Ejercicios — Capítulo 15
Índice del libro · Capítulo 15 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas se encuentran en ANM-C15_SOLUCIONES.md. Justifica todas las condiciones de las separaciones y declara los ambientes. Distingue imagen de preimagen, existencia de unicidad, cota posicional de residual y cerrado relativo de cerrado real. No uses compacidad ni derivadas.
15.1. Una separación relativa verificable
Sea \(E=[-3,-1]\cup[2,4]\). Construye una separación por un corte y comprueba todas las condiciones, distinguiendo apertura relativa de apertura real.
15.2. Una partición que no rompe el intervalo
En \(E=[0,2]\), examina \(A=[0,1)\) y \(B=[1,2]\). ¿Qué condición de separación falla? Da un testigo para cada radio en el punto problemático.
15.3. Equivalencia por complemento
Demuestra desde las definiciones que \(E\) es conexo si y sólo si todo subconjunto abierto y cerrado relativo a \(E\) es vacío o todo \(E\). Incluye \(E=\varnothing\).
15.4. Separar un conjunto finito
Prueba que un subconjunto finito de \(\mathbb R\) es conexo exactamente cuando tiene a lo sumo un punto. Para dos o más puntos, construye un corte sin invocar la caracterización por intervalos.
15.5. Ambientes anidados
Si \(F\subseteq E\subseteq\mathbb R\) y \(A\) es abierto relativo a \(E\), prueba que \(F\cap A\) es abierto relativo a \(F\). Explica por qué restringir una separación de \(E\) a \(F\) puede no separar \(F\).
15.6. Preparar un supremo legítimo
En una separación hipotética \(I=A\cup B\), con \(a\in A\), \(b\in B\), \(a<b\), justifica existencia y localización de \(c=\sup(A\cap[a,b])\). ¿Por qué puede hablarse de la parte que contiene \(c\)?
15.7. Reparar un avance fuera del dominio
Una prueba toma, cuando \(c\in A\), \(d=c+r/2\) y afirma que \(d\in A\cap[a,b]\) por apertura relativa. Señala la obligación ausente y repara el argumento con una fórmula explícita.
15.8. La propiedad aproximante necesaria
En el caso \(c\in B\), desarrolla desde la definición de supremo la contradicción usando un radio \(s>0\) de apertura relativa. No supongas que \(c\) esté en \(S\).
15.9. La completitud en el paso correcto
Explica por qué el argumento del supremo no prueba conexidad de \(\mathbb Q\) visto con su orden heredado. Exhibe una partición relativa que ilustre el fallo.
15.10. Intervalos no acotados y degenerados
Prueba que \((a,\infty)\), \(\mathbb R\), \(\{a\}\) y \(\varnothing\) son conexos, indicando por qué R2 no necesita una cota global de todo el dominio.
15.11. Un punto omitido suficiente
Para \(E=[0,1]\cup(1,3]\setminus\{2\}\), interpreta los paréntesis como \(E=([0,1]\cup(1,3])\setminus\{2\}\). Construye una separación. ¿Es \(1\) otro hueco?
15.12. Densidad y ruptura
Construye una separación de \(\mathbb Q\) por un corte irracional y demuestra cada condición. Explica por qué las partes pueden tener puntos arbitrariamente próximos al corte.
15.13. Intersecciones y uniones
Demuestra que toda intersección de intervalos reales es conexa, con la convención de intersección vacía igual a \(\mathbb R\). Refuta la afirmación análoga para uniones arbitrarias.
15.14. Una familia con punto común
Sea \((E_i)_{i\in J}\) una familia no vacía de conexos reales y supón que hay \(p\in\bigcap_{i\in J}E_i\). Prueba que \(H=\bigcup_{i\in J}E_i\) es conexo sin seleccionar puntos o radios por miembro.
15.15. Cerrar un intervalo sin romperlo
Prueba directamente que la adherencia real \(\overline I\) de un intervalo \(I\) es intervalo, por tanto conexa. Incluye el caso vacío.
15.16. Separación de valores a entradas
Reconstruye R4 para una continua \(f:D\to\mathbb R\) y un conexo \(E\subseteq D\). Identifica los ambientes de las dos parejas de abiertos y dónde se usa pertenencia a la imagen.
15.17. La preimagen que se divide
Para \(q:[-2,2]\to\mathbb R\), \(q(x)=x^2\), calcula \(q^{-1}[\{1\}]\) y prueba que no es conexa. ¿Qué hipótesis de R4 siguen siendo verdaderas?
15.18. Una imagen global intervalar no certifica continuidad
En \([-1,1]\) define \(f(x)=x\) si \(x<0\) y \(f(x)=x-1\) si \(x\ge0\). Calcula su imagen y decide su continuidad en cero. Refuta «si la imagen es intervalo, la función es continua».
15.19. El criterio de dos valores
Demuestra que \(E\) es conexo si y sólo si toda continua \(u:E\to\{0,1\}\) es constante, con la convención de constancia por igualdad entre todas las parejas de entradas.
15.20. Conexidad preservada por homeomorfismo
Sea \(f:E\to F\) un homeomorfismo entre subconjuntos reales. Prueba que \(E\) es conexo si y sólo si \(F\) lo es. Explica cuál de las dos direcciones puede fallar para una continua sobreyectiva.
15.21. Localización con orientación invertida
Sea \(I\) intervalo, \(f:I\to\mathbb R\) continua y \(u>v\) con \(f(u)<y<f(v)\). Indica dónde existe un argumento con salida \(y\) y justifica por qué no es extremo.
15.22. Existencia y unicidad por pruebas distintas
Prueba que \(F(x)=x^3+x-1\) tiene exactamente una raíz en \([0,1]\), y que está en \((0,1)\). No uses derivadas.
15.23. Una coincidencia de dos continuas
Sean \(f,g:[0,1]\to\mathbb R\) continuas, con \(f(0)<g(0)\) y \(f(1)>g(1)\). Prueba que coinciden en alguna entrada interior. ¿Se garantiza una sola coincidencia?
15.24. Sin ceros, un signo
Sea \(I\) intervalo no vacío y \(f:I\to\mathbb R\) continua sin ceros. Prueba que \(f>0\) en todo \(I\) o \(f<0\) en todo \(I\). Refuta la conclusión si se elimina sólo la intervalaridad.
15.25. Inclusión no es descripción de toda la imagen
Un razonamiento afirma que para toda continua en \([a,b]\) se cumple
\[f[[a,b]]=[\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b))].\]
Da un contraejemplo y enuncia la conclusión exacta que sí aporta R5.
15.26. Tres actualizaciones exactas
Aplica tres actualizaciones de bisección a \(F(x)=x^3+x-1\) desde \([0,1]\), empezando en \(n=0\). Calcula signos exactos, encierro final, medio final y su cota posicional.
15.27. Número de actualizaciones
Con encierro inicial de longitud \(3\), encuentra un número de actualizaciones que garantice error del medio estrictamente menor que \(1/1000\). Da la regla general y explica la estrictitud.
15.28. El cero límite sin compacidad
En el caso infinito de bisección, prueba que \(c=\sup\{L_n\}\) pertenece a todos los encierros y que \(g(c)=0\). No cites un teorema de intervalos anidados ni compacidad.
15.29. Longitud frente a residual
Refuta que exista una cota del residual del medio determinada sólo por la longitud del encierro y los signos opuestos en sus extremos, válida para toda función continua. Construye ejemplos lineales para una longitud \(\ell>0\) fija.
15.30. Una evaluación incierta
Un programa devuelve una inclusión certificada \(g(M)\in[-10^{-6},2\cdot10^{-6}]\) y actualiza el extremo inferior afirmando «es prácticamente negativo». Evalúa esa decisión e indica qué datos autorizan las actualizaciones o la detención exacta.
15.31. Excluir un pico por dos fibras
Sea \(f:I\to\mathbb R\) continua e inyectiva y \(x<y<z\) en \(I\). Prueba que \(f(y)\) está estrictamente entre \(f(x)\) y \(f(z)\), sin derivadas.
15.32. Propagar una orientación
Explica detalladamente cómo la propiedad entre triples de E031, junto con un par \(a<b\) con \(f(a)<f(b)\), fuerza \(f(x)<f(y)\) para todo \(x<y\) del intervalo.
15.33. Barrera en un extremo del dominio
Para \(f:[0,1)\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\), prueba continuidad de la inversa en el valor \(0\) por una barrera de orden, sin invocar un teorema de raíces continuas. Da un radio para cada \(\varepsilon>0\).
15.34. Crecimiento con salto
Sea \(k(x)=x\) si \(x<0\) y \(k(x)=x+1\) si \(x\ge0\). Prueba estricto crecimiento, refuta continuidad en cero y calcula la imagen. ¿Qué premisa de R7 falta?
15.35. Por qué el dominio intervalar importa para la inversa
Retoma \(D=[0,1)\cup[2,3]\) y \(f(x)=x\) en la primera pieza, \(f(x)=x-1\) en la segunda. Prueba biyección continua a \([0,2]\) e inversa discontinua en \(1\). Identifica exactamente qué hipótesis impide usar R7.
15.36. Relación por segmentos
Prueba reflexividad, simetría y transitividad de \(x\sim y\Leftrightarrow[\min(x,y),\max(x,y)]\subseteq D\). Después prueba que cada clase es intervalo.
15.37. Un dominio con tres componentes
Determina y justifica las componentes de \(D=(-2,-1]\cup\{0\}\cup[1,3)\). Indica cuáles son abiertas relativas y cuáles cerradas relativas.
15.38. Componentes acumuladas sin apertura
Para \(D=\{0\}\cup\{1/(n+1):n\in\mathbb N\}\), prueba que todas las componentes son singletons. Decide apertura relativa de cada una y explica por qué cerradura relativa no basta para apertura.
15.39. Cerradura relativa desde la adherencia
Prueba que una componente \(C_x\) es cerrada relativa a \(D\) usando un punto \(z\in D\) adherente a ella. Desarrolla ambos órdenes de \(x,z\) y refuta la afirmación de cerradura absoluta universal.
15.40. Transportar o fusionar componentes
Prueba que un homeomorfismo transporta exactamente las componentes de su dominio a las de su codominio. Da una continua que fusione dos componentes y explica qué paso de la prueba deja de funcionar.