajamos con una categoría \(\mathcal C\) con límites finitos, ya construidos en TF-CAT-004, TF-THM-00023. Usamos monomorfismos TF-DEF-00003, subobjetos TF-DEF-00009, productos TF-AX-00004 y pullbacks TF-AX-00006. La regularidad TF-AX-00008 y el principio opcional de elección regular TF-AX-00009 no son necesarios para formar la categoría de aplicaciones parciales. La comparación con relaciones univaluadas remite a TF-CAT-005, TF-DEF-00018 y TF-THM-00033. Para las extensiones de conjuntos utilizamos ZF clásico, sin AC. Se entiende que el conjunto de clases de spans puede requerir hipótesis de tamaño; donde corresponda escribiremos «colección».
6.1. Dos dominios, no uno
Una escritura como \(f:A\rightharpoonup B\) declara el objeto de argumentos posibles \(A\) y el codominio \(B\); no afirma que \(f\) tenga valor para todo argumento de \(A\). El dominio efectivo de definición será un subobjeto de \(A\). Éste es un dato matemático, no una falla de notación.
Definición 6.1.1 — Aplicación parcial
Una aplicación parcial \(\alpha:A\rightharpoonup B\) está representada por un span
\[A\xleftarrow{\ m\ }D\xrightarrow{\ u\ }B,\qquad m:D\rightarrowtail A\ \text{monomorfismo}.\tag{6.1}\]
Dos spans \((m:D\rightarrowtail A,u:D\to B)\) y \((n:E\rightarrowtail A,v:E\to B)\) representan la misma aplicación parcial si existe un isomorfismo \(i:D\xrightarrow{\sim}E\) con \(n i=m\) y \(v i=u\). En particular, el codominio \(B\) y el objeto declarado \(A\) forman parte de su tipo; el dominio efectivo es el subobjeto \([m]\in\operatorname{Sub}(A)\). No se añade como dato independiente una elección de representantes.
Teorema 6.1.2 — Caracterización por relaciones univaluadas
Las aplicaciones parciales \(A\rightharpoonup B\) corresponden biyectivamente a las relaciones \([r:R\rightarrowtail A\times B]\) cuya primera proyección \(p=\pi_A r:R\to A\) es monomorfismo. Es una correspondencia entre las colecciones de clases de representantes, no una identificación literal de las codificaciones.
Demostración. Dado \((m,u)\), la flecha \(r=\langle m,u\rangle:D\to A\times B\) es monomorfismo: \(r a=r b\) implica \(ma=mb\), de donde \(a=b\). Su primera proyección es \(m\), luego es mono. Recíprocamente, dado \(r\), tomamos \((p,q)\), con \(q=\pi_Br\); \(p\) es mono por hipótesis. Reunir estas dos operaciones recupera los representantes: \(\langle\pi_Ar,\pi_Br\rangle=r\), y \(\pi_A\langle m,u\rangle=m\), \(\pi_B\langle m,u\rangle=u\). Los isomorfismos de spans son exactamente los isomorfismos de representantes relacionales sobre \(A\times B\). \(\square\)
Definición 6.1.3 — Dominio efectivo y totalidad parcial
Definimos \(\operatorname{dom}(\alpha)=[m]\in\operatorname{Sub}(A)\). La aplicación parcial \(\alpha\) es total si \([m]=[1_A]\); equivalentemente, su representante \(m\) es isomorfismo. Esta totalidad no es la noción «la primera proyección es epi regular» de una relación arbitraria: aquí ya sabemos que \(m\) es mono.
Teorema 6.1.4 — Recuperación de las flechas totales
Si \(\alpha\) es total, determina una única flecha \(f:A\to B\), concretamente \(f=u m^{-1}\). Su span representa la misma aplicación parcial que \((1_A,f)\). A la inversa, toda flecha \(f:A\to B\) define una aplicación parcial total por \((1_A,f)\).
Demostración. Como \(m\) es iso, \(u=(u m^{-1})m\), y el isomorfismo \(m:D\to A\) identifica \((m,u)\) con \((1_A,u m^{-1})\). Si dos flechas \(f,g\) producen spans equivalentes \((1_A,f)\) y \((1_A,g)\), el isomorfismo \(i:A\to A\) entre ellos debe satisfacer \(1_Ai=1_A\); entonces \(i=1_A\) y \(f=g\). El recíproco es inmediato. \(\square\)
Toda flecha primitiva \(A\to B\) es una aplicación parcial total, pero una aplicación parcial puede existir sin proporcionar una flecha \(A\to B\). Ésta es la diferencia que preservaremos incluso si \(D\) es vacío en el modelo conjuntista.
6.2. Composición: restringir antes de evaluar
Definición 6.2.1 — Composición de aplicaciones parciales
Dadas \(\alpha=[A\xleftarrow m D\xrightarrow u B]\) y \(\beta=[B\xleftarrow n E\xrightarrow v C]\), formemos un producto fibrado de \(u\) y \(n\):
\[ \begin{array}{ccc} P&\xrightarrow{q}&E\\ \scriptstyle p\downarrow&&\downarrow\scriptstyle n\\ D&\xrightarrow{u}&B. \end{array} \tag{6.2} \]
Definimos \(\beta\circ_{\mathrm{par}}\alpha\) mediante el span
\[A\xleftarrow{\ mp\ }P\xrightarrow{\ vq\ }C.\tag{6.3}\]
La flecha \(p\) es monomorfismo por estabilidad de los monos bajo pullback y, por tanto, también lo es \(mp\). No es necesario tomar una imagen regular: el span ya conserva un dominio univaluado.
Teorema 6.2.2 — La categoría \(\mathbf{Par}(\mathcal C)\)
La composición (6.3) está bien definida sobre las clases de spans, es asociativa y admite identidades \([A\xleftarrow{1_A}A\xrightarrow{1_A}A]\). En consecuencia, los objetos de \(\mathcal C\) y sus aplicaciones parciales forman una categoría \(\mathbf{Par}(\mathcal C)\), con la salvedad habitual sobre tamaños.
Demostración. (i) Un isomorfismo de representantes induce, por la universalidad del pullback, un isomorfismo entre los objetos \(P\) obtenidos; éste conmuta con los dos brazos externos. Por ello la clase compuesta no depende de representantes ni del producto fibrado escogido. (ii) Para tres spans \(A\xleftarrow m D\xrightarrow u B\), \(B\xleftarrow n E\xrightarrow v C\) y \(C\xleftarrow k F\xrightarrow w H\), las dos asociaciones de pullbacks representan el mismo límite de las condiciones \(u(d)=n(e)\) y \(v(e)=k(t)\). La propiedad universal produce un isomorfismo canónico entre los dominios de ambas composiciones, que identifica sus flechas a \(A\) y \(H\). (iii) Componer con \((1_A,1_A)\) forma un pullback de una identidad; el objeto obtenido es canónicamente isomorfo al dominio inicial y sus dos brazos son los originales. Las leyes de categoría siguen. \(\square\)
En \(\mathbf{Set}\), la fórmula de la composición es especialmente transparente:
\[\operatorname{dom}(\beta\circ_{\mathrm{par}}\alpha) =\{a\in D_\alpha:\alpha(a)\in D_\beta\},\qquad (\beta\circ_{\mathrm{par}}\alpha)(a)=\beta(\alpha(a)).\tag{6.4}\]
No confundamos (6.4) con afirmar que la pertenencia al dominio pueda decidirse mediante un algoritmo.
Teorema 6.2.3 — Inclusión fiel de aplicaciones totales
La asignación \(J(f)=[1_A,f]\) define un funtor fiel \(J:\mathcal C\to\mathbf{Par}(\mathcal C)\), identidad sobre los objetos, cuya imagen consiste exactamente en las flechas parciales totales.
Demostración. Las identidades coinciden por definición. El pullback de \(f:A\to B\) por \(1_B:B\to B\) es isomorfo a \(A\), y \(J(g)\circ_{\mathrm{par}}J(f)=J(gf)\). La fidelidad y la caracterización de la imagen son el Teorema 6.1.4. \(\square\)
6.3. Restricción y extensión no son igualdad
Definición 6.3.1 — Orden de extensión
Para aplicaciones parciales paralelas \(\alpha=[m:D\rightarrowtail A,u:D\to B]\) y \(\beta=[n:E\rightarrowtail A,v:E\to B]\), escribimos \(\alpha\preceq\beta\) si existe \(i:D\to E\) tal que \(ni=m\) y \(vi=u\). Así, \(\beta\) coincide con \(\alpha\) donde ésta está definida y puede tener un dominio mayor. El mediador \(i\) es único por la monicidad de \(n\).
Teorema 6.3.2 — Orden y compatibilidad con composición
La relación \(\preceq\) es un orden parcial sobre las clases de aplicaciones parciales \(A\rightharpoonup B\). Además, si \(\alpha\preceq\alpha'\) y \(\beta\preceq\beta'\), con tipos componibles, entonces
\[\beta\circ_{\mathrm{par}}\alpha\preceq\beta'\circ_{\mathrm{par}}\alpha'.\tag{6.5}\]
Demostración. Reflexividad: \(i=1_D\). Transitividad: se componen las factorizaciones. Antisimetría: si \(i:D\to E\) y \(j:E\to D\) atestiguan ambas comparaciones, \(mji=m\) y \(nij=n\); la monicidad de \(m,n\) da \(ji=1_D\) e \(ij=1_E\). Como los valores también se preservan, los spans son isomorfos. Para (6.5), los mediadores \(D\to D'\) y \(E\to E'\) inducen por universalidad una flecha entre los pullbacks de (6.2). El compuesto con los brazos a \(A\) y al codominio final coincide; por la monicidad del brazo del span mayor, el mediador exhibe precisamente la relación de extensión. \(\square\)
Definición 6.3.3 — Idempotente de dominio
Para \(\alpha=[m:D\rightarrowtail A,u:D\to B]\) definimos la aplicación parcial de dominio \(\overline\alpha=[m:D\rightarrowtail A,m:D\to A]\), de \(A\) en \(A\). Coincide con la identidad sobre el dominio efectivo y queda indefinida fuera de él. La fórmula no depende del representante escogido.
Teorema 6.3.4 — Leyes de la restricción
Para cada aplicación parcial \(\alpha:A\rightharpoonup B\) se cumplen
\[\overline\alpha\circ_{\mathrm{par}}\overline\alpha=\overline\alpha, \qquad \alpha\circ_{\mathrm{par}}\overline\alpha=\alpha.\tag{6.6}\]
Además, \(\alpha\) es total si y sólo si \(\overline\alpha=1_A\); y, para \(\alpha,\beta:A\rightharpoonup B\),
\[\alpha\preceq\beta\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha=\beta\circ_{\mathrm{par}}\overline\alpha.\tag{6.7}\]
Demostración. El pullback de \(m\) consigo mismo tiene una diagonal \(D\to D\times_AD\) que es isomorfismo: para dos flechas hacia \(D\) con igual composición por \(m\), la monicidad las iguala. Por ello componer \([m,m]\) consigo misma recupera \([m,m]\) y componer \([m,u]\) con \([m,m]\) recupera \([m,u]\). La igualdad \([m,m]=[1_A,1_A]\) equivale a que \(m\) sea isomorfismo. Si \(\alpha\preceq\beta\), la composición a la derecha de \(\beta\) por \(\overline\alpha\) restringe el dominio de \(\beta\) al de \(\alpha\); la inclusión de dominios y la coincidencia de valores la identifican con \(\alpha\). Recíprocamente, la igualdad de la derecha de (6.7) identifica \(\alpha\) con una restricción de \(\beta\), por lo que produce un mediador \(D_\alpha\to D_\beta\) que preserva el valor. \(\square\)
Estas leyes explican por qué en una categoría de restricción puede manejarse la parcialidad mediante operadores algebraicos. No adoptamos aquí todos sus axiomas abstractos: hemos construido su ejemplo estándar desde spans.
6.4. ¿Se puede extender toda función parcial?
Definición 6.4.1 — Objeto inyectivo respecto de monomorfismos
Un objeto \(B\) es inyectivo (respecto de todos los monomorfismos de \(\mathcal C\)) si, para cualquier mono \(m:D\rightarrowtail A\) y cualquier \(u:D\to B\), existe \(F:A\to B\) con \(Fm=u\). Esto no afirma que \(F\) sea único ni computable. Es una propiedad de \(B\) relativa a la categoría y a la clase de monomorfismos adoptada.
Teorema 6.4.2 — Caracterización mediante aplicaciones parciales
Un objeto \(B\) es inyectivo respecto de los monomorfismos si y sólo si toda aplicación parcial \(\alpha:A\rightharpoonup B\) admite una extensión total \(J(F)\), es decir, \(\alpha\preceq J(F)\) para alguna flecha \(F:A\to B\).
Demostración. Para \(\alpha=[m,u]\), la condición \(\alpha\preceq[1_A,F]\) exige un mediador \(i:D\to A\) con \(1_Ai=m\) y \(Fi=u\). Necesariamente \(i=m\); queda exactamente \(Fm=u\). La definición de inyectividad cuantifica sobre todos los pares \((m,u)\), de modo que ambas afirmaciones equivalen. \(\square\)
Teorema 6.4.3 — Criterio exacto de extensión en ZF
En ZF con lógica clásica, sean \(D\subseteq A\), \(B\) un conjunto y \(u:D\to B\). Existe una extensión total \(F:A\to B\) si y sólo si
\[A\setminus D=\varnothing\quad\text{o bien}\quad B\ne\varnothing.\tag{6.8}\]
En particular, si \(B\) es habitado, toda función parcial con codominio \(B\) se extiende, sin AC.
Demostración. Si \(A\setminus D=\varnothing\), entonces \(D=A\) y sirve \(F=u\). Si \(B\ne\varnothing\), tomemos un solo \(b_0\in B\) y definamos por separación en \(A\times B\)
\[F(a)=\begin{cases}u(a),&a\in D,\\b_0,&a\in A\setminus D.\end{cases}\tag{6.9}\]
El tercero excluido garantiza la partición de casos, y la gráfica es un conjunto definido mediante los datos \(A,D,B,u,b_0\). Existencia y unicidad de valor son inmediatas. Ninguna familia de conjuntos no vacíos debe elegirse: \(b_0\) es un único testigo fijo. Recíprocamente, si existe \(F:A\to B\) y \(A\setminus D\ne\varnothing\), tomamos \(a_0\in A\setminus D\); entonces \(F(a_0)\in B\), así que \(B\ne\varnothing\). \(\square\)
La frase informal «extender todas las funciones parciales exige elección» es falsa si se entiende como el Teorema 6.4.3 para un codominio fijo habitado. En ZF se demuestra ese teorema sin AC. La elección puede aparecer cuando la extensión está sujeta a restricciones variables o cuando se requiere elegir simultáneamente valores o extensiones en muchas familias; no debe confundirse con la sola prolongación no restringida.
Teorema 6.4.4 — Objetos inyectivos de \(\mathbf{Set}\)
En ZF clásico, un conjunto \(B\) es inyectivo respecto de todas las inclusiones (equivalentemente, todos los monomorfismos de \(\mathbf{Set}\)) si y sólo si \(B\ne\varnothing\).
Demostración. Si \(B\) está habitado, el teorema anterior extiende toda función en un subconjunto \(D\subseteq A\). Para un mono abstracto \(m:D\rightarrowtail A\), su imagen identifica \(D\) biyectivamente con un subconjunto de \(A\), y la misma extensión produce \(F\) con \(Fm=u\). Si \(B=\varnothing\), tomemos el mono \(\varnothing\rightarrowtail\{*\}\) y la única flecha \(\varnothing\to\varnothing\). No puede existir \(\{*\}\to\varnothing\). Por tanto el vacío no es inyectivo. \(\square\)
Teorema 6.4.5 — Extensiones sujetas a valores permitidos y elección
Sobre ZF clásico, el siguiente principio es equivalente al axioma de elección: para toda relación total \(R\subseteq A\times B\) y toda función parcial \(u:D\to B\) con \(D\subseteq A\) cuya gráfica esté contenida en \(R\), existe una extensión total \(F:A\to B\) que satisface simultáneamente \(F|_D=u\) y \(\operatorname{graph}(F)\subseteq R\).
Demostración. Supongamos AC. Para \(a\in A\setminus D\) las fibras \(R_a=\{b\in B:(a,b)\in R\}\) son conjuntos no vacíos; AC permite elegir \(c(a)\in R_a\) para toda la familia. Definimos \(F(a)=u(a)\) en \(D\) y \(F(a)=c(a)\) fuera de \(D\). Es una función total que satisface ambas restricciones. Recíprocamente, dado \(R\) total, aplicamos el principio a \(D=\varnothing\) y a la única función \(u:\varnothing\to B\); obtenemos una función selectora total de \(R\). El Teorema 5.3.2, TF-THM-00038, demuestra que esto implica AC. \(\square\)
Obsérvese la diferencia: el Teorema 6.4.3 fija el mismo valor \(b_0\) fuera del dominio, mientras que el Teorema 6.4.5 exige que \(F(a)\) pertenezca a una fibra \(R_a\) que puede variar con \(a\).
6.5. Contraejemplos: estructura y efectividad
Contraejemplo 6.5.1 — La continuidad puede impedir la extensión
En \(\mathbf{Top}\), consideremos \(A=\mathbb R\), \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\) con su topología de subespacio y \(B=\{0,1\}\) discreto. La aplicación \(u:D\to B\) dada por \(u(x)=0\) si \(x<0\) y \(u(x)=1\) si \(x>0\) es continua: las preimágenes de \(\{0\}\) y \(\{1\}\) son abiertas en \(D\). La inclusión \(D\hookrightarrow A\) es mono. Si hubiese extensión continua \(F:\mathbb R\to B\), la continuidad en \(0\) forzaría, por la sucesión \(-1/n\to0\), \(F(0)=0\), y por \(1/n\to0\), \(F(0)=1\), contradicción. (Equivalente: la imagen continua de un espacio conexo en un discreto es un punto.) Existe una extensión como función de conjuntos, por ejemplo poniendo \(F(0)=0\), pero no como flecha de \(\mathbf{Top}\). No interviene aquí ninguna cuestión de AC.
Contraejemplo 6.5.2 — Una función parcial computable sin extensión total computable
Fijemos una enumeración estándar \(\varphi_e\) de todas las funciones parciales computables \(\mathbb N\rightharpoonup\mathbb N\). Definamos
\[d(e)=\varphi_e(e)+1\quad\text{si }\varphi_e(e)\downarrow,\qquad d(e)\uparrow\text{ en caso contrario}.\tag{6.10}\]
La función \(d\) es parcialmente computable: simula \(\varphi_e(e)\) y, si termina, suma uno. Supongamos que una función total computable \(F:\mathbb N\to\mathbb N\) prolonga \(d\). Como \(F\) es total computable, hay un índice \(k\) con \(F=\varphi_k\); en particular \(\varphi_k(k)\downarrow\). La definición (6.10) da \(d(k)=\varphi_k(k)+1=F(k)+1\), mientras que la extensión exige \(F(k)=d(k)\). Se seguiría \(F(k)=F(k)+1\), contradicción. Por el Teorema 6.4.3 existe, sin embargo, una prolongación conjuntista de \(d\) (por ejemplo, asignando cero fuera de su dominio). No es computable. Además, si el dominio de \(d\) fuera decidible, podríamos decidir si ejecutar la simulación que calcula \(d(e)\) o devolver cero, obteniendo una extensión total computable; esto contradice lo probado. Por tanto el dominio es semidecidible, pero no decidible.
La construcción de spans (TF-DEF-00021, TF-DEF-00023) precede a la codificación conjuntista clásica de esta sección (TF-THM-00051). El capítulo 8 exige y construye un clasificador universal \(L(B)\) bajo hipótesis de topos (TF-THM-00062), y el capítulo 14 comprueba la composición de funciones etiquetadas mediante la operación de Kleisli (TF-DEF-00061, TF-THM-00110). La biyección de conjuntos no debe interpretarse como universalidad en toda categoría ni como compatibilidad con la composición ordinaria. Mapa del recorrido.
6.6. Codificar indefinición mediante un valor adicional
Teorema 6.6.1 — Clasificador de funciones parciales en \(\mathbf{Set}\)
En ZF clásico, fijemos un singleton etiquetado \(\{\bot\}\) disjunto de \(B\) y la suma disjunta \(B_\bot=B\sqcup\{\bot\}\). Existe una biyección natural en \(A\)
\[\operatorname{Par}_{\mathbf{Set}}(A,B)\ \cong\ \operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(A,B_\bot).\tag{6.11}\]
Demostración. A partir de \((D\subseteq A,u:D\to B)\), definimos \(\widehat u:A\to B_\bot\) mediante \(\widehat u(a)=\operatorname{inl}(u(a))\) si \(a\in D\) y \(\widehat u(a)=\operatorname{inr}(\bot)\) si \(a\notin D\). La lógica clásica justifica esta definición por casos y separación forma su gráfica. En sentido inverso, dada \(h:A\to B_\bot\), tomemos \(D=h^{-1}(\operatorname{inl}(B))\) y \(u(a)=\operatorname{inl}^{-1}(h(a))\) para \(a\in D\). Las dos operaciones son inversas por extensionalidad de conjuntos. La naturalidad contravariante en \(A\) es inmediata: restringir una función parcial por \(g:A'\to A\) produce dominio \(g^{-1}(D)\) y corresponde a \(\widehat u\circ g\). No se usa AC. \(\square\)
Frontera categórica. La fórmula \(B_\bot=B\sqcup1\) no clasifica automáticamente todas las aplicaciones parciales de una categoría con coproductos. Para eso se requieren condiciones que conviertan todo subobjeto de dominio en una descomposición complementaria; funciona, por ejemplo, en categorías booleanas extensivas, incluyendo topoi booleanos. Los topoi elementales también poseen clasificadores de aplicaciones parciales bajo sus hipótesis propias, pero no se identifican en general con \(B\sqcup1\). No postulamos esos resultados como consecuencias de los axiomas TF-AX-00001–TF-AX-00009; su estudio queda reservado para la reconstrucción de la lógica interna.
6.7. Ejemplos y lectura guiada
Ejemplo 6.7.1 — El recíproco, dominio y regularidad
La regla \(u(x)=1/x\) determina una función parcial \(\mathbb R\rightharpoonup\mathbb R\) con dominio efectivo \(D=\mathbb R\setminus\{0\}\). Se puede prolongar como función conjuntista dando cualquier valor a \(0\). No existe prolongación continua \(\mathbb R\to\mathbb R\): si \(F(0)=c\), la continuidad en cero haría que \(F(1/n)=n\) tendiese a \(c\), lo cual es imposible. Aquí la obstrucción no es falta de elección ni de valor disponible; es el requisito topológico.
Ejemplo 6.7.2 — La función vacía y el codominio vacío
En \(\mathbf{Set}\) existe para todo par de conjuntos \(A,B\) una única función parcial con dominio efectivo vacío: \(\varnothing\to B\), representada por \(A\xleftarrow{}\varnothing\to B\). Para \(B=\varnothing\) y \(A\ne\varnothing\), esta aplicación parcial existe, pero no tiene extensión total \(A\to\varnothing\). Si \(A=\varnothing\) sí es ya total. Así, «la función parcial existe» no implica «existe una función total de su tipo».
- En el Teorema 6.2.2, escriba los dos objetos de testigos correspondientes a la asociación izquierda y derecha de tres aplicaciones parciales y construya su isomorfismo por universalidad. 2. Muestre que \(\operatorname{dom}(\alpha)\) puede ser un subobjeto no complementado en una categoría no booleana; explique por qué una fórmula por casos no es automática. 3. Localice la única elección de un elemento fijo en el Teorema 6.4.3 y compárela con la familia de elecciones del 6.4.5. 4. Explique por qué los contraejemplos 6.5.1 y 6.5.2 no contradicen el Teorema 6.4.3. 5. Reconstruya la representación de la función vacía por un span incluso cuando su codominio también sea vacío.
6.8. Auditoría fundacional y pedagógica
| Pregunta | Dictamen del capítulo |
|---|---|
| Hipótesis categóricas | Límites finitos y todos los monomorfismos como dominios admisibles. No se emplean regularidad, clasificador \(\Omega\) ni exponenciales para formar \(\mathbf{Par}(\mathcal C)\). |
| Conceptos separados | Dominio declarado \(A\), dominio efectivo \([m]\), codominio \(B\), gráfica relacional, flecha total, extensión por coincidencia. |
| Elección | Extensión no restringida hacia un conjunto habitado demostrable en ZF sin AC. El principio de extensión restringida a relaciones totales arbitrarias equivale a AC. |
| Lógica | Construcciones categóricas por universalidad; definición conjuntista por casos usa lógica clásica. |
| Testigos | Composición y dominios de restricción canónicos hasta isomorfismo; extensión libre usa un único \(b_0\); existencia abstracta de selector de relación requiere hipótesis expresa. |
| Efectividad | Existencia de extensión conjuntista no implica computabilidad, ni la pertenencia al dominio es decidible. Si \(D\) es decidible, \(u\) computable allí y se conoce \(b_0\) computable, la extensión por casos puede calcularse; estas condiciones no se suponen en general. |
| Continuidad | La extensión debe ser una flecha de la categoría elegida: un conjunto de valores seleccionado arbitrariamente puede romper continuidad. |
| Tamaño | Los spans hasta isomorfismo pueden formar colecciones propias salvo hipótesis sobre clases de subobjetos; la formulación no confunde colecciones con objetos internos. |
| Verificación | Pruebas revisadas manualmente, registro y grafo actualizados tras cierre; sin Lean ni publicación web. |
6.9. Fuentes y originalidad
Las categorías de aplicaciones parciales y sus operadores de restricción son construcciones establecidas; no se reivindica su descubrimiento. Nuestra aportación editorial es el cotejo axiomático y la distinción precisa entre extensión libre, selección sujeta a fibras, continuidad y computabilidad. Fuentes consultadas: nLab, partial function, para spans monomórficos, orden y suma disjunta; nLab, partial map classifier, para la representación y su alcance booleano; Chapman et al., Formalizing Restriction Categories, §2.1, para composición por pullbacks y el idempotente de dominio; Herbert B. Enderton, Computability Theory: An Introduction to Recursion Theory (Academic Press, 2011), cap. 3, p. 67, para la obstrucción diagonal a la extensión total computable. Se preservan las distinciones y el principio de elección del capítulo precedente, no se extrapolan a una categoría arbitraria sin nuevas hipótesis.
Síntesis. Se reconstruyó una categoría de aplicaciones parciales sin imágenes ni elección, se caracterizó la extensión total como una propiedad de inyectividad del codominio y se demostró que toda aplicación parcial en conjuntos hacia un codominio habitado se prolonga sin AC. Los obstáculos topológicos y computacionales son independientes de ese hecho conjuntista.