Soluciones — Capítulo 23
Índice del libro · Capítulo 23 · Ejercicios · Soluciones
23.1. Cotas sin extremos alcanzados
La imagen de \(g\) está contenida en \((0,1)\): en el interior \(g(x)=x\), y los dos extremos del dominio tienen altura \(1/2\). Por tanto cero es cota inferior y uno cota superior, y ninguno pertenece a la imagen. Para \(\eta>0\) tomamos \(t=\min(\eta/2,1/4)\). Entonces \(t\) y \(1-t\) son interiores, \(g(t)=t<\eta\) y \(g(1-t)=1-t>1-\eta\). Una cota inferior positiva se contradice tomando \(\eta\) igual a ella; una cota superior menor que uno se contradice tomando \(\eta\) igual a su distancia a uno. En consecuencia \(\inf g=0\) y \(\sup g=1\), sin extremos alcanzados.
Retorno visual. Véase C23-F01, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.2. Restringir disminuye oscilación
Escribimos \(m_J=\inf f[J]\), \(M_J=\sup f[J]\) y análogamente para \(K\). Se requiere que las imágenes sean no vacías y acotadas. La inclusión \(J\subseteq K\) implica \(f[J]\subseteq f[K]\). Toda cota inferior de \(f[K]\) acota también \(f[J]\), de donde \(m_K\le m_J\); toda cota superior de \(f[K]\) acota \(f[J]\), de donde \(M_J\le M_K\). Una entrada de \(J\) da además \(m_J\le M_J\). Así \(m_K\le m_J\le M_J\le M_K\), y al restar \(0\le M_J-m_J\le M_K-m_K\). La conclusión depende de la inclusión de imágenes, sin continuidad.
23.3. Cuadrado en una pieza
Para \(1/4\le x\le3/4\), la monotonía del cuadrado sobre los no negativos da \(1/16\le x^2\le9/16\). Los valores extremos se alcanzan en los bordes, así \(m=1/16\), \(M=9/16\) y \(\omega=9/16-1/16=1/2\). La condición de no negatividad justifica esa monotonía: si \(0\le s<t\), entonces \(t^2-s^2=(t-s)(t+s)>0\). En \([-1,1]\) los dos bordes tienen altura uno, pero el mínimo del cuadrado es cero en el interior. Allí no sirve la misma regla de tomar el borde izquierdo como ínfimo.
23.4. De cotas a testigos
Sean \(M=\sup f[J]\) y \(m=\inf f[J]\), con imagen no vacía y acotada. Si no existiera \(s\in J\) con \(f(s)>M-\eta\), tendríamos \(f(s)\le M-\eta\) para todas las entradas. El real \(M-\eta<M\) sería entonces una cota superior, contradiciendo que \(M\) sea la menor. De igual forma, la ausencia de un \(t\) con \(f(t)<m+\eta\) haría de \(m+\eta>m\) una cota inferior, contra la maximalidad de \(m\). Estos dos argumentos dan testigos para cada \(\eta>0\), aunque las alturas extremas no se alcancen.
23.5. Dos muestras no controlan
Dado un tamaño deseado \(R>0\), elegimos \(H=R+1\) y definimos \(f(1/2)=H\), \(f(x)=0\) para las demás entradas de \([0,1]\). Las muestras en cero y uno son ambas cero. Sin embargo, la imagen es \(\{0,H\}\), así \(m=0\), \(M=H\) y \(\omega=H>R\). Para cada \(H\) fijo la función está acotada. Esta familia muestra que conservar las dos muestras no limita la altura de una entrada distinta y, por tanto, no limita la oscilación.
23.6. Sumas del cuadrado
Los nodos son \(0,1/4,1/2,3/4,1\) y las cuatro anchuras valen \(1/4\). Como el cuadrado es creciente allí, las alturas inferiores son \(0,1/16,4/16,9/16\) y las superiores \(1/16,4/16,9/16,16/16\). Por tanto \(L=(0+1+4+9)/64=14/64=7/32\) y \(U=(1+4+9+16)/64=30/64=15/32\). La brecha es \(U-L=8/32=1/4\). Las alturas usadas son extremos de la imagen completa de cada pieza; por eso las dos sumas encierran cualquier suma etiquetada de esta partición.
Retorno visual. Véase C23-F02, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.7. Una inserción mejora
Sean \(u<t<v\), \(m=\inf f([u,v])\) y \(M=\sup f([u,v])\). Para las hijas ponemos \(m_1,m_2,M_1,M_2\). La inclusión de cada hija en el padre da \(m\le m_1,m_2\) y \(M_1,M_2\le M\). Como las anchuras son positivas, \(m(v-u)\le m_1(t-u)+m_2(v-t)\) y \(M_1(t-u)+M_2(v-t)\le M(v-u)\). Se usó \((t-u)+(v-t)=v-u\). Las demás piezas aportan los mismos términos antes y después de insertar el corte. Así la suma inferior no baja y la superior no sube. Una sucesión finita de inserciones prueba lo mismo para cualquier refinamiento.
23.8. Cruzar dos particiones
Formamos \(R\) ordenando la unión finita de los nodos de \(P\) y \(Q\) y eliminando repeticiones. Tiene los mismos extremos y refina ambas particiones. La monotonía respecto de \(P\) da \(L(f,P)\le L(f,R)\); el orden en la partición \(R\) da \(L(f,R)\le U(f,R)\); la monotonía respecto de \(Q\) da \(U(f,R)\le U(f,Q)\). Concatenar las tres comparaciones prueba \(L(f,P)\le U(f,Q)\). No es preciso que las listas originales tengan igual número de piezas o compartan los cortes interiores.
23.9. Brecha cero fuerza constancia
La igualdad \(G(f,P)=\sum_i\omega_i\Delta_i=0\) es una suma finita de reales no negativos. Si alguno fuera positivo, la suma también lo sería; por tanto todos son cero. Como \(\Delta_i>0\), cada \(\omega_i=0\) y \(m_i=M_i\). Toda altura de la pieza queda entre esos dos extremos iguales, así \(f\) es constante allí. Las piezas \(I_i\) e \(I_{i+1}\) contienen el nodo \(x_i\), donde ambas constantes deben valer \(f(x_i)\). Por inducción sobre los índices, todas coinciden. El uso de piezas cerradas hace posible esa propagación de igualdad.
23.10. Una suma no es una cota
Para \(f(x)=x\), la partición trivial tiene \(L=0\) y \(U=1\), y su etiqueta media da \(S=1/2\). En las mitades, las etiquetas izquierdas dan \(S=(0+1/2)/2=1/4\) y las derechas \(S=(1/2+1)/2=3/4\). Son, respectivamente, \(L\) y \(U\) de la partición refinada. La monotonía de Darboux se verifica en \(0\le1/4\) y \(3/4\le1\): mejoran las dos barreras. Comparar esas dos sumas etiquetadas con \(1/2\) da movimientos opuestos, porque las etiquetas se han cambiado. Ninguna de esas comparaciones contradice la monotonía de las barreras.
23.11. Extremos de conjuntos de sumas
Suponemos \(a<b\) y \(f:[a,b]\to\mathbb R\) acotada, con \(|f|\le B\). La partición trivial prueba que los conjuntos \(\mathcal L_f\) y \(\mathcal U_f\) son no vacíos. Todas sus sumas satisfacen \(-B(b-a)\le L(f,P)\le U(f,P)\le B(b-a)\), por las cotas de alturas y la identidad de longitudes. Completitud proporciona \(\ell_f=\sup\mathcal L_f\) y \(u_f=\inf\mathcal U_f\). Para cualquier \(Q\), la comparación por refinamiento común da \(L(f,P)\le U(f,Q)\) para toda \(P\). Por tanto \(\ell_f\le U(f,Q)\) para toda \(Q\), y al tomar ínfimo queda \(\ell_f\le u_f\).
23.12. Una partición para dos aproximaciones
Sea \(\varepsilon>0\). Como \(I\) es el supremo de las sumas inferiores, existe \(P\) con \(L(f,P)>I-\varepsilon/2\); de otro modo ese real menor sería una cota superior del conjunto. Como \(I\) es el ínfimo de las superiores, existe \(Q\) con \(U(f,Q)<I+\varepsilon/2\). Tomamos el refinamiento común \(R\). La monotonía da \(L(f,R)\ge L(f,P)>I-\varepsilon/2\) y \(U(f,R)\le U(f,Q)<I+\varepsilon/2\). Restar prueba \(G(f,R)<\varepsilon\). Las particiones aproximan los extremos; no necesitan realizarlos exactamente.
23.13. La recíproca del criterio
Por definición de los dos extremos, para cada partición \(P\) se tiene \(L(f,P)\le\ell_f\le u_f\le U(f,P)\). De ahí \(0\le u_f-\ell_f\le G(f,P)\). Supongamos que \(d=u_f-\ell_f>0\). La hipótesis de brechas arbitrariamente pequeñas aplicada a \(\varepsilon=d/2\) produce \(P\) con \(G(f,P)<d/2\). Esto daría \(d\le G(f,P)<d/2\), imposible. Por no negatividad queda \(d=0\) y las integrales inferior y superior coinciden.
23.14. Persistencia de precisión
Fijada \(\varepsilon>0\), si existe \(P_*\) con \(G(f,P_*)<\varepsilon\), toda \(Q\) que la refina satisface \(L(f,P_*)\le L(f,Q)\) y \(U(f,Q)\le U(f,P_*)\). Restar da \(G(f,Q)\le G(f,P_*)<\varepsilon\). Esto prueba la persistencia con los cuantificadores \(\forall\varepsilon>0\ \exists P_*\ \forall Q\succeq P_*\). En la dirección inversa se toma \(Q=P_*\): una partición se refina a sí misma. Así la condición persistente entrega una partición de brecha menor que cada tolerancia y recupera el criterio de Darboux.
23.15. Centro del intervalo certificado
El centro de las cotas es \(A=(7/32+15/32)/2=11/32\). La longitud del intervalo certificado es \(15/32-7/32=1/4\), así su semilongitud es \(1/8\). Como \(I\) está en ese intervalo, \(|A-I|\le1/8\). Con el dato \(I=1/3\), el error efectivo es \(|11/32-1/3|=|33/96-32/96|=1/96\). El centro sobreestima el valor en \(1/96\) y cumple la cota. Esta operación promedia las dos sumas de Darboux; no es la suma con etiquetas en los puntos medios, que para estas piezas vale \(21/64\).
Retorno visual. Véase C23-F03, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.16. Riemann también exige acotación
Aplicamos el contrato de Riemann con tolerancia uno y obtenemos \(\delta>0\). Elegimos una partición uniforme con malla menor que \(\delta\) y fijamos etiquetas de referencia. Para cada pieza \(I_i\), mantenemos esas etiquetas en las demás y dejamos variar \(t\in I_i\). La suma resultante es \(S=f(t)\Delta_i+C_i\), donde \(C_i\) es una suma finita fija. El contrato implica \(|S-I|<1\), luego \(|S|<|I|+1\) y \(|f(t)|\Delta_i=|S-C_i|\le|S|+|C_i|<|I|+1+|C_i|\). Dividir por \(\Delta_i>0\) da una cota en toda \(I_i\). El máximo finito de esas cotas limita \(|f|\) en el intervalo, porque las piezas lo cubren, incluidos sus bordes.
23.17. Etiquetas próximas a U
Sean \(M_i=\sup f[I_i]\) y \(\eta>0\). Como \(b-a>0\), el número \(\eta/(b-a)\) es positivo. En cada pieza existe \(\xi_i\) con \(f(\xi_i)>M_i-\eta/(b-a)\). Construimos la familia por inducción finita sobre sus \(n\) piezas. Al multiplicar por \(\Delta_i>0\) y sumar, \(S>\sum_i M_i\Delta_i-\eta\sum_i\Delta_i/(b-a)=U-\eta\). Además \(S\le U\) por la cota superior de cada altura. Por tanto \(U-\eta<S\le U\). La misma construcción con ínfimos proporciona \(L\le S^-<L+\eta\).
23.18. Un sentido del puente
La acotación ya se deduce del contrato de Riemann, así las sumas de Darboux están definidas. Para \(\varepsilon>0\), tomamos una partición uniforme de malla menor que el radio que garantiza error \(\varepsilon/4\) respecto de \(I_R\). Aproximamos sus extremos con etiquetas para obtener \(U-\varepsilon/4<S^+\) y \(S^-<L+\varepsilon/4\). El contrato da \(S^+<I_R+\varepsilon/4\) y \(S^->I_R-\varepsilon/4\). Así \(U<I_R+\varepsilon/2\) y \(L>I_R-\varepsilon/2\), de donde \(G<\varepsilon\). Darboux produce una integral \(I_D\), que queda entre \(L\) y \(U\). Estas mismas desigualdades dan \(|I_D-I_R|<\varepsilon/2\) para cada \(\varepsilon>0\); una distancia positiva sería incompatible con una tolerancia menor. Por tanto los valores coinciden.
23.19. Cortes omitidos
Sea \(|f|\le B\) y formemos \(R=P_*\cup Q\). Una pieza de \(Q\) se divide sólo cuando contiene un nodo interior de \(P_*\) en su interior. Como los interiores de las piezas son disjuntos, hay a lo sumo \(q\) padres afectados; sus anchuras suman a lo sumo \(q\|Q\|\). En un padre de anchura \(\Delta\), el supremo antiguo y los de sus hijas están entre \(-B\) y \(B\). La disminución de la contribución superior es no negativa y no supera \(2B\Delta\), porque las anchuras hijas suman \(\Delta\). Igualmente el aumento de la contribución inferior no supera \(2B\Delta\). Por tanto \(G(f,Q)-G(f,R)\le4Bq\|Q\|\). Como \(R\) refina \(P_*\), \(G(f,R)\le G(f,P_*)\). Sumando las desigualdades obtenemos \(G(f,Q)\le G(f,P_*)+4Bq\|Q\|\).
Retorno visual. Véase C23-F04, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.20. Radio del puente y caso cero
Con \(B=2\) y \(q=3\), la corrección del puente es \(4Bq\|Q\|=24\|Q\|\). Si \(G(f,P_*)<\varepsilon/2\), elegimos \(\delta=\varepsilon/48>0\). Toda \(Q\) de malla menor que \(\delta\) cumple \(G(f,Q)<\varepsilon/2+24\delta=\varepsilon\). Una suma etiquetada de \(Q\) y la integral de Darboux están ambas entre \(L(f,Q)\) y \(U(f,Q)\), así su distancia es menor que \(\varepsilon\): queda probado el contrato de Riemann. Para \(Bq=0\) la corrección es cero y cualquier radio positivo sirve. Si \(B=0\), la función es cero; si \(q=0\), la partición buena es la trivial y todas las particiones la refinan.
23.21. Monótona con salto
La función \(h\) es no decreciente y sus extremos son \(h(0)=0\), \(h(1)=1\). En cualquier partición, \(G(h,P)=\sum_i(h(x_i)-h(x_{i-1}))\Delta_i\le\|P\|\sum_i(h(x_i)-h(x_{i-1}))=\|P\|\). Para una tolerancia \(\varepsilon>0\), una uniforme de malla menor que \(\varepsilon\) tiene brecha menor que ella. El criterio prueba integrabilidad a pesar del salto. Para identificar el valor, insertamos \(1/2\) en una uniforme cada vez más fina. La suma inferior en esa partición vale \(1/2\), mientras la superior vale \(1/2+d\), siendo \(d\) la anchura de la pieza inmediatamente izquierda al salto. Esa pieza incluye el nodo de altura uno y aporta \(d\) a la suma superior. Como \(d\) puede hacerse arbitrariamente pequeño, la integral es \(1/2\).
Retorno visual. Véase C23-F05, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.22. Lipschitz como certificado
En cada pieza de anchura \(\Delta_i\), la hipótesis Lipschitz con constante tres da \(|f(s)-f(t)|\le3\Delta_i\) para toda pareja de entradas. De ahí \(\omega_i\le3\Delta_i\). Al ponderar y sumar, \(G\le3\sum_i\Delta_i^2\le3\|P\|\sum_i\Delta_i=6\|P\|\), porque la longitud total es dos. Por tanto \(\|P\|<1/600\) garantiza \(G<6/600=1/100\). Una uniforme de \(1201\) piezas tiene malla \(2/1201<1/600\) y cumple el pedido. La hipótesis Lipschitz se usa sobre todas las parejas de cada pieza.
23.23. Continua: de local a uniforme
Fijemos un error de alturas \(\eta>0\). Consideramos el conjunto de todos los pares \((c,r)\) con \(c\in[a,b]\), \(r>0\) y \(|f(x)-f(c)|<\eta/2\) para las entradas del dominio a distancia menor que \(r\) de \(c\). La continuidad garantiza al menos un par por centro, así las bolas relativas de radio \(r/2\) forman una cobertura abierta del cerrado. Compacidad da un subcubrimiento finito con pares \((c_j,r_j)\). Ponemos \(\delta=\min_j r_j/2>0\). Si \(s,t\) están en el dominio y \(|s-t|<\delta\), elegimos una bola reducida que contenga a \(s\). Entonces \(|s-c_j|<r_j/2\) y \(|t-c_j|\le|t-s|+|s-c_j|<r_j\). Los dos errores respecto del centro son menores que \(\eta/2\), por lo que \(|f(s)-f(t)|<\eta\). La construcción sólo extrae una lista finita de pares de la cobertura completa.
23.24. El margen al tomar supremos
Si \(|f(s)-f(t)|<\eta\) para toda pareja de una pieza, fijar \(t\) da \(f(s)<f(t)+\eta\) para todo \(s\). Al tomar supremo, \(M\le f(t)+\eta\); al tomar ínfimo en \(t\), \(M\le m+\eta\). Así \(\omega\le\eta\), con posible pérdida de estrictitud. Por ejemplo, para \(f(x)=x\) en \((0,\eta)\), todas las diferencias son menores que \(\eta\) pero la oscilación es exactamente \(\eta\). Para el intervalo de longitud positiva \(b-a\), pedimos la escala uniforme correspondiente a \(\eta=\varepsilon/(2(b-a))\). Una partición de malla menor que esa escala cumple \(G\le\eta(b-a)=\varepsilon/2<\varepsilon\).
23.25. Un cerrado importa
La función \(f(x)=1/x\) es continua en \((0,1]\). Para cualquier \(M>0\) tomamos \(x=1/(M+1)\), que pertenece al dominio y satisface \(f(x)=M+1>M\). Por tanto no existe cota superior global. El dominio no es compacto: la sucesión \(1/(n+1)\) tiende a cero, que queda fuera de él. La construcción por subcubrimiento finito de este capítulo exige un cerrado \([a,b]\); en este ejemplo no entrega la cota necesaria para las sumas de Darboux del intervalo completo.
23.26. Signo de un múltiplo
Si \(\alpha>0\), \(\alpha m\) y \(\alpha M\) son, respectivamente, el ínfimo y el supremo de \(\alpha f[J]\): las desigualdades escalan y los testigos próximos a los extremos prueban su optimalidad. Por ello la oscilación es \(\alpha(M-m)\). Si \(\alpha<0\), las desigualdades se invierten, y los mismos testigos dan \(m(\alpha f,J)=\alpha M\) y \(M(\alpha f,J)=\alpha m\). La diferencia es \(\alpha m-\alpha M=-\alpha(M-m)=|\alpha|\omega(f,J)\). Para \(\alpha=0\) la imagen es \(\{0\}\) y ambas oscilaciones son cero. Quedan cubiertos los tres signos sin suponer extremos alcanzados.
23.27. Producto integrable
Sean \(|f|\le B_f\) y \(|g|\le B_g\). Para \(s,t\) en una pieza, la identidad \(f(s)g(s)-f(t)g(t)=f(s)(g(s)-g(t))+g(t)(f(s)-f(t))\) da \(\omega(fg,J)\le B_f\omega(g,J)+B_g\omega(f,J)\) al tomar extremos. El producto está acotado por \(B_fB_g\). Dado \(\varepsilon>0\), elegimos particiones para ambas funciones con brechas menores que \(\eta=\varepsilon/(B_f+B_g+1)\) y tomamos su refinamiento común \(R\). Las brechas de \(f\) y \(g\) conservan esa cota. Al ponderar la desigualdad local resulta \(G(fg,R)\le B_fG(g,R)+B_gG(f,R)\le(B_f+B_g)\eta<\varepsilon\). La última desigualdad también cubre \(B_f+B_g=0\). El criterio prueba integrabilidad del producto.
23.28. Linealidad del valor
Para cualquier partición y las mismas etiquetas, la distributividad finita da \(S(\alpha f+\beta g)=\alpha S(f)+\beta S(g)\). Dado \(\varepsilon>0\), ponemos \(\eta=\varepsilon/(|\alpha|+|\beta|+1)\) y tomamos los radios de ambos contratos de Riemann para ese error. Con \(\delta\) igual al mínimo, toda partición de malla menor que \(\delta\) satisface \(|S(\alpha f+\beta g)-(\alpha I_f+\beta I_g)|\le|\alpha||S(f)-I_f|+|\beta||S(g)-I_g|\le(|\alpha|+|\beta|)\eta<\varepsilon\). Esto prueba el contrato con candidato \(\alpha I_f+\beta I_g\), incluidos coeficientes cero. La equivalencia y unicidad identifican ese real con la integral de Darboux.
23.29. Producto no multiplicativo
En \([0,1]\), los certificados de sumas de C22 prueban \(I_x=1/2\) e \(I_{x^2}=1/3\) sin antiderivadas. Como \(f=g=x\), su producto es \(fg=x^2\). Por tanto \(I(fg)=1/3\) y \(I_fI_g=(1/2)(1/2)=1/4\). La diferencia es \(1/12>0\). El teorema sobre productos garantiza la integrabilidad de \(fg\); este cálculo muestra que el valor de su integral no se obtiene multiplicando los dos valores integrales.
Retorno visual. Véase C23-F06, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.30. Valor absoluto y orden
La triangular inversa implica \(\omega(|f|,J)\le\omega(f,J)\) en cada pieza. Toda partición de brecha pequeña para \(f\) tiene brecha al menos tan pequeña para \(|f|\), así ésta es integrable. El orden \(-|f|\le f\le|f|\), junto con linealidad, da \(-I_{|f|}\le I_f\le I_{|f|}\), luego \(|I_f|\le I_{|f|}\). Para \(f(x)=2x-1\) en \([0,1]\), linealidad da \(I_f=2(1/2)-1=0\). Una vez probada aditividad, partimos en \(1/2\): \(|f|=1-2x\) a la izquierda y \(|f|=2x-1\) a la derecha. El certificado afín de C22 da \(I_{[0,1/2]}x=1/8\) e \(I_{[1/2,1]}x=3/8\). Las dos contribuciones son \(1/2-2(1/8)=1/4\) y \(2(3/8)-1/2=1/4\). Por tanto \(0=|I_f|<I_{|f|}=1/2\).
23.31. Restricción a dos lados
Sea \(a<c<b\) y \(f\) integrable en \([a,b]\). Para \(\varepsilon>0\), elegimos \(P\) con \(G(f,P)<\varepsilon\) e insertamos \(c\) si todavía no es nodo. La nueva partición \(R\) tiene brecha no mayor. Sus piezas se separan en dos listas que forman particiones de \([a,c]\) y \([c,b]\). Las alturas de cada pieza son las mismas para la función y su restricción correspondiente, por lo que \(G(f,R)=G(f|_{[a,c]},R_1)+G(f|_{[c,b]},R_2)\). Ambas cantidades son no negativas y cada una es menor que \(\varepsilon\). Las restricciones conservan la acotación de \(f\) y cumplen el criterio para toda tolerancia.
23.32. Pegar dos integrales
Suponemos que ambas restricciones son integrables y que comparten la altura \(f(c)\), con \(a<c<b\). Cada lado está acotado; el máximo de sus dos cotas absolutas acota la función global. Para \(\varepsilon>0\), tomamos particiones de cada lado con brechas menores que \(\varepsilon/2\). Concatenamos sus nodos omitiendo la segunda copia de \(c\). La lista global es estrictamente creciente y sus piezas son exactamente las de las dos listas. Como los extremos locales incluyen el mismo valor en \(c\), la brecha global es la suma de las dos brechas, menor que \(\varepsilon\). El criterio prueba la integrabilidad de la función en \([a,b]\).
23.33. Aditividad del valor
Ya se sabe que las tres integrales existen. Para \(\varepsilon>0\), tomamos particiones de los lados con brechas \(G_1,G_2<\varepsilon/4\) y las concatenamos en \(R\). La brecha global es \(G_1+G_2<\varepsilon/2\). Elegimos cualquier familia de etiquetas en los lados y la concatenamos. Sus sumas satisfacen exactamente \(S_{ab}=S_{ac}+S_{cb}\). El encierro de cada suma y su integral da \(|I_{ab}-S_{ab}|\le G_1+G_2\), \(|I_{ac}-S_{ac}|\le G_1\) y \(|I_{cb}-S_{cb}|\le G_2\). Así \(|I_{ab}-I_{ac}-I_{cb}|\le2(G_1+G_2)<\varepsilon\). Como esto vale para toda tolerancia positiva, la distancia es cero y \(I_{ab}=I_{ac}+I_{cb}\).
Retorno visual. Véase C23-F07, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.34. Orientar sin nuevas piezas
La aditividad en intervalos ordenados da \(I_{0,2}(x)=I_{0,1}(x)+I_{1,2}(x)=1/2+3/2=2\). La convención de orientación inversa define \(I_{2,0}(x)=-I_{0,2}(x)=-2\). La convención para un intervalo degenerado define \(I_{1,1}(x)=0\). Estas dos extensiones actúan sobre los valores integrales; la construcción de las sumas sigue usando piezas de anchura positiva cuando los extremos son distintos y están ordenados.
23.35. Cambiar un nodo
Sean \(f\) y \(g\) iguales excepto en \(c\), con \(D=|f(c)-g(c)|\). Una etiqueta igual a \(c\) puede aparecer en a lo sumo dos piezas cerradas. Por tanto \(|S_f-S_g|\le2D\|P\|\). Para una tolerancia \(\varepsilon\), el contrato de \(f\) con error \(\varepsilon/2\) y una malla además menor que \(\varepsilon/(4D)\), si \(D>0\), dan el mismo contrato para \(g\) y el mismo valor por triangular. Si \(D=0\), las funciones coinciden. La equivalencia transfiere la conclusión a Darboux. En una partición fija, el valor de \(c\) sí puede alterar un extremo local: la función cero tiene \(L=U=0\), mientras al poner altura uno en \(c=1/2\), sobre las mitades queda \(L=0\) y \(U=1\). Las dos funciones tienen integral cero.
23.36. Cotas exteriores
Sean \(A=\sum_i a_i\Delta_i\) y \(C=\sum_i b_i\Delta_i\). La hipótesis universal en la pieza da \(a_i\le m_i\le M_i\le b_i\). Ponderar por anchuras positivas y sumar produce \(A\le L(f,P)\le I_f\le U(f,P)\le C\), usando que la integral ya existe. Para \(H=(A+C)/2\), cualquier real en \([A,C]\) está a distancia a lo sumo \((C-A)/2\) de \(H\). En particular \(|H-I_f|\le(C-A)/2\). El certificado puede ser menos ajustado que el de Darboux si las cotas exteriores no son los extremos exactos.
23.37. Elegir resolución de un certificado
Para la uniforme de \(n\ge1\) piezas, las sumas del cuadrado son \(L_n=1/3-1/(2n)+1/(6n^2)\) y \(U_n=1/3+1/(2n)+1/(6n^2)\), obtenidas de las identidades finitas de C22. Su brecha es \(1/n\) y su centro \(H_n=1/3+1/(6n^2)\). El certificado de encierro da \(|H_n-I|\le1/(2n)\). Tomando \(n=51\), se obtiene \(1/102<1/100\), por lo que cumple la resolución pedida. La fórmula permite además ver que el error real es \(1/(6\cdot51^2)=1/15606\). Una suma etiquetada arbitraria recibe la cota \(1/n\); para certificar el mismo umbral a todas ellas mediante esa cota haría falta \(n>100\).
23.38. El pico se encierra
Para \(0<r<1/2\), los cinco nodos dados son estrictamente crecientes. Cada pieza contiene entradas diferentes de \(1/2\), donde \(p=0\), así todos los ínfimos son cero y \(L=0\). Sólo \([1/2-r,1/2]\) y \([1/2,1/2+r]\) contienen el pico; sus supremos son uno y cada anchura vale \(r\). Por tanto \(U=2r\) y \(G=2r\). Dado \(\varepsilon>0\), elegimos \(r=\min(1/4,\varepsilon/4)\); cumple \(0<r<1/2\) y \(2r\le\varepsilon/2<\varepsilon\). Darboux prueba integrabilidad. Todas las sumas inferiores valen cero, así \(\ell_p=0\); la coincidencia de extremos da \(I_p=0\).
Retorno visual. Véase C23-F08, después del argumento completo: la figura permite reconocer el mecanismo y no sustituye la prueba.
23.39. Integrable sin brecha cero
Sea \(P\) cualquier partición de \([0,1]\). Como sus piezas cubren el intervalo, alguna contiene \(1/2\). Esa pieza tiene anchura positiva, por lo que contiene otra entrada distinta de \(1/2\). La imagen sobre ella contiene cero y uno y sólo esas alturas, así su oscilación es uno. Su contribución a la brecha es su anchura, estrictamente positiva; las demás contribuciones son no negativas. Luego \(G(p,P)>0\) para toda partición. El ejercicio anterior proporciona brechas arbitrariamente pequeñas y prueba integral cero. Así el ínfimo de las brechas puede ser cero aunque ninguna brecha lo alcance.
23.40. Brecha persistente
Suponemos \(a<b\) y que la función sólo toma cero y uno, alcanzando ambas alturas en toda pieza no degenerada. Cada pieza de cualquier partición tiene anchura positiva y por hipótesis su ínfimo es cero y su supremo uno. Por tanto \(L(f,P)=0\) y \(U(f,P)=\sum_i\Delta_i=b-a\). Los conjuntos de sumas son \(\mathcal L_f=\{0\}\) y \(\mathcal U_f=\{b-a\}\), así \(\ell_f=0\) y \(u_f=b-a>0\). También el criterio falla con \(\varepsilon=(b-a)/2\), pues ninguna brecha es menor que ella. La hipótesis sobre todas las piezas sostiene el argumento; una colección finita de muestras no demostraría esa distribución de alturas.