Soluciones — Capítulo 15
Índice del libro · Capítulo 15 · Ejercicios · Soluciones
15.1. Una separación relativa verificable
Tomamos \(A=E\cap(-\infty,0)=[-3,-1]\) y \(B=E\cap(0,\infty)=[2,4]\). Los rayos son abiertos reales, así las partes son abiertas relativas a \(E\). \(-2\in A\) y \(3\in B\) prueban no vacuidad. Las desigualdades \(x<0\) y \(x>0\) son incompatibles, dando disjunción; todo punto de \(E\) está en uno de los segmentos y por ello en una parte, dando cobertura. Ninguno de los segmentos es abierto real: cualquier bola alrededor de su extremo exterior contiene puntos que no pertenecen al segmento. El ambiente relativo es indispensable.
Retorno visual. Véase C15-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
El corte cero pertenece al hueco entre las piezas y no al ambiente \(E\). Así no queda ninguna entrada sin asignar, mientras los rayos incompatibles impiden asignaciones dobles. La apertura relativa se acredita con la representación por abiertos reales, no afirmando apertura real de los segmentos. En sus extremos, los puntos exteriores que refutan apertura real desaparecen al recortar por \(E\).
15.2. Una partición que no rompe el intervalo
Ambas partes son no vacías, disjuntas y cubren \(E\). Además \(A=E\cap(-\infty,1)\) es abierta relativa. \(B\) no lo es en \(1\): dado \(r>0\), ponemos \(h=\min(r/2,1/2)>0\), \(t=1-h\). Entonces \(t\in[0,1)\subseteq E\), \(|t-1|=h<r\) y \(t\notin B\). Ningún radio de \(1\) dentro de \(E\) queda en \(B\). Por eso la partición no es separación.
Retorno visual. Véase C15-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
La existencia de un testigo para cada radio es la negación del criterio por bolas de apertura relativa. El mínimo mantiene al testigo dentro de \([0,1)\) aun cuando el radio sea grande, y también dentro de la bola aun cuando sea pequeño. La partición cumple cobertura, disjunción y no vacuidad, pero una sola parte sin apertura basta para impedir que sea separación.
15.3. Equivalencia por complemento
Si \(E\) es conexo y \(A\) es abierto y cerrado relativo, \(E\setminus A\) es abierto relativo. Si \(A\) no fuese vacío ni todo \(E\), las dos partes serían no vacías, disjuntas y exhaustivas, separando \(E\). Luego \(A=\varnothing\) o \(A=E\). Recíprocamente, una separación \(A,B\) da \(B=E\setminus A\); la apertura de \(B\) hace a \(A\) cerrado relativo y la de \(A\) ya está dada. Por no vacuidad de ambas partes \(A\) es no vacío y propio, contradiciendo el criterio. Si \(E\) es vacío, su único subconjunto es vacío y no puede existir separación; ambas afirmaciones se cumplen.
En la primera dirección usamos la cerradura de \(A\) para convertir su complemento en una segunda parte abierta. En la recíproca usamos cobertura y disjunción para identificar esa segunda parte exactamente con el complemento. La equivalencia depende del ambiente \(E\) en ambos pasos. El criterio no prohíbe todos los subconjuntos abiertos y cerrados, sino únicamente los no vacíos y propios.
15.4. Separar un conjunto finito
Vacío y singleton no pueden dividirse en dos partes disjuntas no vacías, luego son conexos. Si el conjunto finito tiene al menos dos puntos, se puede ordenar como \(t_1<\cdots<t_m\) con \(m\ge2\), usando repetidamente el menor de una lista finita por comparación. Sea \(c=(t_1+t_2)/2\). No pertenece al conjunto porque está entre sus dos primeros puntos. Las partes \(E\cap(-\infty,c)=\{t_1\}\) y \(E\cap(c,\infty)\) son abiertas relativas, disjuntas y exhaustivas; contienen \(t_1\) y \(t_2\). Son una separación. Sólo se usó una lista finita y el orden real.
El mínimo y el segundo punto existen porque la lista es finita y tiene al menos dos miembros. Su punto medio queda estrictamente entre ellos y ningún miembro de la lista puede ocupar ese hueco. Esto asegura cobertura por los dos rayos y no vacuidad de sus recortes. No hemos utilizado R3 para producir el corte: la construcción verifica separación directamente.
15.5. Ambientes anidados
Escribimos \(A=E\cap U\) con \(U\) abierto real. Como \(F\subseteq E\), \(F\cap A=F\cap U\), abierto relativo a \(F\). Para una separación \(A,B\) de \(E\), sus intersecciones con \(F\) siguen siendo abiertas relativas, disjuntas y exhaustivas. Pero alguna puede ser vacía: con \(E=[-2,-1]\cup[1,2]\), sus dos segmentos como partes y \(F=[1,2]\), la intersección de la primera parte con \(F\) es vacía. Por ello no queda una separación de \(F\).
La igualdad \(F\cap(E\cap U)=F\cap U\) usa \(F\subseteq E\) y conserva un abierto real testigo. Las propiedades de disjunción y cobertura también se conservan al recortar. La no vacuidad es la condición que puede perderse: un subconjunto conexo puede quedar íntegramente de un lado de la separación del ambiente mayor.
15.6. Preparar un supremo legítimo
\(S=A\cap[a,b]\) contiene \(a\) y todos sus elementos son menores o iguales que \(b\). Completitud da \(c=\sup S\). Como \(a\in S\), \(a\le c\); como \(b\) es cota, \(c\le b\). La hipótesis intervalar da \([a,b]\subseteq I\), luego \(c\in I=A\cup B\). La cobertura asigna una parte y la disjunción impide que pertenezca a ambas. Sin intervalaridad, \(c\) podría faltar en el dominio y no habría esa dicotomía.
El supremo tiene dos funciones separadas: ser cota de \(S\) y ser la menor de esas cotas. La primera lo ubica entre los puntos dados; la segunda permitirá encontrar miembros próximos por debajo. La intervalaridad asegura que ese real es una entrada. Así la prueba queda preparada para usar apertura de la parte que lo contiene sin asumir que sea máximo de \(S\).
15.7. Reparar un avance fuera del dominio
La apertura relativa sólo garantiza pertenencia a \(A\) de puntos de \(I\) próximos a \(c\). El punto \(c+r/2\) puede superar \(b\) y hasta salir de \(I\); por ejemplo \(c=0.9\), \(b=1\), \(r=1\) da \(d=1.4\). En el argumento correcto, \(c<b\) porque \(b\in B\) y \(c\in A\). Ponemos \(h=\min((b-c)/2,r/2)>0\), \(d=c+h\). Entonces \(c<d<b\), \(d\in[a,b]\subseteq I\) y \(|d-c|<r\). La apertura da \(d\in A\), luego \(d\in S\), en contradicción con \(d>\sup S\). La reparación usa por separado dominio y radio.
Retorno visual. Véase C15-F02, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
La vecindad relativa es \(I\cap B(c,r)\): proximidad sola no da pertenencia a \(I\). El mínimo reparado asegura ambas condiciones y además conserva \(d\le b\), necesario para pertenecer a \(S\). El ejemplo numérico sólo ilustra el avance excesivo; la reparación es simbólica y funciona en cualquier radio positivo del caso hipotético \(c\in A\).
15.8. La propiedad aproximante necesaria
\(c-s/2<c\) no es cota superior de \(S\), porque sería una cota menor que la menor cota superior \(c\). Por negación de la condición de cota existe \(t\in S\) con \(t>c-s/2\). Además \(t\le c\) pues \(c\) sí es cota. Como \(S\subseteq A\) y \(c\in B\), la disjunción da \(t\ne c\). Así \(0<c-t<s/2<s\), y \(t\in I\) pertenece a la vecindad de \(c\) dentro de \(I\), que está en \(B\). Queda \(t\in A\cap B\), contradicción. Sólo se usó un testigo para este radio.
La propiedad aproximante se deduce de minimalidad de la cota y no de una sucesión elegida previamente. El testigo \(t\) no puede igualar a \(c\) porque pertenece a \(A\) y el centro está en \(B\). Esto proporciona la distancia estrictamente positiva y menor que el radio de apertura. La contradicción es pertenecer simultáneamente a las dos partes disjuntas.
15.9. La completitud en el paso correcto
El orden racional no garantiza un supremo racional para todo subconjunto racional no vacío acotado. Si se toma el supremo en \(\mathbb R\), puede quedar fuera del dominio racional y la dicotomía «pertenece a una parte» falla. El corte \(c=\sqrt2\notin\mathbb Q\) da las partes racionales menores y mayores que \(c\). Son abiertas relativas, disjuntas, exhaustivas y no vacías por los testigos \(1\) y \(2\). La densidad racional no incorpora a \(c\) ni subsana el gasto de completitud y pertenencia.
Completitud de la recta entrega un supremo real, pero la prueba requiere además que sea miembro del intervalo considerado. En el ambiente racional, una frontera irracional no puede asignarse a ninguna parte. El corte explícito verifica que la dificultad es real, no sólo una laguna del argumento. Densidad permite aproximar esa frontera, pero no satisface la pertenencia que falta.
15.10. Intervalos no acotados y degenerados
En la semirrecta, si \(u\le v\) son miembros, todo \(t\in[u,v]\) satisface \(t\ge u>a\), así también pertenece. La recta contiene todos sus segmentos. Singleton y vacío satisfacen el predicado intervalar vacíamente o con segmentos degenerados. R2 los hace conexos. Su prueba acota sólo \(S=A\cap[u,v]\) después de fijar dos puntos de una supuesta separación; no necesita acotar todo el intervalo. En vacío y singleton no hay dos puntos de partes disjuntas no vacías, de modo que la separación ya es imposible.
Un intervalo no acotado puede contener un segmento acotado entre dos entradas cualesquiera. Es ese segmento el que aporta la cota superior del auxiliar en R2. Para vacío y singleton, la no vacuidad y disjunción de dos partes ya resultan incompatibles. Por ello el resultado abarca tanto dominios muy grandes como casos degenerados sin una premisa de compacidad.
15.11. Un punto omitido suficiente
La unión anterior a quitar \(2\) es \([0,3]\), pues \(1\) está en la primera pieza. Por tanto \(E=[0,3]\setminus\{2\}\). Tomamos \(A=E\cap(-\infty,2)=[0,2)\) y \(B=E\cap(2,\infty)=(2,3]\). Son abiertas relativas por los rayos, disjuntas y cubren \(E\) porque \(2\) fue omitido. Son no vacías por \(0\) y \(3\). \(1\) no es hueco: pertenece a \(E\). Las modalidades de extremos de cada pieza no deben leerse aisladas de la unión.
La unión debe calcularse antes de interpretar las fronteras de cada pieza. Aunque la segunda excluya uno, la primera lo incluye y la unión no tiene hueco allí. El único corte solicitado es dos, que se retira después de unir. Los rayos alrededor de dos producen dos partes abiertas relativas incluso si sus extremos no forman abiertos reales.
15.12. Densidad y ruptura
Usamos \(c=\sqrt2\), real irracional, y \(A=\mathbb Q\cap(-\infty,c)\), \(B=\mathbb Q\cap(c,\infty)\). Las partes son abiertas relativas, disjuntas y cubren los racionales por \(c\notin\mathbb Q\). \(1\in A\), \(2\in B\). Para todo \(r>0\), densidad racional da un punto en \((c-r,c)\) y otro en \((c,c+r)\), pertenecientes a las partes respectivas. Aproximación arbitraria al corte es compatible con separación: el punto límite común está fuera del ambiente racional.
Retorno visual. Véase C15-F03, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Las dos aproximaciones al corte se realizan en intervalos abiertos no vacíos, uno de cada lado, de modo que densidad aporta racionales con las desigualdades estrictas requeridas. Sus límites posibles en el ambiente real pueden coincidir sin generar intersección dentro del ambiente racional. La separación exige disjunción de las partes, no una distancia positiva global entre ellas.
15.13. Intersecciones y uniones
Si \(x,y\) pertenecen a la intersección, están en cada intervalo de la familia, y el segmento entre ellos está en cada miembro, luego en la intersección. Es intervalo y R2 da conexidad. Para una familia sin miembros, la intersección relativa a \(\mathbb R\) es toda \(\mathbb R\), también intervalo. La unión falla para \((0,1)\cup(2,3)\): \(1/2\) y \(5/2\) pertenecen pero \(3/2\) no; R3 da desconexión o se exhibe el corte por \(3/2\).
La intersección conserva puntos intermedios porque cada miembro impone la misma obligación sobre el par fijado. No importa que la familia sea infinita ni que no existan extremos globales. En una unión, en cambio, las dos entradas pueden proceder de miembros diferentes y ninguno está obligado a incluir el segmento que las une. El contraejemplo aprovecha exactamente esa diferencia.
15.14. Una familia con punto común
Supongamos una separación \(H=A\cup B\) y, intercambiando nombres, \(p\in A\). Para cada índice fijo \(i\), las partes \(E_i\cap A\) y \(E_i\cap B\) son abiertas relativas a \(E_i\), disjuntas y exhaustivas. La primera contiene el punto común \(p\). Si la segunda fuese no vacía, separaría \(E_i\); por conexidad es vacía. Se ha probado para todo \(i\) que \(E_i\subseteq A\). Por definición de unión, \(H\subseteq A\), luego \(B=\varnothing\), contradicción. El punto \(p\) es único testigo compartido fijado desde la hipótesis; no se produce una familia de elecciones.
Para cada índice se razona con la misma entrada \(p\), que ya está dada como punto común. Las intersecciones con la separación heredan apertura relativa por el cálculo de ambientes anidados. La conexidad de cada miembro obliga a eliminar su parte opuesta. El razonamiento universal sobre índices produce inclusión de toda la unión sin escoger puntos o radios para cada miembro.
15.15. Cerrar un intervalo sin romperlo
Para \(I=\varnothing\), ninguna vecindad toca \(I\) y su adherencia es vacía. En el resto, tomemos \(u<v\) en \(\overline I\) y \(u<t<v\). La vecindad de \(u\) de radio \((t-u)/2\) toca \(I\), dando \(a\in I\) con \(a<t\). La de \(v\) de radio \((v-t)/2\) da \(b\in I\) con \(t<b\). Intervalaridad implica \(t\in[a,b]\subseteq I\subseteq\overline I\). Los extremos \(u,v\) ya están en la adherencia. Así todo segmento entre miembros está en ella, y es intervalo. R2 prueba conexidad. Sólo se fijaron dos testigos de vecindades para el punto \(t\) considerado.
Los radios alrededor de \(u\) y \(v\) se diseñan según el punto intermedio \(t\). El primero produce una entrada estrictamente menor que \(t\), y el segundo una estrictamente mayor. Intervalaridad coloca \(t\) en el conjunto original, una conclusión más fuerte que pertenecer a su adherencia. Los extremos del segmento ya pertenecían a la adherencia por hipótesis y completan la condición intervalar.
15.16. Separación de valores a entradas
Sea \(h=f\upharpoonright E\), continua. Si \(H=f[E]\) se separara como \(A=H\cap V\), \(B=H\cap W\) con \(V,W\) abiertos reales, tomamos \(P=\{x\in E:h(x)\in A\}=h^{-1}[V]\) y \(Q=h^{-1}[W]\). Son abiertos relativos a \(E\), mientras \(A,B\) lo eran a \(H\). Disjunción y cobertura se trasladan porque toda salida de \(h\) está en \(H=A\cup B\). Para un valor concreto en cada parte, pertenecer a \(H\) da una entrada en \(E\) con esa salida; ambas preimágenes son no vacías. Así separan \(E\), contradicción. Si \(E\) es vacío, su imagen es vacía y ya es conexa. No se usa inversa funcional ni selector de todas las fibras.
La continuidad garantiza apertura sólo de las preimágenes de abiertos en el ambiente correcto. Las partes de \(H\) se representan con abiertos reales para poder aplicar ese criterio a la restricción. El hecho de que las salidas estén en \(H\) traslada cobertura y disjunción; el hecho de que cada parte contenga un valor alcanzado traslada no vacuidad. Así cada condición de la separación tiene una justificación propia.
15.17. La preimagen que se divide
La ecuación \(x^2=1\) equivale a \((x-1)(x+1)=0\), luego la preimagen es \(\{-1,1\}\). Sus dos singletons se obtienen cortando por cero; son abiertos relativos, disjuntos y no vacíos, y cubren la preimagen. No es conexa. \(q\) es continua por C14, su dominio \([-2,2]\) es conexo y \(\{1\}\) también. Nada contradice R4: el teorema preserva conexidad por imagen directa, no por preimagen.
La factorización permite calcular todas las entradas de la fibra, no sólo dos candidatos. Ambas raíces pertenecen al dominio indicado y no hay otras. Sus singletons constituyen una separación relativa de la fibra, aunque no sean abiertos reales. R4 sigue siendo verdadero porque se refiere a imágenes directas de conexos y no a fibras o preimágenes.
15.18. Una imagen global intervalar no certifica continuidad
La primera rama tiene imagen \([-1,0)\) y la segunda \([-1,0]\), luego la imagen total es \([-1,0]\), intervalo. Pero \(f(0)=-1\). Dado \(\delta>0\), ponemos \(t=\min(\delta/2,1/4)>0\), \(x=-t\in[-1,0)\). Entonces \(|x|<\delta\) y \(|f(x)-f(0)|=1-t\ge3/4>1/2\). La tolerancia \(1/2\) refuta continuidad en cero. El resultado de preservación es una implicación con continuidad como premisa; que la imagen total sea intervalar no prueba controles locales ni el valor intermedio en cada subsegmento.
La segunda rama recupera los valores que faltaban para que la imagen total incluya menos uno y cero. Esa coincidencia global no corrige el valor central menos uno frente a las salidas cercanas de la primera rama. El infractor se elige dentro del dominio para cualquier radio y mantiene un error mayor que la tolerancia fija. La refutación compara con \(f(0)\), que es el destino exigido por continuidad.
15.19. El criterio de dos valores
Si \(E\) es conexo, R4 da imagen conexa de \(u\) como subconjunto real. Una imagen que contuviera \(0\) y \(1\) sería exactamente \(\{0,1\}\), que omite \(1/2\) y no es intervalo; contradicción con R3. Así no hay dos entradas con salidas distintas, que es constancia. Si \(E\) tuviera separación \(A,B\), definimos \(u=0\) en \(A\), \(u=1\) en \(B\). Cobertura/disjunción hacen válida la función. Para cada entrada, una bola relativa contenida en su parte hace el error cero, dando continuidad para todo \(\varepsilon>0\). Las dos partes no vacías dan salidas diferentes, contradicción con el criterio. En vacío la condición de constancia es universal vacía y no se exige valor alcanzado.
Una función a \(\{0,1\}\) puede mirarse como función real porque la inclusión de ese codominio en la recta es continua. Si alcanzara ambos valores, su imagen omitiría el punto intermedio \(1/2\) y sería desconexa. Para la recíproca, la función definida por una separación es localmente constante y alcanza ambos valores. El caso vacío se conserva mediante la convención de igualdad para todas las parejas de entradas.
15.20. Conexidad preservada por homeomorfismo
Si \(E\) es conexo, continuidad de \(f\) y sobreyectividad dan \(F=f[E]\) conexo por R4. Si \(F\) es conexo, la inversa \(h:F\to E\) es continua y sobreyectiva sobre \(E\), luego \(E=h[F]\) es conexo. Para una continua sobreyectiva sin inversa continua sólo está garantizada la primera dirección. La constante \(\{-1,1\}\to\{0\}\) es continua y sobreyectiva; el codominio es conexo y el dominio no. No hay inversa funcional en ese ejemplo, lo cual ya basta para refutar la recíproca general.
La primera implicación sólo usa continuidad y que todas las entradas del codominio se alcancen. La segunda necesita continuidad del transporte inverso. El ejemplo constante muestra que sobreyectividad puede colapsar dos componentes en una y por eso no recupera la estructura del dominio. Los requisitos del homeomorfismo permiten razonar en ambas direcciones con imágenes de conexos.
15.21. Localización con orientación invertida
\([v,u]\subseteq I\) por intervalaridad. La restricción continua a ese segmento tiene imagen intervalar que contiene \(f(u)\) y \(f(v)\), por R4 y R3. Contiene el valor intermedio \(y\), así existe \(c\in[v,u]\) con \(f(c)=y\). Las desigualdades estrictas hacen \(y\) distinto de las dos salidas extremas, luego \(c\ne u,v\) y \(c\in(v,u)\). El orden de las salidas no tiene que coincidir con el de los argumentos.
Hay dos órdenes independientes: el de argumentos y el de valores. El segmento de argumentos se escribe \([v,u]\) porque \(v<u\), mientras el nivel está entre \(f(u)\) y \(f(v)\) en el orden contrario. La imagen intervalar contiene el nivel sin exigir que la función sea creciente. La estrictitud de las salidas excluye los dos extremos del segmento de argumentos.
15.22. Existencia y unicidad por pruebas distintas
\(F\) es continua por álgebra polinomial de C14. \(F(0)=-1<0\) y \(F(1)=1>0\), así R5 da una raíz interior. Para \(0\le x<z\le1\), \(F(z)-F(x)=(z-x)(z^2+zx+x^2+1)>0\), porque el primer factor es positivo y el segundo al menos \(1\). Por tanto es estrictamente creciente en el segmento y no puede tener dos ceros. Existencia e interioridad vienen del valor intermedio; unicidad viene de la desigualdad algebraica independiente.
Retorno visual. Véase C15-F04, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
La factorización de la diferencia prueba crecimiento para cualquier par ordenado del segmento, no sólo en sus extremos. El segundo factor incluye uno y los otros sumandos son no negativos, así nunca se anula. Dos ceros distintos contradirían ese crecimiento. La existencia usa signos opuestos y continuidad; esta desigualdad añade la unicidad que el valor intermedio por sí solo no prometía.
15.23. Una coincidencia de dos continuas
\(h=f-g\) es continua por C14. En cero es negativa y en uno positiva, luego R5 da \(c\in(0,1)\) con \(h(c)=0\), es decir \(f(c)=g(c)\). No se garantiza unicidad. Por ejemplo \(f(x)=(x-1/4)(x-1/2)(x-3/4)\) y \(g(x)=0\) cumplen \(f(0)=-3/32<0\), \(f(1)=3/32>0\) y coinciden en tres entradas interiores distintas. Todas las funciones indicadas son polinomiales o constantes y por ello continuas.
Restar las dos funciones convierte la coincidencia en una ecuación de cero y las comparaciones extremas en signos opuestos. En el contraejemplo, los tres factores se anulan en tres puntos distintos del interior y sus productos extremos tienen los signos requeridos. Esto mantiene todas las hipótesis de existencia mientras refuta unicidad. No hace falta estudiar derivadas para ninguna de las dos conclusiones.
15.24. Sin ceros, un signo
Fijamos \(a\in I\). Como \(f(a)\ne0\), es positivo o negativo. Si fuese positivo y hubiera \(b\) con \(f(b)<0\), R5 produciría cero entre \(a,b\), contradicción. Todos los valores son no negativos y, al no haber ceros, positivos. El caso \(f(a)<0\) es simétrico. Sin intervalaridad, \(f(x)=1/x\) en \(\mathbb R\setminus\{0\}\) es continua por C14, no tiene ceros y toma \(-1\) y \(1\). El punto omitido impide aplicar R5 entre esos argumentos.
La elección inicial de una sola entrada fija cuál de las dos posibilidades de signo debe verificarse globalmente. Una salida opuesta produciría un cero dentro del segmento entre ambos argumentos, contenido en el dominio por intervalaridad. En \(1/x\), ese segmento incluye una entrada prohibida, cero. Por ello la continuidad relativa de esa función no habilita el paso que conectaba ambos signos.
15.25. Inclusión no es descripción de toda la imagen
Para \(f(x)=x^2\) en \([-2,2]\), ambos extremos valen \(4\), pero \(f(0)=0\). La fórmula propuesta daría sólo \(\{4\}\), y es falsa. La imagen es de hecho \([0,4]\): todo cuadrado del dominio está ahí, y para cada \(y\in[0,4]\) la raíz positiva \(\sqrt y\in[0,2]\) da la preimagen. R5 garantiza la inclusión del segmento entre las dos salidas extremas dentro de la imagen. No garantiza que no haya otros valores; identificar extremos globales alcanzados requiere argumentos adicionales.
Las salidas de los extremos de entrada no tienen por qué ser los extremos de toda la imagen. En el ejemplo ambas son cuatro y existe una salida interior menor. Para demostrar la imagen exacta se prueban dos inclusiones: una por las cotas del cuadrado y otra construyendo una entrada para cada salida no negativa hasta cuatro. R5 sólo proporciona la inclusión del segmento entre valores alcanzados.
15.26. Tres actualizaciones exactas
\(M_0=1/2\) y \(F(M_0)=1/8+1/2-1=-3/8<0\), así \([L_1,U_1]=[1/2,1]\). \(M_1=3/4\) y \(F(M_1)=27/64+48/64-64/64=11/64>0\), así \([L_2,U_2]=[1/2,3/4]\). \(M_2=5/8\) y \(F(M_2)=125/512+320/512-512/512=-67/512<0\), así \([L_3,U_3]=[5/8,3/4]\). Su medio es \(M_3=11/16\). La raíz encerrada \(c\) satisface \(|M_3-c|\le(3/4-5/8)/2=1/16\). Se usaron tres evaluaciones/actualizaciones; no se evaluó \(M_3\) para obtener esta cota.
Retorno visual. Véase C15-F05, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Cada signo se calcula con fracciones exactas antes de decidir qué extremo sustituir. Los intervalos finales siguen conteniendo la raíz porque conservan signos opuestos y quedan anidados. El índice del medio final es tres tras las tres actualizaciones de índices cero, uno y dos. La cota \(1/16\) procede de la geometría del encierro y no de aproximar el residual en \(11/16\).
15.27. Número de actualizaciones
Después de \(n\) actualizaciones, el error es a lo sumo \(3/2^{n+1}\). Buscamos que esa cota sea estrictamente menor que \(1/1000\), equivalente a \(2^{n+1}>3000\). Para \(n=11\), \(2^{12}=4096>3000\), así sirve; \(n=10\) no lo garantiza pues \(2048<3000\). En general se elige \(n\in\mathbb N\) con \(2^{n+1}>(b-a)/\tau\). Una cota igual a \(\tau\) sólo garantiza error menor o igual, no estricto. Si hubo cero exacto antes, se dispone de error cero.
La desigualdad buscada se aplica a una cota no estricta de error, por lo que esa cota debe quedar estrictamente por debajo de la tolerancia. Once actualizaciones garantizan lo pedido; diez no dan esa garantía a partir de la fórmula, aunque alguna raíz particular pudiera estar más cerca del medio. La regla general contabiliza actualizaciones, no el número escrito en el subíndice del primer medio.
15.28. El cero límite sin compacidad
Los \(L_n\) están acotados por \(b\) y el conjunto no vacío tiene supremo \(c\). Para un \(n\) fijo, si \(k\le n\), \(L_k\le L_n\le U_n\); si \(k>n\), anidamiento da \(L_k\le U_k\le U_n\). Así \(U_n\) es cota de todos los inferiores y \(L_n\le c\le U_n\). En particular \(c\in[a,b]\). De \(0\le c-L_n\le(b-a)/2^n\) y \(0\le U_n-c\le(b-a)/2^n\) resultan ambas convergencias a \(c\). Continuidad directa da \(g(L_n),g(U_n)\to g(c)\). Una sucesión negativa no puede converger a un real positivo, pues una tolerancia de la mitad de ese real haría los términos positivos; análogamente la positiva no converge a negativo. Así \(g(c)\le0\) y \(g(c)\ge0\), luego vale cero. No se usó selección de rutas ni recíproca secuencial.
El supremo existe por no vacuidad y acotación del conjunto de inferiores. Cada superior es cota de todos ellos, lo que coloca \(c\) en cada encierro sin citar compacidad. Las longitudes geométricas tienden a cero y controlan por arriba las dos distancias a \(c\). Después los signos de las salidas restringen su límite común a ser a la vez no positivo y no negativo, forzando exactamente cero.
15.29. Longitud frente a residual
Para \(A>0\) definimos \(g_A(x)=A(x-\ell/4)\) en \([0,\ell]\). Es continua, \(g_A(0)=-A\ell/4<0\), \(g_A(\ell)=3A\ell/4>0\), y su raíz es \(\ell/4\). El medio \(\ell/2\) tiene error posicional \(\ell/4\), compatible con la cota \(\ell/2\), pero residual \(|g_A(\ell/2)|=A\ell/4\). Dado cualquier candidato finito \(B\ge0\) para esa longitud, elegimos \(A>4B/\ell\), y el residual supera \(B\). La longitud no controla la escala vertical; haría falta información cuantitativa adicional de la función.
La escala \(A\) cambia sólo la magnitud vertical de la función: la raíz y el intervalo de argumentos permanecen fijos. Por ello puede hacerse crecer el residual tanto como se quiera mientras la longitud y los signos extremos no cambian. El candidato \(B\) se fija primero, y sólo después se elige \(A\) que lo infrinja. Ese orden refuta una cota universal dependiente únicamente de la longitud.
15.30. Una evaluación incierta
La inclusión permite valores negativos, cero y positivos, por lo que no certifica \(g(M)<0\). Sustituir el extremo inferior puede destruir el invariante si el valor es positivo. Un certificado contenido estrictamente en \((-\infty,0)\) autoriza reemplazar el inferior; uno contenido estrictamente en \((0,\infty)\) autoriza reemplazar el superior. Una igualdad exacta certificada \(g(M)=0\) autoriza detener con raíz exacta. Si el intervalo de evaluación contiene cero, se requiere refinar o conservar el encierro anterior y declarar que no se decidió el signo; no se deduce igualdad de una tolerancia pequeña. La recurrencia clásica no proporciona por sí sola esos certificados computacionales.
El intervalo certificado contiene valores estrictamente negativos y positivos. Ambos son compatibles con el dato recibido, pero exigen actualizaciones opuestas. Elegir el extremo inferior sin decidir el signo puede dejar dos extremos positivos y perder la garantía de raíz encerrada. Refinar la evaluación puede ayudar, pero mientras no haya certificado suficiente se conserva el intervalo ya validado.
15.31. Excluir un pico por dos fibras
Inyectividad hace distintos los tres valores. Si \(f(y)>\max(f(x),f(z))\), tomamos \(w=(f(y)+\max(f(x),f(z)))/2\). Es estrictamente intermedio en cada par de salidas de \([x,y]\) y \([y,z]\). R5 entrega \(s\in(x,y)\) y \(t\in(y,z)\) con \(f(s)=w=f(t)\); como \(s<t\), contradice inyectividad. Si \(f(y)<\min(f(x),f(z))\), usamos el punto medio entre esas dos cantidades y repetimos. Las posibilidades restantes son precisamente \(f(x)<f(y)<f(z)\) o \(f(z)<f(y)<f(x)\).
El nivel elegido en el pico supera ambas salidas extremas y queda por debajo de la salida central. Así R5 se aplica en los dos subsegmentos y produce argumentos interiores. En el valle se invierten las desigualdades y el mecanismo es el mismo. La inyectividad sólo se contradice cuando los dos argumentos son distintos, y su posición a ambos lados de \(y\) acredita precisamente eso.
15.32. Propagar una orientación
Ordenamos los puntos distintos de \(\{a,b,x,y\}\) como \(t_1<\cdots<t_m\), con \(2\le m\le4\). Si \(m=2\), ambos pares son el mismo y la conclusión está dada. Si \(m\ge3\), para cada triple consecutivo la propiedad implica que las diferencias adyacentes \(f(t_{i+1})-f(t_i)\) y \(f(t_{i+2})-f(t_{i+1})\) tienen igual signo estricto. Por propagación a lo largo de la lista todas tienen el mismo signo. Si fuese negativo, sumando las diferencias entre las posiciones de \(a\) y \(b\) resultaría \(f(b)<f(a)\), contradicción. Todas son positivas; sumando entre \(x\) e \(y\) obtenemos \(f(y)>f(x)\). El procedimiento trata puntos exteriores al par fijado y no se limita a un subintervalo.
Ordenar el conjunto finito elimina repeticiones si alguno de los puntos coincide. Las diferencias adyacentes son no nulas porque cada triple tiene orden estricto de salidas. La propiedad de triples encadena sus signos, y la suma entre \(a\) y \(b\) fija el signo común como positivo. Finalmente se suman las diferencias entre \(x\) e \(y\), sin importar dónde esté ese par respecto del primero.
15.33. Barrera en un extremo del dominio
La imagen es \(J=[0,1)\): los cuadrados pertenecen a ese intervalo y cada \(y\in J\) tiene raíz no negativa menor que \(1\). La función es inyectiva creciente ahí, pues para \(0\le x<z<1\), \(z^2-x^2=(z-x)(z+x)>0\). Su inversa \(h\) está definida. Si \(0<\varepsilon<1\), tomamos el punto barrera \(r=\varepsilon/2\in[0,1)\) y \(\eta=r^2=\varepsilon^2/4\). Si \(y\in J\) y \(|y|<\eta\), su preimagen no puede ser \(x\ge\varepsilon\), pues entonces \(x>r\) y \(y=x^2>r^2=\eta\). Así \(|h(y)-h(0)|=x<\varepsilon\). Si \(\varepsilon\ge1\), toda preimagen satisface \(0\le x<1\le\varepsilon\), por lo que sirve \(\eta=1\). No hay barrera izquierda porque todas las entradas son no negativas.
Retorno visual. Véase C15-F06, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
No usamos continuidad previa de la raíz, sino existencia algebraica de una entrada no negativa y monotonía del cuadrado. Para precisiones pequeñas, la barrera está dentro del dominio y su salida positiva fija el radio. Una entrada a distancia al menos \(\varepsilon\) produciría una salida más allá de la barrera, imposible bajo ese radio. Para precisiones al menos uno, el propio tamaño del dominio ya da la distancia estricta requerida.
15.34. Crecimiento con salto
En cada rama la diferencia entre salidas es la diferencia entre entradas y es positiva. Si \(x<0\le z\), \(k(x)=x<0<1\le z+1=k(z)\), así también crece entre ramas. Pero \(k(0)=1\); dado \(\delta>0\), \(x=-\min(\delta/2,1/2)\) tiene \(|x|<\delta\) y \(|k(x)-k(0)|=1-x>1\), refutando continuidad con tolerancia \(1\). La imagen es \((-\infty,0)\cup[1,\infty)\), no intervalo. Falta continuidad en la premisa de R7; estricto crecimiento solo no la garantiza.
La comparación entre ramas completa la prueba de crecimiento, que no quedaría acreditada examinándolas por separado. El testigo negativo para cada radio muestra un error central que nunca baja de uno. La imagen omite cero y todos los valores hasta uno, aunque el dominio sea la recta. Es justamente continuidad la que faltaría para aplicar preservación de intervalos y R7.
15.35. Por qué el dominio intervalar importa para la inversa
Las imágenes de las piezas son \([0,1)\) y \([1,2]\), disjuntas y exhaustivas de \([0,2]\); cada rama es inyectiva, de modo que \(f\) es biyección. En cualquier centro de \(D\), el radio \(\delta=\min(1/2,\varepsilon)\) evita la otra pieza y dentro de la misma rama el error de salida es la distancia de entradas, menor que \(\varepsilon\). Así \(f\) es continua relativa. La inversa vale \(h(y)=y\) para \(y<1\) y \(h(y)=y+1\) para \(y\ge1\), luego \(h(1)=2\). Dado \(\eta>0\), \(t=\min(\eta/2,1/2)>0\) da \(y=1-t\in[0,1)\) con \(|y-1|<\eta\) y \(|h(y)-2|=1+t>1\). Falla continuidad con tolerancia \(1\). \(D\) omite puntos entre \(0\) y \(2\) y no es intervalo; ésa es la premisa faltante de R7.
El radio auxiliar medio mantiene cada entrada próxima en la misma pieza, justificando continuidad sin conectar las piezas del dominio. Al invertir, las salidas inferiores a uno llegan arbitrariamente cerca de la salida de la entrada dos. Sus preimágenes siguen separadas de dos por más de uno. La falta de intervalaridad impide construir las barreras intermedias usadas en R7.
15.36. Relación por segmentos
Reflexividad usa \([x,x]=\{x\}\subseteq D\); simetría usa que min/max no cambian al permutar. Si \(x\sim y\) y \(y\sim z\), los dos segmentos comparten \(y\) y su unión es intervalo contenido en \(D\), por §15.3; contiene \(x,z\), luego también el segmento entre ellos. Así \(x\sim z\). Si \(u,v\) están en \(C_x\), transitividad da \(u\sim v\). Todo \(t\) entre ellos está en \(D\) y satisface \(u\sim t\) porque su segmento con \(u\) queda en el de \(u,v\). De \(x\sim u\) resulta \(x\sim t\), así \(t\in C_x\). Es intervalo.
La transitividad se aplica también cuando el punto compartido \(y\) no está entre \(x\) y \(z\), porque la unión de sus dos segmentos no tiene huecos. Para intervalaridad de una clase, pertenecer a \(D\) no basta: además cada punto intermedio debe relacionarse con \(x\). El segmento menor que lo une a \(u\) y la transitividad proporcionan esa segunda obligación.
15.37. Un dominio con tres componentes
Las tres piezas son intervalos, luego conexas. Ningún conexo de \(D\) puede tocar dos piezas: si tocara la izquierda y otra, omitiría un punto entre \(-1\) y \(0\), como \(-1/2\); si tocara cero y la derecha, omitiría \(1/2\). Por R3 no sería conexo. Cada pieza es por tanto máxima y es componente. Son todas abiertas relativas: la izquierda es \(D\cap(-\infty,-1/2)\), el singleton \(D\cap(-1/2,1/2)\) y la derecha \(D\cap(1/2,\infty)\). También son cerradas relativas por R8 o porque el complemento de cada una es unión de las otras dos abiertas relativas. No todas son cerradas reales, pues los extremos \(-2\) y \(3\) faltan.
Cada pieza es conexa por ser intervalo, incluidos sus extremos según la definición del dominio. Para maximalidad, cualquier conjunto que toque dos piezas tendría que incluir un punto ausente entre ellas si fuese conexo. Los rayos y el intervalo abierto central exhiben apertura relativa de las tres piezas. Sus complementos relativos son uniones de las otras dos abiertas y prueban cerradura relativa sin exigir incluir extremos exteriores ausentes.
15.38. Componentes acumuladas sin apertura
Todos los puntos de \(D\) son racionales. Entre dos distintos hay un irracional por densidad de irracionales; éste no pertenece a \(D\). El segmento entre los puntos no queda en \(D\), así ninguna clase contiene dos puntos. Para \(t_n=1/(n+1)\) con \(n\ge1\), las distancias a sus vecinos \(t_{n-1}\) y \(t_{n+1}\) son positivas; la mitad del menor de ellas da una bola relativa que sólo contiene \(t_n\). Para \(n=0\), basta la mitad de \(t_0-t_1=1/2\), es decir \(1/4\), pues todos los otros positivos son a lo sumo \(1/2\). Así los singletons positivos son abiertos relativos. \(\{0\}\) no lo es: para cada \(r>0\), arquimedianidad da \(n\) con \(0<t_n<r\). Todos los singletons son cerrados reales y por ello relativos, pero sólo la apertura de una vecindad determina aislamiento. La componente de cero es cerrada sin ser abierta relativa.
Retorno visual. Véase C15-F07, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
Los huecos irracionales impiden unir por un segmento dos entradas cualesquiera, así la descripción por singletons incluye también cero. Para cada punto positivo, los vecinos consecutivos de la sucesión dan una distancia aislante; cero está aún más lejos que el siguiente vecino positivo. En cero no existe escala aislante porque los positivos convergen a él. Tener todas las componentes cerradas no ofrece una vecindad contenida en cada una.
15.39. Cerradura relativa desde la adherencia
Si \(z=x\), ya está en \(C_x\). Si \(x<z\), para todo \(x<t<z\) la adherencia da \(w\in C_x\) con \(|w-z|<(z-t)/2\), así \(w>t\). Como el segmento entre \(x,w\) está en \(D\), \(t\in D\). Los extremos \(x,z\) pertenecen a \(D\), así \([x,z]\subseteq D\) y \(z\in C_x\). Si \(z<x\), para \(z<t<x\) usamos radio \((t-z)/2\) alrededor de \(z\), obteniendo \(w<t\) en \(C_x\); el segmento entre \(w,x\) contiene \(t\) y está en \(D\). De nuevo \([z,x]\subseteq D\), luego \(z\in C_x\). Todos los puntos adherentes que están en \(D\) quedan en la clase, criterio de cierre relativo. En \(D=(0,1)\) hay una componente única \((0,1)\), cerrada relativa a sí misma pero no cerrada real porque cero es adherente exterior.
La vecindad de adherencia se diseña para encontrar un miembro de la clase al otro lado del punto intermedio \(t\). El segmento que lo conecta con \(x\) coloca a \(t\) en \(D\). Hacer esto para todo punto entre \(x\) y \(z\), junto con la pertenencia de ambos extremos, completa el segmento y relaciona a \(z\) con \(x\). La condición \(z\in D\) es esencial para el extremo y delimita la conclusión como cerradura relativa.
15.40. Transportar o fusionar componentes
Sea \(f:D\to H\) homeomorfismo, \(C\) componente de \(x\). R4 hace conexo \(f[C]\), que contiene \(f(x)\) y queda en la componente \(K\) de ese punto por maximalidad. La inversa continua hace conexo \(f^{-1}[K]\), que contiene \(x\) y por maximalidad está en \(C\). Aplicando la biyección \(f\) obtenemos \(K\subseteq f[C]\), y las dos inclusiones dan igualdad. La constante \(\{-1,1\}\to\{0\}\) es continua en el dominio relativo y fusiona sus dos componentes singleton en una sola. No existe inversa funcional, mucho menos continua, por lo que no puede transportarse \(K\) hacia atrás para aplicar maximalidad. Una continua general sólo garantiza imagen conexa dentro de una componente.
Las dos inclusiones utilizan funciones continuas diferentes: \(f\) para incluir la imagen de \(C\) en \(K\), y la inversa para incluir el retorno de \(K\) en \(C\). La biyección permite convertir esta segunda inclusión en la opuesta dentro del codominio. En la constante que fusiona dos componentes falla ese retorno funcional, por lo que continuidad hacia delante sólo conserva conexidad de cada imagen por separado.