Ejercicios — Capítulo 28
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Soluciones completas en ANM-C28_SOLUCIONES.md.
Declara dominio, existencia y presupuesto antes de intercambiar una operación con el límite. Comprueba compacidad, longitud finita, segmentos y anclajes según la tarea.
28.1. Una fila dentro de la banda
Prueba continuidad del límite uniforme en un punto donde todas las filas son continuas.
28.2. Radios para todos los pares
Prueba que un límite uniforme de funciones uniformemente continuas es uniformemente continuo, sin radio común previo para las filas.
28.3. Destino continuo sin uniformidad
Explica por qué las potencias en \([0,1)\) refutan la recíproca del teorema de continuidad.
28.4. Valores sin barrera global
Analiza continuidad y uniformidad de \(x+1/(n+1)\) en \(\mathbb R\).
28.5. Filas continuas arbitrariamente tardías
Demuestra la versión de R1 que sólo exige filas continuas en \(x_0\) con índices arbitrariamente grandes.
28.6. Construir el destino de los destinos
Bajo R2, demuestra que los límites de fila \(p_n\) forman una sucesión de Cauchy.
28.7. El límite que aún no existía
Completa la prueba de existencia de \(\lim_{x\to a}f(x)\) en R2.
28.8. Iterados diferentes
Calcula los dos iterados y la ruta \(x_n=1/(n+1)\) de \(r_n(x)=(n+1)x/[1+(n+1)x]\) en \((0,1]\).
28.9. Uniformidad en una ventana fija
Explica cómo R2 se aplica si sólo hay convergencia uniforme en \(X\cap\{0<|x-a|<r\}\) para un \(r>0\) fijo.
28.10. Una ruta conjunta
Prueba \(f_n(x_n)\to p\) bajo R2 para cualquier ruta dada \(x_n\in X\setminus\{a\}\) con \(x_n\to a\).
28.11. La cubierta creciente
Prueba Dini para filas continuas decrecientes hacia un límite continuo en un compacto.
28.12. Sin compacidad
Usa potencias en \((0,1)\) para mostrar que no puede omitirse compacidad en Dini.
28.13. Sin continuidad de las filas
Analiza \(s_n=\mathbf1_{(0,1/(n+1))}\) en \([0,1]\).
28.14. Sin monotonía
Explica qué hipótesis de Dini falta para las tiendas de C26 en \([0,1]\).
28.15. Pegar uniformidad local
Prueba que una cubierta abierta dada de un compacto, con convergencia uniforme en cada corte, permite uniformidad global.
28.16. Existencia antes de integrar
Prueba integrabilidad del límite uniforme de funciones integrables mediante brechas de Darboux.
28.17. Error del valor integral
Obtén una cota del error de integrales en un segmento de longitud \(\ell\) con envolvente \(E_n\).
28.18. La cota se alcanza
Calcula integral y error de \(f_n(t)=t^2+1/(n+1)\) en \([0,1]\).
28.19. Destinos existentes pero distintos
Usa las tiendas normalizadas para refutar intercambio integral bajo convergencia sólo puntual.
28.20. Un destino no integrable
Distingue la falla integral de los indicadores finitos de racionales de C25 de la anterior.
28.21. Todas las acumulaciones
Prueba uniformidad de \(A_n(x)=\int_c^x f_n\) hacia \(A(x)=\int_c^x f\) bajo R4.
28.22. Peso integrable
Para un peso fijo integrable \(w\), obtiene el error ponderado usando \(\int|w|\).
28.23. Mover los extremos
Demuestra la estimación de R5 para \(u_n,v_n\to u,v\) dentro de \([a,b]\).
28.24. El marco que crece
Explica por qué \(f_n=1/(n+1)\) en \(\mathbb R\) puede tener integral uno en \([0,n+1]\) pese a convergencia uniforme a cero.
28.25. Continuidad de la acumulada y derivada
¿Qué cambia al acumular integrandas continuas frente a integrandas sólo integrables?
28.26. La ancla y todos los valores
Prueba Cauchy uniforme de las filas bajo R6.
28.27. El error de incrementos
Demuestra \(|(f-f_n)(y)-(f-f_n)(x)|\le E_n|y-x|\) sin suponer derivabilidad previa de \(f\).
28.28. Tres errores de cocientes
Completa la identificación \(f^{\prime}=g\) de R6 a partir de la cota de incrementos.
28.29. Certificado de valores desde derivadas
Obtén una cota de aproximación de valores usando la ancla y \(E_n\) en R6.
28.30. Derivadas sin continuidad
Explica por qué R6 no necesita continuidad de \(g_n\) ni de \(g\).
28.31. Una esquina como límite uniforme
Prueba convergencia uniforme de \(q_n(x)=\sqrt{x^2+(n+1)^{-2}}\) a \(|x|\) en \(\mathbb R\) y describe su derivabilidad.
28.32. Los dos destinos de derivadas existen
Para \(h_n=x/(1+(n+1)x^2)\), compara \(\lim_n h_n^{\prime}\) con la derivada de \(\lim_n h_n\).
28.33. Sin anclaje
Construye dos familias con derivadas uniformemente cero y sin convergencia de valores.
28.34. Sólo uniformidad en segmentos
Analiza R6 para \(f_n=x/(n+1)\) en toda la recta con anclaje cero.
28.35. Una ancla por componente
Construye un ejemplo en \([0,1]\cup[2,3]\) donde la ancla en la primera pieza no controle la segunda.
28.36. El paquete polinómico
Calcula envolventes de valores y derivadas de \(f_n=x^2+(1-2^{-n})x\) frente a \(f=x^2+x\) en \([-1,1]\).
28.37. El error de acumulación
Obtén las acumuladas del ejemplo anterior con anclaje cero y su envolvente exacta.
28.38. Frontera estricta dyádica
Encuentra el corte mínimo para error de derivadas estrictamente menor que \(1/8\) en el ejemplo polinómico.
28.39. Norma de dos capas
Verifica que \(\|u\|_{C^1}=\|u\|_\infty+\|u^{\prime}\|_\infty\) es una norma en la clase definida en R8.
28.40. Inducción finita de órdenes
Justifica convergencia de todas las derivadas hasta orden \(r\) bajo las hipótesis de R8.