Capítulo 7. Restricciones, predicados de definición y lógica interna
¿Cómo expresar «esta aplicación parcial está definida en este argumento» sin transformarla en una función total ni suponer que podemos decidir su dominio? ¿Qué añade el clasificador de subobjetos y qué lógica admite una categoría que lo posee?
Contrato y procedencia. Retomamos los spans con brazo monomórfico, el dominio efectivo, su orden de extensión y la composición por producto fibrado del capítulo 6; las gráficas, subobjetos y características del capítulo 3; y las imágenes del capítulo 4. Se distinguen tres paquetes no intercambiables: (F) límites finitos, suficientes para restricciones y dominios; (C) un clasificador de subobjetos, requerido para características hacia \(\Omega\); (R) regularidad, requerida para imágenes existenciales. Para enunciar lógica interna de Heyting empleamos explícitamente la combinación de límites finitos, exponenciales y clasificador: un topos elemental. Ninguna parte de (C) o (R) se atribuye automáticamente a (F). No asumimos elección ni decidibilidad.
7.1. El predicado de definición como una flecha
Consideremos \(\alpha:A\rightharpoonup B\) representada por \(A\xleftarrow{m}D\xrightarrow{u}B\), con \(m\) mono. Hay que distinguir el subobjeto \([m]\) de una fórmula o un algoritmo para reconocer sus elementos. El clasificador permite pasar del primero a una flecha lógica, no a un programa.
Definición 7.1.1 — Predicado característico del dominio
Bajo el axioma del clasificador de subobjetos, definimos el predicado de definición de \(\alpha\) como la única flecha \(\delta_\alpha:A\to\Omega\) cuyo pullback de \(\mathsf{true}:1\rightarrowtail\Omega\) es \(m:D\rightarrowtail A\):
\[ \begin{array}{ccc} D&\longrightarrow&1\\ \scriptstyle m\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\mathsf{true}\\ A&\xrightarrow{\delta_\alpha}&\Omega. \end{array} \tag{7.1} \]
La flecha \(\delta_\alpha\) depende sólo de la clase del dominio \([m]\), y no contiene información sobre los valores de \(u\). En ausencia de clasificador sigue existiendo \([m]\); sólo deja de estar garantizada su representación mediante \(A\to\Omega\).
Teorema 7.1.2 — Verdad parametrizada y equivalencia de dominios
Para toda flecha \(x:X\to A\), son equivalentes: (i) \(x\) factoriza por \(m\); (ii) \(\delta_\alpha x=\mathsf{true}\,!_X\). Para aplicaciones parciales paralelas \(\alpha,\beta\) se cumple
\[\delta_\alpha=\delta_\beta\quad\Longleftrightarrow\quad\operatorname{dom}(\alpha)=\operatorname{dom}(\beta).\tag{7.2}\]
Demostración. Por la propiedad universal del cuadrado (7.1), dar \(\widetilde x:X\to D\) con \(m\widetilde x=x\) equivale a dar una flecha \(X\to1\) —necesariamente \(!_X\)— que hace conmutar las dos composiciones a \(\Omega\). Esto prueba (i)\(\Leftrightarrow\)(ii). La biyección entre subobjetos de \(A\) y flechas \(A\to\Omega\), establecida en el Teorema 3.3.2, prueba (7.2). \(\square\)
La fórmula \(\delta_\alpha x=\mathsf{true}\,!_X\) se refiere a elementos generalizados \(x:X\to A\), no sólo a puntos \(1\to A\). Así no reintroduce inadvertidamente el axioma «\(1\) es generador» que el capítulo 2 mostró que puede fallar.
7.2. Restricción y composición: primero el dominio, luego el valor
Definición 7.2.1 — Restricción a un subobjeto
Dada una aplicación parcial \(\alpha=[m:D\rightarrowtail A,u:D\to B]\) y un subobjeto \(q:Q\rightarrowtail A\), formamos el pullback
\[P=D\times_A Q,\qquad p:P\to D,\quad r:P\to Q,\quad mp=qr.\]
La restricción de \(\alpha\) por \(q\), escrita \(\alpha\upharpoonright q\), es el span \(A\xleftarrow{qr}P\xrightarrow{up}B\). Su dominio es \([m]\wedge[q]\), la intersección por pullback. Conservamos el dominio declarado \(A\). La notación \(\alpha|_Q:Q\rightharpoonup B\) designaría en cambio la aplicación parcial tipada sobre \(Q\), representada por \((r,up)\): son flechas con tipos diferentes.
Teorema 7.2.2 — Leyes de restricción y maximalidad
Si \(q:Q\rightarrowtail A\) y \(s:S\rightarrowtail A\), entonces, como aplicaciones parciales de \(A\) en \(B\),
\[\operatorname{dom}(\alpha\upharpoonright q)=[m]\wedge[q],\qquad (\alpha\upharpoonright q)\upharpoonright s =\alpha\upharpoonright(q\wedge s).\tag{7.3}\]
Además \(\alpha\upharpoonright q\preceq\alpha\), y \(\alpha\upharpoonright q\) es la mayor, según \(\preceq\), entre las aplicaciones \(\gamma\preceq\alpha\) cuyo dominio satisface \(\operatorname{dom}(\gamma)\le[q]\).
Demostración. La primera igualdad es la definición del encuentro de subobjetos como pullback (Teorema 3.2.5). Los dominios de las dos restricciones sucesivas y de la restricción por el encuentro son límites de los mismos tres monos \(m,q,s\) sobre \(A\): la universalidad de los productos fibrados proporciona un isomorfismo compatible con el valor \(u\), de modo que representan el mismo span. El mediador \(p:P\to D\) prueba \(\alpha\upharpoonright q\preceq\alpha\). Para la maximalidad, si \(\gamma=[k:K\rightarrowtail A,w]\) y \(\gamma\preceq\alpha\), hay \(i:K\to D\) con \(mi=k\) y \(ui=w\); la inclusión \([k]\le[q]\) proporciona \(j:K\to Q\) con \(qj=k\). El par \((i,j)\) induce una única flecha \(K\to P\) que factoriza el dominio y preserva el valor. Por ello \(\gamma\preceq\alpha\upharpoonright q\). \(\square\)
Teorema 7.2.3 — Dominio exacto de una composición parcial
Sean \(\alpha=[A\xleftarrow m D\xrightarrow u B]\) y \(\beta=[B\xleftarrow n E\xrightarrow v C]\). Si \(p:P=D\times_B E\to D\) es el pullback de \(n\) por \(u\), entonces
\[\operatorname{dom}(\beta\circ_{\mathrm{par}}\alpha) =[mp]=m_!\bigl(u^*[n]\bigr),\tag{7.4}\]
donde \(m_!\) significa composición de monomorfismos \([p]\mapsto[mp]\) en los subobjetos de \(A\); no designa aquí el operador de imagen regular, cuya existencia no se necesita. Bajo el clasificador,
\[\delta_{\beta\circ_{\mathrm{par}}\alpha}=\chi_{mp}.\tag{7.5}\]
Demostración. Por el Teorema 6.2.1 el span compuesto tiene brazo de dominio \(mp:P\to A\). Como \(p\) es pullback de un mono, es mono; su compuesto con \(m\) también. La preimagen \(u^*[n]\) está representada por \(p\), y la composición de ese mono con \(m\) representa precisamente el subobjeto \([mp]\). Su característica única es \(\chi_{mp}\). \(\square\)
Advertencia de tipado. La heurística \(\delta_\alpha(a)\land\delta_\beta(\alpha(a))\) es válida bajo la condición previa de que \(\alpha(a)\) esté definido. No es una composición ordinaria \(\delta_\beta\circ\alpha\) en \(\mathcal C\), pues \(\alpha\) no es una flecha total \(A\to B\). El pullback de (7.4) formaliza exactamente la condición de evaluación legítima.
Teorema 7.2.4 — Sustitución por una aplicación total
Para \(t:X\to A\) total y \(\alpha:A\rightharpoonup B\), el dominio de \(\alpha\circ_{\mathrm{par}}J(t)\) es \(t^*\operatorname{dom}(\alpha)\). Si existe clasificador,
\[\delta_{\alpha\circ_{\mathrm{par}}J(t)}=\delta_\alpha\circ t.\tag{7.6}\]
Demostración. La composición con \(J(t)=[1_X,t]\) se define por el pullback de \(m\) a lo largo de \(t\). Por definición, su mono de dominio representa \(t^*[m]\). La naturalidad de los clasificadores, Teorema 3.3.3, identifica su característica con \(\chi_m t=\delta_\alpha t\). \(\square\)
7.3. Igualdad de valores y conjunción de predicados
Definición 7.3.1 — Predicado de coincidencia
Para dos flechas totales \(f,g:X\to B\), su igualador \(e:\operatorname{Eq}(f,g)\rightarrowtail X\) se obtiene como pullback de la diagonal \(\Delta_B:B\rightarrowtail B\times B\) a lo largo de \(\langle f,g\rangle\). Con clasificador, la característica \(\epsilon_{f,g}=\chi_e:X\to\Omega\) es el predicado de coincidencia. Su construcción sólo usa límites finitos; \(\Omega\) sólo se requiere para expresarlo como característica.
Teorema 7.3.2 — Igualdad de aplicaciones parciales por dominio y valores
Para aplicaciones parciales paralelas \(\alpha=[m:D\rightarrowtail A,u]\) y \(\beta=[n:E\rightarrowtail A,v]\), formemos \(I=D\times_A E\), con \(p:I\to D\) y \(q:I\to E\), y el igualador \(k:K\rightarrowtail I\) de \(up\) y \(vq\). Entonces
\[\alpha=\beta\quad\Longleftrightarrow\quad [m]=[n]\ \text{y}\ [k]=[1_I].\tag{7.7}\]
Cuando hay clasificador, la primera condición equivale a \(\delta_\alpha=\delta_\beta\); la segunda, a \(\epsilon_{up,vq}=\mathsf{true}\,!_I\).
Demostración. Si los spans son equivalentes mediante \(i:D\xrightarrow{\sim}E\), el isomorfismo del pullback identifica \(I\) con \(D\), y \(up=vq\) porque \(u=vi\). Su igualador es la identidad salvo isomorfismo. A la inversa, la igualdad \([m]=[n]\) determina un isomorfismo \(i:D\xrightarrow{\sim}E\) con \(ni=m\); bajo el isomorfismo \(I\cong D\) inducido por \((1_D,i)\), la hipótesis \([k]=[1_I]\) implica \(u=vi\). Luego los spans son equivalentes. Las dos equivalencias con características proceden de la clasificación y de que el igualador es maximal exactamente cuando sus dos flechas coinciden. \(\square\)
Teorema 7.3.3 — La conjunción clasifica la intersección
Bajo el clasificador, existe una flecha canónica \(\wedge:\Omega\times\Omega\to\Omega\) tal que, para monos \(m:D\rightarrowtail A\) y \(n:E\rightarrowtail A\),
\[\chi_{[m]\wedge[n]}=\wedge\,\langle\chi_m,\chi_n\rangle.\tag{7.8}\]
Demostración. En \(\Omega\times\Omega\), tomemos las preimágenes \(S_1=\pi_1^*[\mathsf{true}]\) y \(S_2=\pi_2^*[\mathsf{true}]\), y formemos su intersección \(S=S_1\wedge S_2\) por pullback. Definimos \(\wedge=\chi_S\). La preimagen de \(S\) por \(\langle\chi_m,\chi_n\rangle\) es la intersección de las preimágenes de \(\mathsf{true}\) por cada característica, es decir \([m]\wedge[n]\). Por unicidad del clasificador, la flecha que lo clasifica es la de (7.8). \(\square\)
No se ha supuesto aquí la ley del tercero excluido: la conjunción sólo emplea intersecciones y universalidad. Tampoco se deduce de esta flecha que toda característica adopte exclusivamente dos valores globales.
7.4. Existencia y proyección: lo que añade la regularidad
Definición 7.4.1 — Interpretación existencial por imagen
En una categoría regular y para \(t:X\to Y\), la operación \(\exists_t:\operatorname{Sub}(X)\to\operatorname{Sub}(Y)\) envía \([s:S\rightarrowtail X]\) a la imagen regular de \(ts:S\to Y\). El Teorema 4.4.2 ya demostró que \(\exists_t\dashv t^*\): no lo renumeramos ni lo presentamos como teorema nuevo. La lectura lógica de \(\exists_t\) es «existe un testigo en la fibra de \(t\)»; no proporciona automáticamente una sección o selector.
Teorema 7.4.2 — Cuantificación existencial sucesiva
Si \(X\xrightarrow{t}Y\xrightarrow{s}Z\) son flechas de una categoría regular, entonces
\[\exists_{st}=\exists_s\circ\exists_t:\operatorname{Sub}(X)\to\operatorname{Sub}(Z).\tag{7.9}\]
Demostración. Para subobjetos \(U\in\operatorname{Sub}(X)\) y \(W\in\operatorname{Sub}(Z)\), usamos dos veces la adjunción de imagen/preimagen:
\[\exists_s\exists_t(U)\le W \Longleftrightarrow\exists_t(U)\le s^*(W) \Longleftrightarrow U\le t^*s^*(W) \Longleftrightarrow U\le(st)^*(W) \Longleftrightarrow\exists_{st}(U)\le W.\]
Antisimetría en el orden de subobjetos da (7.9). No elegimos un testigo para cada fibra. \(\square\)
Teorema 7.4.3 — El dominio es la proyección existencial de la gráfica
Si \(\mathcal C\) es regular y \(\alpha=[m:D\rightarrowtail A,u:D\to B]\), entonces, con \(r=\langle m,u\rangle:D\rightarrowtail A\times B\),
\[\exists_{\pi_A}([r])=[m]=\operatorname{dom}(\alpha).\tag{7.10}\]
Demostración. La imagen que define el lado izquierdo es la de \(\pi_A r=m\). Como \(m\) ya es monomorfismo, su factorización imagen puede tomarse como \(D\xrightarrow{1_D}D\xrightarrow m A\), y la unicidad de las imágenes identifica su subobjeto con \([m]\). La prueba no usa elección y tampoco afirma que cada argumento de \(A\) tenga valor. \(\square\)
Teorema 7.4.4 — Totalidad y comparación lógica de dominios
Bajo clasificador, \(\alpha\) es total si y sólo si \(\delta_\alpha=\mathsf{true}\,!_A\). Si \(\alpha\preceq\beta\), entonces \(\operatorname{dom}(\alpha)\le\operatorname{dom}(\beta)\), pero la recíproca es falsa: dos funciones totales distintas \(A\to B\) poseen el mismo predicado de definición y ninguna extiende a la otra como función parcial.
Demostración. Totalidad equivale a \([m]=[1_A]\) por la Definición 6.1.3, y sus características son iguales por el Teorema 7.1.2. Si \(\alpha\preceq\beta\), el mediador de la Definición 6.3.1 factoriza el mono de dominio de \(\alpha\) por el de \(\beta\), luego hay inclusión de subobjetos. Para el contraejemplo interno, en \(\mathbf{Set}\) tomemos \(A=\{*\}\) y \(B=\{0,1\}\), con funciones \(f(*)=0\) y \(g(*)=1\): sus dominios son ambos \(A\), pero los spans \([1_A,f]\) y \([1_A,g]\) no están relacionados por extensión salvo igualdad, que no se cumple. \(\square\)
7.5. La lógica interna no es automáticamente clásica
Definición 7.5.1 — Complementación y decidibilidad interna de un dominio
En un topos elemental (límites finitos, exponenciales y clasificador), los órdenes \(\operatorname{Sub}(A)\) poseen estructura de álgebras de Heyting. Escribimos \(\neg U\) para el pseudocomplemento del subobjeto \(U\); \(U\) se denomina complementado o decidible en la lógica interna si \(U\vee\neg U=\top_A\). Equivalentemente, existe un subobjeto complementario \(V\) con \(U\wedge V=\bot_A\) y \(U\vee V=\top_A\). Esta equivalencia corresponde a las leyes de las álgebras de Heyting; la existencia general de la estructura de Heyting es un resultado estándar de teoría de topoi usado con el paquete de topos explícito, no una deducción de los límites finitos solos.
Precisión fundacional. «Decidible en lógica interna» significa que se demuestra una disyunción interna. No afirma sin datos adicionales que podamos escribir un algoritmo externo que, dada una representación de cualquier elemento, termine y devuelva sí o no. Tampoco se debe reemplazar \(\Omega\) por el conjunto externo \(\{0,1\}\) en un topos arbitrario. La construcción plena de \(\Rightarrow,\forall\) y los clasificadores de aplicaciones parciales se reserva al capítulo siguiente.
Contraejemplo 7.5.2 — Un topos con un subobjeto no complementado
Sea \(\mathcal E=\mathbf{Set}^{\mathbf 2}\), donde \(\mathbf 2\) es la categoría \(0\to1\). Un objeto de \(\mathcal E\) es una flecha de conjuntos \(X_0\to X_1\) y una flecha entre tales objetos es un cuadrado conmutativo. Es un topos elemental: caso particular del hecho establecido de que las categorías de funtores \(\mathbf{Set}^{\mathcal I}\) para \(\mathcal I\) pequeña son topoi. El terminal \(T\) es el diagrama \(\{*\}\xrightarrow{1}\{*\}\). Los subobjetos de \(T\) son exactamente
\[\bot=(\varnothing\to\varnothing),\qquad U=(\varnothing\to\{*\}),\qquad \top=(\{*\}\to\{*\}),\]
porque una subtransformación debe respetar la flecha \(0\to1\). Forman una cadena estricta \(\bot<U<\top\). El único subobjeto cuya intersección con \(U\) es \(\bot\) es \(\bot\) mismo, pero \(U\vee\bot=U\ne\top\). Por tanto \(U\) no tiene complemento; \(\neg U=\bot\) y \(U\vee\neg U\ne\top\). Un clasificador de subobjetos puede existir sin que los predicados sean bivalentes o estén complementados. \(\square\)
Ejemplo 7.5.3 — Una característica conjuntista no decide el problema de parada
En \(\mathbf{Set}\) clásico, el dominio \(H=\{e\in\mathbb N:\varphi_e(e)\downarrow\}\) de la función diagonal parcial del Contraejemplo 6.5.2 tiene característica conjuntista \(\chi_H:\mathbb N\to\{0,1\}\), por separación y clasificación de subobjetos. Sin embargo, la demostración diagonal del capítulo anterior muestra que \(H\) no es decidible. En una presentación computacional de \(\mathbb N\), \(\chi_H\) no es una función computable. La existencia del morfismo como función de conjuntos y su realizabilidad algorítmica son afirmaciones diferentes.
Ejemplo 7.5.4 — Dominio, restricción y composición finitos
En \(\mathbf{Set}\), sea \(A=\{0,1,2\}\), \(B=\{a,b\}\), \(C=\{c\}\). Definimos \(\alpha:A\rightharpoonup B\) por \(\alpha(0)=a\), \(\alpha(2)=b\) y sin valor en \(1\). Definimos \(\beta:B\rightharpoonup C\) sólo en \(\{b\}\), con \(\beta(b)=c\). Entonces \(\operatorname{dom}(\alpha)=\{0,2\}\), \(\operatorname{dom}(\beta)=\{b\}\) y \(\operatorname{dom}(\beta\alpha)=\{2\}\); la composición vale \(c\) en \(2\). Si restringimos \(\alpha\) por \(Q=\{0,1\}\), su dominio pasa a ser \(\{0\}\) y el valor sigue siendo \(a\). Las características indican exactamente la pertenencia a estos subconjuntos; aquí pueden tabularse por tratarse de conjuntos finitos presentados explícitamente.
- En el Teorema 7.2.2, identifique el mediador universal que prueba la maximalidad. 2. Explique por qué \(\delta_\alpha=\delta_\beta\) no basta para concluir \(\alpha=\beta\). 3. Verifique las cuatro equivalencias de la prueba de cuantificación sucesiva. 4. Reconstruya los tres subobjetos de \(T\) del Contraejemplo 7.5.2 y compruebe cuál de ellos no tiene complemento. 5. Distinga el objeto matemático \(\chi_H\) de un programa que lo calcularía.
7.6. Auditoría matemática, fundacional y pedagógica
| Dimensión | Resultado de la auditoría |
|---|---|
| Identidad | Los nuevos resultados conservan IDs estables distintos del ID documental TF-CAT-007; las referencias visibles usan números editoriales. |
| Paquetes axiomáticos | Restricción, igualadores y dominios requieren límites finitos; \(\delta\) y \(\wedge\) requieren clasificador; \(\exists\) requiere regularidad; Heyting requiere el paquete de topos. |
| Elección | Ninguna construcción del capítulo requiere una elección de testigos por fibra. El símbolo \(\exists\) denota imagen, no selector. |
| Lógica clásica | Las demostraciones categóricas se basan en universalidad; el modelo de conjuntos y la formulación de indecidibilidad usan la metateoría indicada. |
| Igualdad | El igualador y (7.7) proporcionan criterios formales, pero no un algoritmo de igualdad. |
| Dominio | El predicado \(\delta_\alpha\) sólo clasifica \([m]\); pierde información sobre el valor \(u\). |
| Efectividad | Una flecha total \(A\to\Omega\) puede ser no computable en una representación; las características no confieren decidibilidad algorítmica. |
| No bivalencia | El topos de flechas exhibe un subobjeto no complementado sin cuestionar la existencia de \(\Omega\). |
| Tamaño | Los conjuntos de subobjetos dependen de condiciones de tamaño de la categoría; usamos la notación \(\operatorname{Sub}(A)\) sin postularlos como objetos internos fuera del marco de topos. |
| Publicación | Fuente maestra Markdown; sin prueba Lean ni publicación en GitHub/Quarto. |
7.7. Fuentes y originalidad
La clasificación de subobjetos y su estabilidad por pullback fueron establecidas en el capítulo 3; la construcción de funciones parciales y la diagonalización en el capítulo 6. Como referencias externas de control, no como fuentes de originalidad, véanse Colin McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, capítulo «Basics», para la definición de topos; Todd Trimble, An elementary approach to elementary topos theory, para la lógica y los adjuntos de preimagen; y David I. Spivak, Category Theory for Scientists, sección 5.2.1, para categorías de funtores y clasificadores. La secuencia expositiva y el control de hipótesis pertenecen a este proyecto; los teoremas categóricos generales son resultados establecidos.
Síntesis. Quedan diferenciados el dominio como subobjeto, su característica lógica, la restricción, la composición guardada por pullback y la interpretación existencial por imagen. La lógica interna del topos no se identifica con un algoritmo ni se supone clásica. Se reserva TF-CAT-008 — Clasificadores de aplicaciones parciales y objetos de levantamiento como próximo documento. No se ha formalizado en Lean ni publicado en web.