Ejercicios — Capítulo 23
Índice del libro · Capítulo 23 · Ejercicios · Soluciones
Las soluciones completas están en ANM-C23_SOLUCIONES.md. Declara dominio, cota universal y alcance de cada extremo. Justifica la brecha, la selección finita de etiquetas y el orden de cuantificadores. No uses antiderivadas ni teorema fundamental.
23.1. Cotas sin extremos alcanzados
Para g(x)=x en(0,1) y g(0)=g(1)=1/2, prueba ínfimo0 y supremo1 sin puntos que los alcancen.
23.2. Restringir disminuye oscilación
Demuestra la cadena de cotas para J⊆K no vacíos y acotados.
23.3. Cuadrado en una pieza
Calcula m,M,ω de x² en[1/4,3/4] y explica por qué la restricción no negativa importa.
23.4. De cotas a testigos
Demuestra que para η>0 hay s con f(s)>M−η y t con f(t)<m+η.
23.5. Dos muestras no controlan
Construye sobre[0,1] una función con muestras0 en0 y1 y oscilación arbitrariamente grande.
23.6. Sumas del cuadrado
Calcula L,U y brecha de x² en la uniforme de cuatro piezas de[0,1].
23.7. Una inserción mejora
Prueba monotonía de L y U al insertar t en una pieza[u,v].
23.8. Cruzar dos particiones
Prueba L(P)≤U(Q) aunque P y Q no sean comparables por refinamiento.
23.9. Brecha cero fuerza constancia
Demuestra que si G(f,P)=0 en una partición de cerrado, f es constante global.
23.10. Una suma no es una cota
Explica por qué S=1/4 y S=3/4 para x en mitades no contradicen monotonía de Darboux al refinar.
23.11. Extremos de conjuntos de sumas
Justifica existencia de \(\ell\) y u y su orden, indicando las hipótesis.
23.12. Una partición para dos aproximaciones
Si \(\ell\)=u=I, construye una partición de brecha menor que ε sin suponer extremos alcanzados.
23.13. La recíproca del criterio
Demuestra que brechas arbitrariamente pequeñas fuerzan \(\ell\)=u.
23.14. Persistencia de precisión
Prueba equivalencia del criterio con una partición cuyos refinamientos todos tienen brecha menor que ε.
23.15. Centro del intervalo certificado
Con L=7/32,U=15/32 e I=1/3, calcula el punto medio, cota y error real.
23.16. Riemann también exige acotación
Prueba acotación de f desde el contrato de C22, sin añadirla como hipótesis.
23.17. Etiquetas próximas a U
Para una partición fija, demuestra U−η<S para alguna familia, sin máximos.
23.18. Un sentido del puente
Deduce Darboux e igualdad de valor desde Riemann usando tolerancia ε/4.
23.19. Cortes omitidos
Si P* tiene q nodos interiores, justifica G(Q)≤G(P*)+4Bq·malla(Q).
23.20. Radio del puente y caso cero
Para B=2,q=3 y brecha buena<ε/2, produce radio suficiente; trata Bq=0.
23.21. Monótona con salto
Sea h=0 para x<1/2 y h=1 para x≥1/2 en[0,1]. Prueba integrabilidad y da cota por malla.
23.22. Lipschitz como certificado
Si L=3 en un intervalo de longitud2, acota la brecha y fabrica malla para brecha<1/100.
23.23. Continua: de local a uniforme
Explica la construcción de radio uniforme por un subcubrimiento finito, evitando escoger radios simultáneamente para todos los centros.
23.24. El margen al tomar supremos
Si todos los valores de una pieza difieren menos que η, explica por qué ω≤η y cómo garantizar brecha<ε.
23.25. Un cerrado importa
Da una función continua en(0,1] que no tenga la cota global usada en la prueba continua de este capítulo.
23.26. Signo de un múltiplo
Demuestra ω(αf)=|α|ω(f) incluyendo α<0 y α=0.
23.27. Producto integrable
Con integrables f,g y cotas Bf,Bg, prueba integrabilidad de fg con particiones comunes.
23.28. Linealidad del valor
Demuestra I(αf+βg)=αIf+βIg desde sumas y radios, sin antiderivadas.
23.29. Producto no multiplicativo
Para f=g=x en[0,1], compara I(fg) e IfIg usando C22.
23.30. Valor absoluto y orden
Prueba |If|≤I|f| y calcula la desigualdad para2x−1 en[0,1] una vez habilitada la aditividad de23.7.
23.31. Restricción a dos lados
Prueba integrabilidad de restricciones al insertar c en una partición buena.
23.32. Pegar dos integrales
Prueba integrabilidad global desde ambas restricciones, con el mismo valor de f(c).
23.33. Aditividad del valor
Demuestra Iab=Iac+Icb mediante sumas concatenadas y brechas.
23.34. Orientar sin nuevas piezas
Si I0,1(x)=1/2 y I1,2(x)=3/2, calcula I2,0(x) e I1,1(x), indicando convenciones.
23.35. Cambiar un nodo
Explica por qué alterar sólo f(c) conserva la integral pero puede cambiar L y U de una partición.
23.36. Cotas exteriores
Si se prueban ai≤f≤bi en cada pieza y f ya es integrable, demuestra el encierro exterior y su certificado medio.
23.37. Elegir resolución de un certificado
Para x², usa las cotas uniformes de Darboux para error de su medio menor que1/100.
23.38. El pico se encierra
Para p(1/2)=1 y p=0 fuera, calcula L,U en P=(0,1/2−r,1/2,1/2+r,1),0<r<1/2, y demuestra integral0.
23.39. Integrable sin brecha cero
Demuestra que el pico anterior no tiene ninguna partición de brecha cero.
23.40. Brecha persistente
Bajo la hipótesis de que f toma0 y1 en toda pieza no degenerada y sólo esos valores, prueba no integrabilidad en[a,b].